各位老师，各位专家大家好。我是来自浙江省诸暨市海亮高级中学的江中庭老师。今天我讲的题目是一类涉及坐标运算的解析几何问题的解析与思考。数学运算作为高中数学六大核心素养的关键性素养，但在教学中发现，学生的运算能力不足与运算方法的单一性相关。高中数学的内容与考试内容中的解析几何作为首选压轴题的趋势也越发明显。学生在解题中虽然解题的切入点容易发现，但受思维定式和解题模式的影响，学生往往首选的是常规路径。在解析几何部分的试题设计与学生的解题中，我发现学生的解题基本是设线联立、韦达定理三件套，或者就是设点做差，构造斜率，将直线方程的运算与点的坐标运算相分离，遇到圆锥曲线上多点问题，陷入到复杂的多变量运算，从而导致解题失败。那么由此我就想到我们如何去解决涉及到圆锥曲线中多点坐标运算的题型设计，就有了今天这道题的出现。今天我主要想从这五个方面来讲我这道题的设计与思考。首先第一是源于现实生活中的一道圆状体。我们知道中国传统工匠在画椭圆的时候，并不是按照我们教材当中的2.1线来画，而是有一个椭圆规画椭圆的方法。我们来看。视频。联想到传统工匠的画椭圆的方法，我在想如何把这种画法在解析几何题当中去体现，所以就有了这道题的第一问的设想。第二就是研究近两年新高考卷中圆锥曲线问题的考察目标。那么直线与圆锥曲线相交问题是解析几何中的基本问题，由过焦点的直线与椭圆再次相交产生新的焦点，如何处理新焦点，将原焦点的坐标作为参量去参与到新的直线的方程中进行运算。我们在2020年新高考一卷当中，以及2022年新高考一卷当中，都出现了多点联动的情况。由此我就设想，如果说这个问题我们把它简单的表示成，那就是一条直线AO与椭圆相交于AB2点，再过A点的一条直线L一撇与椭圆相交于另外一个点C那么这个时候如何借助于点A的坐标来表示C点的坐标，以及当一条直线和一个椭圆相交的时候，我们是不是可以先回避直线与椭圆联立的伟达定理，而是单纯的从点A的坐标去表示点C的坐标。所以就有了这道题的出现。如图2所示，长度为三倍根号三的线段AB的端点A和B分别在X轴和Y轴上滑动，鳍上的动点M满足AM向量等于两倍的MB向量设动点M的轨迹为C设定点E-1 0度-30。第一问求C的方程，并画出C的草图。第二问设点P-2，过点P的直线L与这个曲线相交于NQ2点，直线DN与C的另一个交点为RDQ与C的另一个交点为T若RET3点共线，求直线L的方程。第一问的考察。第一问。是以向量运算为背景考察动点轨迹的方程的求解。我们可以利用相关点的方法求解得到动点M的轨迹。这个我就简单的讲一下。假设A点和B点的坐标由AM向量等于2倍MB向量可以得到向量的坐标关系，从而可以得到XA和YB与M的关系，再根据AB的长度求解。所以得到C的方程是一个焦点在Y轴上的椭圆，其草图如图所示。接下来我重点要讲的是第二问的思维导图与解答。第二问他提到的是。过点P的一条。直线L与椭圆相交于点N和Q然后又过D和N延长得到了R点D跟Q得到了T点。这样再根据RET3点贡献，在整个题目当中就出现了四条直线以及四个点椭圆上的四个点。那么我们在解答的时候，首先会想到学生会想到的常规思维。那就是第一种思路。假设直线L的方程得到L的方程用点斜式，然后与椭圆联立得到韦达定理，或者是我们可以用同构的方式把这两条直线认为是两条经过点剁的直线。这两条直线一个是DN一个是DT那么同样是将这个直线和椭圆香蕉产生了R点和T点，那么再根据韦达定理可以得到YN加YR与YN乘YR的回答定理。在第一种方案，第一个方案就是根据三点共线去寻找RT的坐标进行运算。第二个方案同样是根据RET和PNQ3点共线来寻求这里的参数M1和MN的关系。但是因为它首先上来是将已知的直线L与椭圆的方程联立，从而进入到一个非常复杂的代数运算当中去。那么我们调整方案，我们首先根据常规思路也是一样，可以先设直线方程，我们以r et设成X等于MY减1。但这个时候我们如果说先不进行联立方程，而是借助于N点产生R点坐标，Q点产生P点坐标，我们进入到坐标运算当中去，这个时候我们可以很轻松的解决问题。接下来我们来讲一讲具体的方法。我们看第一问，我们得到的左方程式，三分之X方加12分之Y方等于一。方法一。那就是首先假设这条直线L是X等于MY加T在这过程当中我们回避了点P的坐标负二二这一点，认为L是一条一般的直线，有两个参数M和T那么这个时候与椭圆相交于NQ2点坐标分别是X1Y1跟X2Y2。这个时候第二条直线是dn与椭圆相交于一个焦点是R点，这个点坐标我们记为X3Y3。但这个时候我们的DN的方程，我们是借助于N点的坐标X1和Y一来得到的，没有用多点坐标。此时我们将AO这条线的方程暂时不动，而是将DN与椭圆相交。我们就可以得到由X一表示的韦达韦达定理，得到X3乘X一等于这个结果。由此我们就可以得出X3的值是用X一去表示的。这个时候我们就可以得到X3加3的值，这是为了我们后面去算斜率用的，以及我们求出Y3。这个时候我们再需要斜率，因为RET3点共线，所以这个时候我们可以提前把X3加1也计算出来。同理的道理，我们过多点和Q点产生了T这个点。T这个点的坐标我们把它计算出来，用同样是用QQ点的坐标来表示。此时因为RET3点共线，那么这个时候我们可以得到斜率的关系，那就是Y3减0除以X3加1等于Y4除以X4加1。由此带入到前面的结果当中去。我们得到这个方程以后可以得到T加一等于乘以Y1减Y2等于0。这个时候我们可以得到，因为Y一和Y2是不相等的，得到T就等于负一，T等于负一什么意思呢？T等于负一的意思也就是说有我们刚才假设的这条直线AOX等于MY加T中的T1是负一，而L这条直线本身又是经过P点-2 2点，所以这个时候我们就可以直接利用P点的坐标与E点的坐标可以求出这条线的斜率，从而L这条线的方程也就求解出来。方法2，第二种方法是，首先我们可以借助于题目的条件是RET3点共线，所以我就先假设这条直线是一条经过E点的直线与椭圆交于R点和T点。在这地方我们规定Y一大于零大于Y2，那么这个时候同样DR产生N点，而这个时候DR这条直线与椭圆相交的这个点N我们记为X3Y3。同样的道理，我们是用R点的坐标来表示。第二条线的方程联立，我们再根据Y一点，R点是落在椭圆上，所以Y的平方是等于四倍的3减XC的平方。联立过以后我们同样得到韦达定理，以及根据积的关系得到X3。X3依然是用X一表示的。好，那么这个时候我们来算X3加1的值是为了后面的运算服务的，X3加3是为了求斜率，那这个时候我们可以求出Y3的值。那么这个时候同理过Q点和D点的连线与过D点跟T点的连线与椭圆交于Q点，那么同理可以得到Y4的值，也就是Q点的坐标，那么这个时候我们得到EN的斜率，一点和N点的斜率和E点跟Q点的斜率，我们计算出来发现它们的值都等于负的M分之一。由此可以得出NEQ3点是贡献的这三点贡献。而这个时候我们在这条直线NEQ3点共线，这条直线说明是经过-10。它经过-10也同样可以得到，再借助于这个点P的坐标，同样可以求出这条线的方程。在这个过程当中，我们对RT这条直线的方程X等于MY减1。我们并没有将这条直线与椭圆联立，而是借助于椭圆上的点的坐标去表示另一个点的坐标。第三种方法，法三是我们对刚才的四思维导图的第一种方法的修正。首先我们可以用点P所以得到L这条线的方程是Y减2等于K乘X加2。这个时候我们产生了N点和Q点，这个时候我们再去得到DN这条线的方程。DN这条线的方程我们这一次用到的就是Y一和D点的坐标，也就是N点坐标跟D点坐标产生直线DR比例方程同样借助于X1，也就是N点是落在这个椭圆上韦达定理我们得到X3，这个时候的X3依然是用X一去表示，求出Y3。在Y3的计算当中，我们我们发挥DN这条线的方程，带到这个方程当中去。好，这个时候我们就可以顺利的完成R点的坐标。求出了R点坐标以后，同理我们可以求出P点的坐标，这个时候减少了计算量，原因就是我们并没有把直线L这条线的方程与椭圆联立，而是有了这一个模式。但是我们在解决坐标的时候，用到的是已知点N的点的坐标去表示R点坐标，由Q点坐标去表示T点坐标。那么这个时候我们就可以算出RE这条线的斜率，同样我们也可以算出TE的斜率。再根据RET3点贡献，我们就完成了计算。这个计算我们可以得到化简以后得到这个结果，X2减1乘K加二等于0。这个时候因为X一不等于X2，所以这个时我们可以算出K等于-2。K等于-2，所以L这条线的方程求解出来，这是三种解法。我们首先都没有将直线L的方程直接与椭圆联立，而是强调N点和Q点是这条直线与椭圆相交产生的。但是我们并没有利用相交法去得到N. 点。和Q点的坐标关系，而是将N点的坐标去表示R点坐标，Q点坐标去表示T点坐标。接下来我来讲一讲这道题的命制与发展性的生成。第二问最初的想法是直接过点E-1 0的两条直线，分别与这个曲线相交于NQRT4点。若直线NRQT相交于点D求证X零是一个定值。这道题在做完以后，我发现学生的解答思路基本上是这样的一个情况。第一种想法，根据三点共线得到这四个斜率，再根据这四个点都在椭圆上联立方程，然后再根据焦点得出这个X0的值，也就是得到D点相交于点度得到X0，然后得到X0等于-3，这是一种思路。第二个解决思路是过N点和NQ和RT这两个都是过一点的直线，所以它得到了这样一个重构的方程，两条不同的斜率，接下来选择其中的一个与椭圆联立韦达定理，然后同理得出X3加X4和X3乘X4，然后邻里求交点，得出X0的值等于X0等于-3，中间没有过程。后来我问学生，我说你们这个答案怎么来的？怎么没有解答？有人说他说这个问题很显然，这就是一个椭圆当中的极点极限问题。你都讲过了。所以我们就想着我只要把方程列出来，然后过程写出来，答案我都已经知道是负三了。我就觉得这道题我在命制的时候，很显然忽略了学生已经掌握极点极限的这个想法，所以我觉得没有达到我想传递给学生的一种解题思路。所以我对这个问题就进行了修改，修改以后才得到刚刚我们看到的这道题。做完以后，修改过以后，我又给我们的学生去看，再来做这道题。做出来结果我们发现学生的解答依然还是沿用了原有的解题方法，还是韦达定理引力方程去求解。所以我觉得很有必要跟学生去讲解这样的一种用一个点去表示另一个点的坐标的一个方式。参加命题活动的收获与体会。很荣幸能够参加这样的一个高水平的命题比赛，从中我也获得了很多很多的收获。首先第一，我能够感受到命题工作是一份非常辛苦而费力的工作，我们要投入极大的大量的时间和精力。第二，命题工作是一份不断创新和完善的工作。首先是从最开始的一点点的想法，从敢想到敢做。从最初的粗糙的一个想法到最后成型的一个题目。然后再想通过这个题目去把自己想要表达的，想要传递给学生的一种解题方法，是一种很大的收获。三命题工作是一份提升自身学科素养的能力的工作。那么为了命好一道题要去翻阅教材，要去查阅高考试题的命题的这种点，考察的目标以及要符合新高考的命题要求，所以对自身的提升起到了很大的促进作用。四命题。工作从想法到构思，从初级形态到逐步完善优化的过程，也是一份有趣而让人兴奋的工作。我希望以后的每年的这样的比赛，我都能够有机会参加。所以最后我觉得参加这样的工作时间跨度很长，从接到通知到最后成型经历。了。很长时间。但是我总体的感觉是收获大于付出，谢谢大家。