山东省东营市垦利区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年第一学期九年级期中质量调研 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共7页。 2. 数学试题答题卡共4页。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡。 3. 第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑。第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上。 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分。） 1.下列函数是反比例函数的是（　　） A．y＝x B． C．y＝x2 D．xy＝1 2.在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图不相同的是（　　） A． B． C． D． 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sin A的值是（　　） A． B． C． D． 4.若抛物线y＝（x-m）2+m+1的顶点在第二象限，则m的取值范围为（ ）　 A．m＞1 B．m＜0 C．m＞-1 D．-1＜m＜0 5.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ABˊCˊ，则tanBˊ的值为（ ） A． B． C． D． 6．关于x的反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．其图象经过点（1，﹣2） B．其图象位于第二、四象限 C．若其图象经过（a，a﹣1），则a＝﹣1 D．其图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而减少 （第5题图） （第7题图） 7．随着居民安全意识的提高，很多住宅小区安装了人脸识别系统。图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），一般成年人头部的高度在18﹣25cm范围内。图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为165cm。某人笔直站在离摄像头水平距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，他的身高为hcm，则h的取值范围为（　　）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） A．163≤h≤192 B．138≤h≤184 C．156≤h≤192 D．156≤h≤217 8．如图所示，在Rt△MBN的内部作一个矩形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝xm，矩形的面积为ym2，要使矩形的面积最大，x应为（　　） A． B．6 C． D．15 （第9题图） （第8题图） 9．如图，双曲线经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论： ①abc＞0； ②当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根； ④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3。 其中正确结论的有（　　）个。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分。只要求填写最后结果。） 11．在函数中，自变量x的取值范围是　　 　 。 12．在△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则sinA的值为 。 13．将抛物线y＝3（x﹣1）2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线是　 。 14．已知二次函数y＝-x2+2x+m的部分图象如图所示，则m＝　 　。 （第14题图） （第15题图） 15．在物理力学知识的学习中，小华同学利用如图所示的装置设计了一个探究“杠杆平 衡条件”的实验：点O为杠杆的中点，实验前，杠杆在水平位置平衡。实验时，在点 O左侧固定位置A处悬挂三个砝码，在点O右侧用一个弹簧测力计施加一个竖直向下 的拉力，杠杆仍能在水平位置平衡。改变弹簧测力计与点O的距离x（cm），观察弹 簧测力计的示数y（N）的变化情况，实验数据记录如下： x/cm … 10 20 30 40 50 … y/N … 30 15 10 7.5 6 … 则y与x之间的函数关系式为 　 。 16.如图是某几何体的三视图，其俯视图为边长为6cm的等边三角形，主视图为长为8cm 的矩形，则该几何体的左视图的面积为 　 cm2。 （第18题图） （第17题图） （第16题图） 17.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正 半轴上，点A在反比例函数（k≠0）的图象上，点D的坐标为（﹣，2），则k的值为　 　 。 18．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）。若平移该抛物线使 其顶点P沿直线PO移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　 　 。 三．解答题（本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 19．（本题满分8分） 计算：（1）； （2）。 20．（本题满分8分） 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请根据图象解答下列问题。 （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集； （3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。（第20题图） 21．（本题满分8分） 问题情境：李老师给同学们布置了一项综合实践任务，利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品。 （1）同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，最终设计了以下三种方案，你觉得图 案　 　 （填序号）经过折叠能围成正方体纸盒。 图案① 图案② 图案③ （2）小颖所在的综合实践小组得到了10个边长都为1dm的正方体纸盒，将它们摆成如图所示的几何体，请在方格中分别画出它的主视图、左视图、俯视图： （3）这个几何体的表面积（含底面）是　 　dm2； （4）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加　 　 个小正方体。 22．（本题满分8分） 如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（a，4），B（﹣3，﹣2）两点，直线AB与x轴，y轴分别交于D，C两点。 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P是x轴正半轴上的一点，连接PA，PC，若S△PAC＝4，求出点P的坐标。（第22题图） 23.（本题满分8分） 2025年9月3日是抗战胜利80周年纪念日。我市某礼品店销售一种美观大方的九三阅兵纪念品，其进价为每套40元，按每套60元出售，平均每天可售出100套。后来经过市场调查发现，每套售价每降低1元，则平均每天的销售数量可增加10套。设这种纪念品每套售价降低x元，平均每天可获利y元。 （1）写出y与x的函数表达式。 （2）若该礼品店想平均每天盈利2210元，则单价应降低多少元？ （3）该礼品店平均每天盈利能否达到2500元，若能，请求出单价应降低多少元？若不能，请说明理由？ 24．（本题满分10分） 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图。 已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍。当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线。为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直。 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q。 任务1：（1）某一时刻测得AD＝0.8米， ①请直接写出tan∠ADE＝ ； ②请求出此时影子GH的长度； 任务2：（2）这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由。（第24题图） 25．（本题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当点P运动到什么位置时，由A，B，P，C这四点组成的四边形的面积最大？ 并求出此时P点的坐标和该四边形的最大面积； （3）若连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPˊC，是否存在点P，使四边形POPˊC为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（第25题图） 九年级数学试题 第12页 （共7 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题参考答案及评分标准 评卷说明： 1. 选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分。 2. 解答题中的每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数。本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其他解法，请参照评分标准相应评分。 3. 如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分。 一、选择题：本大题共10小题，共30分. 每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C D C A B C 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分。只要求填写最后结果。 11. x≥﹣1 12. 13. y＝3（x﹣2）2 ﹣3 14. 3 15. 16. 17. 18. 12 三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题满分8分，第⑴题4分，第⑵题4分） 解：（1）原式 ＝3；………………………………………4分 （2）原式 ， 。………………………………………8分 20．(本题满分8分) 解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3。……………………3分 （2）由图象可知，x＜1或x＞3时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象在x轴下方， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜1或x＞3。…………………………6分 （3）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2， 若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根， 则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值， 则k＜2。……………………………………8分 21.(本题满分8分) （1）②③；……………………………………………………………………2分 （2） …………………5分 （3）38；…………………………………………………………………………7分 （4）4。 …………………………………………………………………………8分 22．(本题满分8分) 解：（1）∵点B（﹣3，﹣2）在反比例函数的图象上， ∴m＝﹣3×（﹣2）＝6。 ∴反比例函数的表达式为y， ∵点A（a，4）在反比例函数y图象上， ∴a， ∴点A的坐标为点（，4）， 将点代入y＝kx+b中，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为yx+2。……………………………………………………4分 （2）把y=0代入yx+2，得x+2=0， 解得x= ∴点D的坐标为（，0）， 设P（x，0）（x＞0）， ∴S△PAC＝S△PAD﹣S△PDC（x）×4（x）×2＝x， ∴x4， 解得：x， ∴P（，0）。……………………………………………………………………8分 23. (本题满分8分) 解：（1）根据题意得y＝（60﹣x﹣40）（100+10x） ＝（20﹣x）（100+10x） ＝﹣10x2+100x+2000。…………………………………3分 （2）当y=2210时，﹣10x2+100x+2000＝2210 整理得x2﹣10x+21＝0 解得x1＝3，x2＝7。 答：单价应降低3元或7元。……………………………………………………6分 （3）不能。 理由：当x＝＝5时，y有最大值，即y＝2250。 ∵2500＞2250 ∴不能。………………………………………………………………………8分 24. (本题满分10分) 解：（1）①；……………………………………………………………………2分 ②作GP⊥FN于点P，则∠GPF＝∠GPH＝90°， 由题意得：FD⊥DG，AB⊥BC，DF⊥FH， ∴∠FDG＝∠F＝∠B＝90°。 ∴四边形DFPG是矩形。 ∴∠ADE+∠GDB＝90°，∠GDB+∠BGD＝90°。 ∴∠DGB＝∠ADE，GP＝DF＝2。 ∵DG∥FH， ∴∠DGB＝∠α， ∴∠α＝∠ADE， ∴tan∠α＝tan∠ADE， ∴， ∴PH（米）， ∴GH（米）， 答：此时影子GH的长度为米；………………………………………6分 （2）小明会被太阳光照射到。 理由：作NQ⊥BC于点Q，则∠NQH＝90°， 由题意得：QB＝3米，∠α＝∠ADE＝∠DGB＝60°， ∵AE＝DE＝0.5米， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝0.5米， ∵AB＝2.5米， ∴DB＝2.5﹣0.5＝2米， ∴BG米， ∵GP＝2米， ∴GH米， ∴QH＝BG+GH﹣BQ＝（3）米， ∴QN（3）＝6﹣31， ∴小明会被太阳光照射到。 ………………………………………10分 25. (本题满分12分) 解：（1）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，将B、C两点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；………………………………………4分 （2）当点P运动到时，由A，B，P，C这四点组成的四边形的面积最大； 理由如下： 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B和C两点分别代入，得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3； 连接AC、CP、BP，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F， 设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q点的坐标为（x，x﹣3）， ∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC ， 当时，四边形ABPC的面积最大， ∴P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为。………………9分 （3）存在点P，使四边形POP'C为菱形， 此时点P坐标为（，）。…………………………………………12分 数学答案 第6页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $