第3讲 分式 2026年九年级中考数学一轮复习指南（全国通用版）

该初中数学讲义聚焦分式专题，覆盖分式概念、有意义条件、值为0条件、基本性质及运算等中考核心考点，以“定义-性质-运算”逻辑架构知识点，设计“课标要求-考点背默-中考实战-模拟演练”教学流程，通过填空式考点梳理强化符号意识，结合真题讲解突破约分通分等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“三阶联动”复习策略，考点背默培养抽象能力，中考真题中的化简求值题提升运算能力与推理意识，模拟演练中的纠错分析（如分式化简步骤诊断）发展批判性思维。特设分层练习适配不同学生，助力教师精准把控节奏，在有限时间内最大化复习效果，有效提升学生应考能力。

2026中考数学一轮复习（全国通用版） 专题03 分式 课标要求——让您清楚把握中考目标 · 了解分式和最简分式的概念，知道分式有意义的条件和分式的值为0的条件； · 理解分式的基本性质，并能利用分式的基本性质进行约分和通分； · 能进行简单分式的加减乘除运算； 考点背默——让您了解考点掌握程度 考点1：分式的概念及有意义的条件 1.分式的定义 （1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有 ，那么称为分式． （2）分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2.分式有意义的条件：若 ，则有意义； 3.分式的值为0的条件：若 ，则=0． 中考实战——让您亲身感受中考真题 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 2．（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 4．（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是 ． 5．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 模拟演练——让您体验中考快速提升 1．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）使得式子有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 3．（2025·黑龙江·一模）若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 4．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 5．（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为． 考点2：分式的基本性质及其运算 1．分式的分子与分母都 ，分式的值不变． 即：或，其中A，B，C均为整式． 2．分式的约分 （1）分式的约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同 ；分子与分母的系数，约去它们的 ．如果分式的分子、分母是多项式，先 ，然后约分． 3．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 4．分式的通分 （1）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与 相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分： ①先求各个分式的 （即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）； ②再用分式的 ，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先 ，再通分． · 通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． · 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的 与所有字母因式的 的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 5．分式的加减法 （1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子 ．用式子表示为：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． （2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用 作为积的分子， 作为积的分母． 用式子表示为：． （3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为： ． （4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． （5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 中考实战——让您亲身感受中考真题 1．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 5．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 模拟演练——让您体验中考快速提升 1．（2025·辽宁·一模）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·四川·一模）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·山西·一模）化简：． 4．（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 5．（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 6．（2025·江西·模拟预测）下面是小红同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小红同学的化简过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择合适的数作为的值代入求值． 7．（2025·上海·模拟预测）先化简再求值：，其中． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 (1)甲同学解法的依据是 ；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请写出完整的解答过程，并选择一个合适的数作为的值代入求值． 9．（2025·广西·三模）（1）对于整数x，规定，例如：，求：的值． （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 10．（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 11．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值：，其中的值是方程的一个根． 12．（2025·江西·二模）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 下面是某同学的部分解答过程． 解：原式    第一步     第二步 …… (1)该同学的解答过程中的第一步运算，依据是 ； (2)请你帮这位同学写出完整的解答过程． 13．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 14．（2025·陕西·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考数学一轮复习（全国通用版） 专题03 分式 课标要求——让您清楚把握中考目标 · 了解分式和最简分式的概念，知道分式有意义的条件和分式的值为0的条件； · 理解分式的基本性质，并能利用分式的基本性质进行约分和通分； · 能进行简单分式的加减乘除运算； 考点背默——让您了解考点掌握程度 考点1：分式的概念及有意义的条件 1.分式的定义 （1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． （2）分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2.分式有意义的条件：若B≠0，则有意义； 3.分式的值为0的条件：若A=0且B≠0，则=0． 中考实战——让您亲身感受中考真题 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 3．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 5．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 模拟演练——让您体验中考快速提升 1．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且． 故选A． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）使得式子有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义分母不能为零．根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 3．（2025·黑龙江·一模）若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴的值可以是 ．（答案不唯一） 4．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】且 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了函数定义域，二次根式的性质、分式的性质，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 5．（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为． 【答案】或/9或0 【知识点】分式值为零的条件、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式的值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或9， 故答案为或． 考点2：分式的基本性质及其运算 1．分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 即：或，其中A，B，C均为整式． 2．分式的约分 （1）分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分． 3．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 4．分式的通分 （1）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分： ①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）； ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分． · 通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． · 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 5．分式的加减法 （1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． （2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． （3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． （4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． （5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 中考实战——让您亲身感受中考真题 1．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、分式化简求值、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 5．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 模拟演练——让您体验中考快速提升 1．（2025·辽宁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先通分括号内，再运算除法，化简得，再把代入化简，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 2．（2025·四川·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算和分母有理化，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2025·山西·一模）化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算括号内的，再计算除法即可解答． 【详解】解： ． 4．（2025·上海徐汇·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值及分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，包括因式分解、通分、约分等操作． 先对分式的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乖法，通过约分进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 当时， ． 5．（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，再由，得，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 6．（2025·江西·模拟预测）下面是小红同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小红同学的化简过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1)一； (2)，． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． 根据平方差公式可知，所以第一步中除式的分母分解因式错误； 根据分式的运算法则计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可知只能选，把代入化简后的分式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 第一步中除式的分母分解因式错误， 小红同学的化简过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解： ， 分式的分母不为，除式不为， ，，， ，，， ， 当时， 原式 ． 7．（2025·上海·模拟预测）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 (1)甲同学解法的依据是 ；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请写出完整的解答过程，并选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1)③ (2)见解析 【知识点】分式化简求值、分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，注意根据分式有意义的条件解题是关键． （1）根据第一步的步骤可得出运用的是乘法分配律； （2）先进行因式分解，在约分化简，然后选择一个使分式有意义的未知数的值代入计算即可． 【详解】（1）根据第一步的步骤可得出运用的是乘法分配律， 故选③． （2）原式 ， 当时，原式． 9．（2025·广西·三模）（1）对于整数x，规定，例如：，求：的值． （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2）；0． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、分式化简求值、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，求不等式组的解集，分式的化简求值． （1）根据所给新定义计算出若干的值，得到，再求所求的式子的值即可． （2）先求得不等式组的解集，再把原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ，则； ，则； ，则； …， ； ∴ ； （2）解：解不等式，可得：； 解不等式，可得：， ∴不等式组的解集为， ∵是不等式组的整数解， ∴的值可以取； ． ∵的值可以取； ∴当时，，舍去； 当时，原式． 10．（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先根据分式通分计算括号里的，同时运用把除法转化为乘法并因式分解，进而约分即可，最后把字母的值代入计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 11．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值：，其中的值是方程的一个根． 【答案】；． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则化简原式，再解一元二次方程，根据分式有意义的条件可得，代入化简式子中求值即可． 【详解】解：原式 ． 的值是方程的一个根， 或． 且， 原式． 12．（2025·江西·二模）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 下面是某同学的部分解答过程． 解：原式    第一步     第二步 …… (1)该同学的解答过程中的第一步运算，依据是 ； (2)请你帮这位同学写出完整的解答过程． 【答案】(1)分式的基本性质 (2)，当时，原式 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据分式的基本性质解答即可； （2）根据分式的混合运算法则将所求式子进行化简，再根据分式有意义的条件得出，代入化简后的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，该同学的解答过程中的第一步运算，依据是分式的基本性质； （2）解：原式      ∵，，，且为整数， ∴，     ∴当时，原式． 13．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，原式的值为 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算分式的除法，再算加减，逐一判断即可解答； （2）先计算分式的除法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题过程中，从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解题过程如下： 原式 ， 当时，原式． 14．（2025·陕西·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式，再代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $