江西省宜春十校协作体2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择題和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章一第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.点(1，一2，一1)关于xOy平面的对称点的坐标为 A.(1,2,-1) B.(-1,-2,-1) C.(1,-2,1) D.（-1,2,-1) 2辅四酷+兮-1的焦点坐标为 A.(±√7,0) B.(0,±√7) C.(±5,0) D.(0,±5) 3.在平行六面体ABCD-A1B,CD1中，AC与BD的交点为M,设A1B1=a,A1D,=b,A1A=c,则BM 等于 Aa-b叶c B合a+号b叶c c.-a-2b叶c D.a+be 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上，|MF|=5,则点M到直线x=一4的距离为 A.7 B.6 C.5 D.4 5.已知圆M:(x一a)2+y2=2与圆N:x2+(y一a)2=8相交，则a的取值范围为 A(-√2，-1)U(1,2) B.(-2,-1)U(1,2) C.（-3,-1)U(1,3) D.(-2√2，-√2)U(W2,2√2) 6.已知点P到直线l1:x十√3y=0和2：x一√3y=0的距离之积为3，记P的轨迹为曲线C,则 AC是两条互相垂直的直线 B.C是焦点在x轴上的椭圆 C.C是离心率为2的双曲线 D.C上的点与原点之间的距离不小于2 【高二12月质量检测·数学第1页（共4页）】 JX 扫描全能王创建 7.已知椭圆十Y=1(m>0且m≠4)与直线y=2x-3相交于A,B两点，且线段AB的中点的树坐标 为1，则m= A.1 B.2 C.3 D.5 8.已知四面体OABC中，OA=1,OB=2,OC=2,∠AOB=∠A0C-=∠BOC-=号，空间-点M满足AM= -Oi+O+m0心，若A,B,C,M四点共面，则1OM= A号 B号 C.2 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线1过点P(0,1),且与圆C:(x十2)2+y2=4相切，则直线l的方程可能为 A.x=0 B.y=1 C.3x+4y-4=0 D.2x+y-1=0 10.已知椭圆C:导+芳=1a6>0)的长轴长为4，短轴长为2，R,R分别是C的左右焦点，过点F 的直线与C交于A,B两点（异于C的左、右顶点），则 AC的方程为号+y=1 B.△ABF2的周长为8 C.IAF|·|AF2|的最大值为6 D当A为C的上顶点时，AB=9 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD,中，点P是底面正方形ABCD内的动点（包括边 界)，则 A当P,B,C不共线时，三棱锥D1-PBC体积的最大值为1 0 BAB与PD,所成角的最小值为于 C.当DP与底面ABCD所成的角为于时，BP的最小值为2W2-2 D当BP=PD,时，点P的轨迹长度为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(1,1,2),b=(2,2,m),若a∥b,则m= 13.已知直线l:x十y-1=0和点A(-2,1),B(-1,一2)，P是L上一点，则|PA|+|PB|的最小值 为 14如图，双曲线C:号-带=1a>0,6>0)的左焦点为F,过原点0的 直线与C交于A,B两点（点A位于第二象限），M为BF的中点，直 线OM为C的一条渐近线，且|BF|=3|AF|,则直线OM的方程为 【高二12月质量检测·数学第2页（共4页）】 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证阴过程或演算步顽 15.(本小题满分13分) 已知双线c后片=1， (1)求实数m的取值范围： (②)若C的高心率为求实数m的值 16.(本小题满分15分) 已知圆M经过三点A(-1,0),B(1,2),C(0√3)，O为坐标原点. (1)求圆M的标准方程； (2)过原点O的直线l被圆M截得的弦长为√I4,求直线1的方程 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=1,AD=2、点 M满足PM=2MC (1)证明：AP∥平面MBD; (2)求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小， (3)求点A到平面PCD的距离. 【高二12月所量检测·数学第3页（共4页）】 JX 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l1与C交于A,B两点，且OA·OB=-3, O为坐标原点. (1)求C的方程； (2)若直线l1与C的准线交于点P,过点P作直线l2交C于M,N两点，且直线L1与l2的倾斜角 互补 (|)求直线2所过定点的坐标； (I)证明：A,B,M,N四点共圆 19.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中，AC⊥BC,AB=AA1=2√2，点M,N分别是A1C,AA1的中点， 点P是线段BM上的点 (1)证明：BC⊥CN; (2)求三棱柱ABC-A1B,C体积的最大值； A (3)当三棱柱ABC-A1B,C的体积取得最大值时，求直线AP与C,N所成角的 余弦值的取值范围。 【高二12月质量检测·数学第4页（共4页）】 JX 扫描全能王创建高二数学参考答案、提示及评分细则 1.C点(x,y,z)关于xOy平面的对称点是(x,y,一)，所以点(1，一2，一1)关于xOy平面的对称点的坐标为(1，一2,1). 故选C 2B椭圆苦+号-1的焦点在y轴上.69=7，放焦点坐标为(0，士).放选B 3DBi-BB+i=-B丽+号d--A+2市-A)=-AM+号A市-2AB=AA+2A可-号A8 受a+b+c放选D 1 4.A因为点M在C上，|MF|=5,所以点M到C的准线x=一2的距离为5，所以点M到直线x=一4的距离为7.故 选A. 5.C由题知圆M的圆心为(a,0),半径为2，圆N的圆心为(0，a),半径为2√2，|MN|=√2|a.若圆M和圆N相交，则 2/2-√2<2|a<2√2+2，解得-3<a<-1或1<a<3.故选C. 6D设点P,曲题知+义山一-8，即昌-1，放点P的轨迹为后号一兰=1和学最 2 2 1,这两个方程分别表示焦点在：轴和y辅上的双线，离心率分别为2和2，放A,BC均错误：因为双前线上的点到 原点的距离不小于双曲线的顶点到原点的距离，两个双曲线的顶点坐标分别为（士23,0）和(0，士2)，所以C上的点与 原点之间的距离不小于2，D正确.故选D, x1十x2=2, +=1 m 4 7.B设A,B两点的坐标分别为(1，y),(x2,2),则 又 两式作差得2十)(x2-)十 y+y2=-2. 立+=1 m 14 士”-0故产=所以2=一温解得m=2放选且 4 x2一1 8B由i=-Oi+O成+m0元，得O成-O=-2Oi+}o+m0心，所以oi=2Oi+}0成+m0元.由A. B,C,M四点共面，知号十}+m=1,解得m=子又Oi.O市-Oi.6元=2c0s号=1,0成.0元-4cs号=2,0i= 号Oi+是0庐+是0花=子(20i++元)，所以1oM1=子√20耐+0+0心 √4O+10御+10+40i.0成+401.交+20成.0成=+4+4+4+4中-.放选B 9.AC由题知圆C的圆心为C(一2,0)，半径为2.①当直线1的斜率不存在时，直线x=0与圆C相切，满足题意：②当直 线L的斜率存在时，设直线1的方程为y=十1，则2尝-2，解得=一是，所以直线1的方程为3x十一4=0.综 /+I 上直线l的方程为x=0或3x+4y-4=0.故选AC. 10.ABD由题知2a=4,2b=2,即a=2,b=1,所以C的方程为+y2=1,A正确：△ABF,的周长为AB+AF十 |BF2=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8,B正确：由题知|AF1|+|AF2|=4,所以|AF|·|AF2|≤ 子(AF十AF)2=4(当且仅当AF=AF=2时取等号)，C错误；当A为椭圆的上顶点时，AF,=|AF= 2,设BF1=m,则BF=4-m,在△ABF,中，∠FAF=暂，由余弦定理，得(4-m)P=4十(m十2)2十2(m十2，解 【高二12月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 JX 得m=号，所以AB=2+号=只，D正确故选ABD 11.BC如图，以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),Ai= (0,2,0),设点P的坐标为(m,1,0)(0≤m≤2,0≤≤2)，则DP=(m,,-2).当点P在 A B AD上时，△PBC的面积最大，为2×2X2=2,所以三棱锥D,-PBC体积的最大值为 号×2X2=青，A错误：as(成.D)1=2Vmr干=m示又 2n A x 生W00方花型 号，所以AB与PD,所成角的最小值为T,B正确：连接DP,由DD⊥平面ABCD,知∠DPD为DP与底面ABCD 所成的角.由∠DPD=平，得DP=2,所以点P在以点D为圆心，2为半径的圆上，所以BP的最小值为BD-2= 2,√/2-2，C正确：由PD1=BP,得√m2+2+4=√(m-2)2+(n-2)产，整理得m十n=1,所以点P的轨迹长度为√2， D错误.故选BC. 12.4由a/6,知子=是=号，所以m=4 1, |x0=0, 13.√26设点A关于直线l的对称点为M(x,),则 解得 即M(0,3),则|PA|+ 一2+十1-1=0， %=3, 2 2 IPB|=|PM+|PB|≥|BM=√26. 14.y=√2x设C的右焦点为F(c,0),连接AF,BF,因为O,M分别是AB,BF的 中点，所以OM∥AF.又直线OM是C的一条渐近线，所以tan∠AFO= a cos∠AFO=名.由双曲线的对称性，得BF1=AF.由BF=3AF,得 |AF|=3AF|.又AF|-|AF|=2a,所以|AF|=3a,AF|=a.在△FAF中， 由余弦定理得9a2=a2+42-2a×2c×g,整理得3a2=c2,所以3a2=d2十， =2，所以直线OM的方程为y=2x. a 15.解：(1)由双曲线的定义，知m(m-1)>0,解得m>1或m<0. …5分 (2)①当m>1时，e=W/ -号解得m-28分 ②当<0时，双南线C的标准方程为。二。=1，则： 1-2m_6 1 2 解得m=一1.…12分 故实数的值为一1或2.……13分 16.解：(1)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, ……1分 1-D+F=0, 代人A,B,C三点的坐标，得5十D十2E+F=0,… …3分 3+√5E+F=0, D=-2, 解得E=0, …6分 F=-3. 【高二12月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 JX 所以圆M的一般方程为x2+y2-2x一3=0，故圆M的标准方程为(x一1)2+y2=4. …7分 (2)若直线1的斜率不存在，令x=0,得y=士3， 则直线l被圆M截得的弦长为2√5，不合题意； 9分 直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k.x, 由直线l被圆M截得的弦长为√I4,得圆心M到直线l的距离 …12分 即气=号，解得k=士1， …14分 故直线l的方程为y=x或y=一x.… …15分 17.(1)证明：如图，连接AC,交BD于点E,连接ME.…1分 因为AD∥BC,AD=2BC,所以AE=2CE.… 2分 又Pi=2MC,所以EM∥AP. … 3分 因为AP吐平面MBD,EMC平面MBD,所以AP∥平面MBD.…4分 (2)解：由题知AB,AD,AP两两垂直，故以A为原点，直线AB,AD,AP分别为 x轴，y轴，之轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),C(1,1,0),P(0,0,1), BC=(0,1,0),B2=(-1,0,1),CD=(-1,1,0),D2=(0,-2,1).…5分 BC·m=y=0, 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,),则 取x=1,得y=0,=1,故m=(1,0,1),…7分 BP·m=一x+x=0, CD.n=-a十b=0, 设平面PCD的一个法向量为n=(a,b,c),则 取a=1,得b=1,c=2,故n=(1,1,2),…9分 D2.n=-2b+c=0, 州omm一沿万文后号以mm-各 故平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为若， .…12分 (3)解：由(2)知AD=(0,2,0),平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2), 故点A到平面PCD的距离为A市.m=2-6 n √63 …15分 18.(1)解：由题知F(号，0)，设A,B两点的坐标分别为y),(m),设直线4的方程为m=x专， …1分 (y2=2px, 联立方程 消去x整理得y2-2py一p2=0, my=x-, 则△=(-2pm)2+4p2>0,y1十2=2pm,y12=一p2, 所以x1x2= 遁_(-龙)2=龙 4p2 4 3分 4b2 所以0i.0成=0十n=亡-=3P=-3,解得p=2, 4 …4分 所以C的方程为y2=4x. 5分 (2)(1)解：由(1)知C的准线方程为x=一1，直线AB的方程为my=x一1(m≠0)，…6分 令=-1：得y=一品即点P的坐标为(-1，一品) …7分 由直线山的斜率为加，直线4与直线山的倾斜角互补，知直线么的斜率为一 1 …8分 m 故直线与的方程为)-(-名）=一品[x-(-1D],即x+十3=0： …9分 【高二12月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 JX 故直线2过定点（一3,0）. …10分 (iⅱ)证明：设点M的坐标为(，). y2=4x, 联立方程 消去x后整理得y2+41y十12=0，故十41十12=0，…11分 x+my+3=0 由(1)知yⅥ1十为=4，y2=-4,…12分 直线AM的斜率为二业=二边 ,4。,同理可得直线BM的斜率为，4 x一m-近为十y 为十2 …14分 44 又Xn十”n开品。=设-1： 16 16 16 所以直线AM与直线BM互相垂直，故点M在以线段AB为直径的圆上，…16分 同理可得点N在以线段AB为直径的圆上， 故A,B,M,N四点共圆。…17分 19.(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C中，CC1⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以BC⊥CC.… …1分 又AC⊥BC,AcnCC1=C,AC,CCC平面ACCA, 所以BC⊥平面ACC1A1.…3分 因为CNC平面ACCA,所以BC⊥CN. …4分 (2)解：设AC=x,BC=y,则AC+BC=(2V2)2≥2AC·BC, 则AC·BC=xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立.…… 6分 则三棱柱ABC-A,BC的体积V=yX22<4E, 所以三棱柱ABC-A1B1C的体积的最大值为42.…8分 (3)解：由(2)知当三棱柱ABC-A1BC的体积取得最大值时，AC=BC=2,以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线 分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),C1(0,0,2√2)，B(0,2,0),M1,0,2√2)，N(2,0,√2)， 则AB=(-2,2,0),BM=(1,-2,22),CN=(2,0,-2),… …10分 设B驴=ABi(0≤A≤1)，则Ap=Ai+B=(Q-2,2-2以，22x),…11分 所以1os(A拉，C衣1=中.C 2λ+4 2+A APIICNI =(0A≤1). √/(a-2)2+(2-2)2+(2√2λ)2×6 3 √/13λ2-12λ+8 …13分 令2+A=t∈[2,3]， 2+A 6 283B2=22)中8学·是 …14分 6 令fD=3:V3-6H8 6 3 √3一+ 3 √84(-)+7 因为1[231，所以∈[3号]所以)m=f(得)=叠0m=2)= 39 ……16分 所以直线AP与CN所成角的余弦值的取值围为[号，俨】 …17分 【高二12月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 JX