各位同行大家好，我是广州市艺术中学的吴景峰老师。今天我给大家分享的是在这次命题比赛中，一道导数压轴题，先睹为快。请看试题。本题是一道以导数知识为背景，以多元变量函数零点不等式为载体的结构不良试题。本题的题源是2022年新高考一卷的第22题。此类问题综合性强、难度大，方法灵活多样。以下我分四个部分进行分享，通过一二部分加深对讲题命题的一个理解，通过对三四部分加深对学生对教学评的理解。好，以下是第一部分试题的分析与解法。此题看似一道开放性问题，实则不是学生并不能从三个函数中随意的选择一个进行求解，而应该从题目的条件出发，通过带参函数FX有最大值，可对函数进行分析，得到A的初步范围，通过A的范围选择正确的函数进行求解。这里考察的是学生的心态与观察力，因此本题的思维导图如下，首先通过对函数FX求导研究其单调性。通过分类讨论发现当A小等于0的时候函数有最小值，当A大于零的时候函数有最大值，因此可以排除A小于等于零的情况。锁定A大于零后，通过观察发现三个函数中一跟三没有最大值，92符合条件，因此继续对二进行单调性的研究。当A大于零的时候，GS是先增后减有最大值，从而通过两个函数有相同最大值列出方程，求出A本题第一问考察的是利用导数研究函数的单调性和最值，考察了数形结合分类讨论、转化与化归等数学思想及逻辑推理、数学运算等核心素养。我们请看第一问的详细解答。首先横线填2，根据FX的定义域跟导数发现若A小于等于0的时候，FX是先减后增，因此FX无最大值，不符合题意，先排除了A小于等于零的情况，若A大于零时，导数是先正后负，GFS是先增后减。因此可以得到在X等于一处，FS有最大值为一分之A减B接下来继续分析GS，通过GS的导数发现，当X属于0到1时，GS的导数大于0，GS单调递增。当X属于一到正无穷时，GS的导数小于0，GS单调递减。因此GS在X等于一处取到最大值为一A分之一减B最后通过两者具有相同的最大值，可列出关于A的方程解出A等于1。本题考察的知识点来自于人教A版数学新教材选择性必修二第五章5.3节第95至97页内容，通过对Y等于FS的充分分析，确定参数A的范围，从而选定GS的一个函数。分成三个步骤，第一步研究FX最大值，第二步研究GS最大值，最后得到结论，解法比较常规。好，接下来我们看第二问。首先是题目分析，在已知A等于一的情况下，我们可以代入第二问的问题中，把问题进行拆解。首先存在实数B使函数Y等于FSY等于GS有四个不同的零点，这个可以作为第一个问题，由小到大排序，分别记为S1、S2、S3、S4则S1加S4大于2倍根号下的S2、S3的G这个可以作为第二个问题。因此问题可拆解如下，首先我们要研究的是实数B与两个函数零点个数的关系，什么情况下能有四个不同的零点？第二，要研究这0000点间的关系如何进行转化，如何进行证明。好，我们对问题进一步剖析。首先我们从条件出发，我们首先可以从两个函数的结构作为切入分析，发现FS的结构跟GS的结构里面都有减B于是在另两个函数分别等于0的时候，我们可以把B进行分离，即参变分离，得到ES分之S的一个常见函数与S分之line s的一个常见函数。这两者函数我们可以结合它的图像对零点进行分析。其次，ES分之S与S分之line s具有一个同构特征，我们可以利用这个同构特征进一步对零点的关系进行分析方法。一其实在于把函数与参数进行分离后，通过分析函数的图像与Y等于B的水平直线的一个交点问题，把零点个数问题转化成交点个数问题，同样把零点关系转化为这些交点的横坐标之间的关系。在此基础上我们得到下一个灵感，如果把只对函数与S进行分离后，可以发现ES等于B分之s，ln s等于BS而对于Y等于ES即Y等于line s具有反函数关系，而Y等于B分之S即Y等于BS也具有反函数关系。在此把零点问题又再次转化为直线与曲线的交点问题。我们可以发现两个具有反函数关系的直线关于Y等于X对称，同时它们经过原点，因此可以构造等腰三角形，借助几何关系来突破零点问题。因此这里有3种方法，方法一主要是借助函数图像与Y等于B的交点，方法二主要是借助反函数的一个焦点，而方法三是在于借助几何关系来研究焦点。在把条件进行转化后，我们对问题二的结论进一步分析。从问题出发，我们联想到基本不等式，这里可借助积相等的一个关系进行转换，即把这里的S2、S3的G转化成S1、S4的G即可证明出此关系。因此我们的问题就转化成S1S4等于S2、S3，从而与前面的三个方法建立联系。根据方法一的两个函数，借助同构关系，借助方法二的函数反函数的对偶关系，而借助方法三的几何关系，我们可以利用它的对称关系进行问题的突破。因此我们的思维导图如下，首先从零点个数转化成函数与直线的交点个数问题，通过研究函数的图像或者是直接做出函数的图像。所以第一步的关键是做图，而在作图情况下要研究零点个数。借助最值来求得B的一个临界值，以及可以借助切线来找出B的临界值，得到B的范围。再次通过同构性、对偶性或对称性来求得零点的关系问题。因此第二问的考察目标是利用导数研究函数的综合性问题、函数与方程问题、基本不等式、函数零点只对同构等问题，考察了数形结合、分类、整合、转化化归等数学思想及逻辑推理、数学运算等核心素养。此处以函数结构进行分离为切入，以数形结合与转化化归作为核心思想，以同构性、对偶性对称性考察创新思维。此题的三个方法具有层层递进的关系，先通过参变分离而进一步进行函数分离，最后挖掘它的几何关系，因此这三个方法能够促进学生的一个深度思维。我们现在来看解法一同构法，为了解决第一个问题，我们此处首先先对函数与参数进行分离，分别对两个函数进行加B就等价于Y等于B与新的两个函数共有四个不同的交点。为了研究这个问题，我们必须要做出这两个函数的一个函数图像。做图像我们就必须要利用到导数这个工具，同时还要结合一些极限的知识。因此我们要分别对这两个函数的单调性进行研究。我们此处可见第一问，通过第一问的结论发现这个Y等于EX分之X的函数在负无穷到一上单调递增，在一到正无穷上单调递减，在S等于E处有最大值1分之1。而GS等于S分之IS在0到1上单调递增，在一到正无穷上单调递减，在X等于一处有相同的最大值1分之1，然后可以基本得到两个函数的一个变化趋势。同时再结合我们极限的知识，分别对两个函数在一些特殊位置的取值以及极限可以得到FX在负无穷的时候趋近于负无穷，在零处等于0，在正无限的时候趋近于0。而GS在零处的极限趋近于负无穷，在一处等于0，在正无限的极限趋近于0。于是我们可以初步得到两个函数的图像，而且可以得到函数在1到1处一个递增一个递减。同时两个端点的具体函数值可以得到，两个函数在1到1处存在唯一焦点，我们把这个焦点记作PMN。这个图像就是我们后面分析的一个基础。这里用到的主要是单调性与最值，还有极限的知识，这为我们后面的数形结合打下了基础。在此基础上我们做进一步分析，若有四个不同交点，则直线Y与B的情况有两种。第一个它是在大于N小于1分之1的情况下，即过了P点以上。从左到右我们分别记这四个交点为ABCD其中AB在Y等于FS3。当B大于0小于N时，从左到右分别记为ACBD其中AB也在函数FS上，因此存在实数B使得Y等于FX，Y等于GS共有四个不同的零点，且0000点均为正实数。问题一的解决，其实我们用到的是分类讨论与数形结合的思想。在函数图像得到的情况下，我们对问题迎刃而解。接着来看问题2，我们要证明的是S1加S大于两倍根号下的S2S3。由于四个数均为正实数，因此我们只需要证明S2S3的积与S1S4的积相等即可。这个是对问题二的一个基本的转化。在这个基础上我们先讨论B大于N小于1分之1的情况。根据焦点的情况，我们有FX一等于GS3等于F的line s3。这一步其实是利用了函数的同构性，而由S一的范围与S3的范围，我们可以得到S一与line s3的范围都是属于0到1。同时FS在0到1的基础上是单调递增的，因此我们可以得到这里的S一值与line s3的值相等。同样道理FS2与GS4的值相等。那通过同构关系发现GS4其实就等于F的line s4。而结合S2与S4的范围可得，S2与line s4的范围都属于一到正无线，而FS在一到正无线上具有单调性，因此S2与line s4的值相等。故S1比S3等于ln s3比上S3等于BS2比上S4就等于ln s4比上S4的值也等于B从而得证S1S4等于S2S3，因此解决了其中一种情况。而另一种情况，当B大于零小于N的时候，点B与点C的位置进行互换即可，相当于把S2与S3的值进行交换，有S一等于ln s2，S3等于line s4，同样的我们可以推导出S1S也等于S2S3。我们通过问题二的转化，结合函数的同构性进行解决。这里重要的思想方法仍然是分类讨论与数形结合。此处其实也可以利用指数形式进行讨论，但因为方法雷同，我在这里不展开阐述。好，我们接着来看方法二对偶法。首先我们把函数分成四个函数，因此我们的问题就转化为方程ES等于B分之S以及ln s等于BS共有四个不同的解。我们把这四个函数分别标为1234进行作图。那就相当于我们要证明函数一与函数三有两个交点即为AB函数二与函数四也有两个交点即为CD而且这四个点的横坐标各不相同，这个是我们对问题的一个转化。因此我们要做的事情就是分别进行证明，这是第一步，证明一三有两个交点或24有2个交点。因为这两个函数都具有反函数关系，因此我们只要证明其中一种情况即可。而四个焦点各不相同，就作为我们的第二步进行说明。首先先证明存在实数B使得函数二与4有2个交点。那我们发现函数二与函数四的一个相交的一个临界情况应该是相切情况。因此我们先把函数二与函数四的相切情况先进行分析。当函数二与四相切时，切点即为S00S0，且函数是直线横过原点00。因此我们对函数二进行求导，利用斜率的2.4进行求解，可得切点在S等于一处，此时B的值等于1分之1，即B等于1分之1是两者相切的一个临界值。通过图像可以进一步发现，当这个B变小的时候，即当B小于1分之1大于0的时候，这个时候函数2与4即有两个交点。由于反函数关系，因此我们可以发现函数一与三在这种情况下也有两个焦点。那我们第一个问题就通过类比思想进行了证明。接下来我们证明第二个问题，存在B使得这四个交点的横坐标各不相同。通过观察这四个点的横坐标相同的情况只有一种，即B与C相等的情况。所以我们可以把这种情况先进行分析。当B大于零小于一时，我们假设B与C出现了相同的横坐标，把这个横坐标记为N此时是不符题意的。此时一的N次方等于B分之M而line m又等于BM因此有B等于一的M次方分之N就等于N分之NN设该B值为N由一可得当M大于一小于一时，此时BGN的值是属于0到1分之1的。所以当这个B等于N的时候不符合题意。因此当它大于N小于1分之1的时候，从左到右的这四个点交点的横坐标就各不相同。同时当B大于零小于N的时候，从左到右的这四个点横坐标也不相同。而进行由小到大的排序，发现A跟D的横坐标一直都是保持在最小和最大值的位置，而B跟C的情况会有所不同。这里要进行分类讨论进行说明。因此结合这两种情况，我们就可以得到，当B在这个范围内只要除去B等于N的这种情况，这四个交点的横坐标是各不相同的，而且均为正数。我们这里用到的是正难则反的一种思想，把不符合条件的情况先进行分析，然后排除，然后分析其他的情况都是符合条件的，从而对问题进行求解。好，我们接着来看，最后我们要证明的是S1S4等于S2S3即可证明我们最后的结论。此处我们只讨论当B大于N小于1分之1的情况，若B大于0小于NS2与S3的位置交换即可。根据对偶性点，A与点C应该是关于Y等于X对称的，即它们的横坐标与对方的纵坐标相等，有S一等于ln s3。而点B与点D也是关于Y等于X对称的，即S2等于ln s4。通过这个关系发现S1比上S3就等于让S3比上S3G等于B同时S2比S4既等于ln s4比上S4也等于B因此得到S1S4等于S2S3。从而我们通过反函数一个对偶性证明了此结论。这个方法是跳出了第一问的一个思维惯性，重组方程进行分析。利用直线与曲线的一个关系分析零点个数，亮点在于挖掘出反函数的关系，根据对称性从而突破难点。我们最后看方法3，方法三其实是在方法二的基础上增加了两条辅助线，把AC与Y道进行连接，而零点个数的证明方法与方法二一致。此处只证明这四个交点的横坐标满足S1S4等于S2S3即可。根据对称性，因为三角形的o boy d是一个等腰三角形，而AC与boy dog都是垂直于Y等于X这条直线的。因此我们可以得到AC平行波导。因此我们通过平行线分线段成比例，我们就可以得到OA比上o boy等于OC比上OD而这四个线段的比可以转化成它们的横坐标之比，即S1比上SB等于SC比上S4，既有S1S4等于SBSC，而其中SB与SCGS2与S3的积从而得到证明。这个方法的亮点在于通过几何关系直接得到他们的零点关系，充分展现出问题的几何意义。好，然后第二部分我分享的是试题命制的过程与推广命制的过程。首先是受了吴康老师的启发，吴康老师把2022年新高考一卷的22题进行了一个推广，挖掘原题中的一个同构性，本人就类比到其他常见函数，包括和叉3G型的一个函数，挖掘这四组函数的一个同构关系，我就进一步思考，产生了疑问，具备相同同构性的函数是否也有类似的性质呢？从而确定了命题的方向。我选择的是其中的一组函数进行命题，这是我的第一稿命这是直接类比原题，对于有接触过原题的学生来说没有太大新意，于是进一步改编，这是我的第二稿。第二稿是充分挖掘了零点的一个关系，但是发现结论并不够简洁，于是进一步优化。这是第三稿，已经接近现在的原来题目，但后来受到学生的启发，在压轴题中比较少出现结构不良的试题，于是引入探究中的另外两个函数进来。一方面是增加了新意，另一方面也可以在讲评试题的时候便于我的推广，所以最后就命制了以下题目。同时在命题过程中也找到了一些类似的题目，可以作为学生的一个辨识训练或者是反馈练习。这是链接一，这是链接2，这道题是来源于山东淮坊市的一个高三模拟题，它的原题是一道多选题，我把它改成解答题，这是链接3，这是深圳2023届高3 9月份的一个大联考试题，也是22题的压轴题，这三道题的难度是层层递进的，所以非常适合学生作为一个补充的一个练习。同时，在学生学有余力的情况下，教师可以引导学生对其余的常见函数做进一步探究，把本试题作为一个进一步的推广，得到一些深层性的结论，例如这个结论一是通过核型的两个函数，由于两个函数同样具备同构关系，既有F的lin s等于GS以及G的ES等于F始的一个同构关系，进一步挖掘他们的一个顶点关系，这是结论。二是三型的另外一组函数同样具备同构关系，然后可以借助这个同构关系，对在000点的情况下以及0000点的情况下的一个零点关系进行证明与分析。这是结论。三是奇形函数，两个函数同样具有同构关系。此处可以分析有两个不同零点的情况下，以及四个不同零点情况下的一个顶点关系。这些结论可以促进学生对问题的一个深入剖析和探究。下一个部分说一下学生后测的分析。本题是给周测的一个公题，该学校的生源属于中等水平，试题改下来平均分是1.44，主要的得分是来源于第一位，难度0.12，区分度是0.1。学生主要出现的问题，第一个是运算的基础不扎实，如第一问带参求导出错，忽略低音域的限制等等。第二个是解题不够严谨，如第二问的0000点只考虑了其中一种而忽略了另外一种。又如直接写出A等于一并没有任何过程。第三个是转化能力不强，没有把零点问题转化出来，而是直接求导，导致找不到解题方向。第四部分我分享一下我在本次讲题命题比赛中的体会与反思。我想到的是三位前辈他们说过的话。首先第一位是长沙教育学院唐海川教授提出的数学解题教学的三个境界，分别是就题论题、就题论法、就提问到一个问题解决完后回头看看，往往会有深一层的认识，如条件有多余吗？结论能加强吗？结论能推广吗？如果条件发生某些变化，是否还有类似的结论成立？于是，本人通过对2022年新高考导数压轴题的深入探究，最终找出题目中蕴含的结构关系和几何原理，以此进行自然的推广，命制出此题，突破就题论题的层次，这正是数学探究的魅力。而第二个想到的前辈是杭州高级中学蔡校长。他指出数学教学的本质是思维过程的引导与启发，因此我们做数学题要从根本处抓起，通过研究问题的辨识、优化解题的方法、扩展问题的应用、揭示问题的背景等方式，跳出无边无际的书山题海，通过对解题的反思，留住知识之根、方法之根、价值之根本、质之根。因此，解数学题只是数学问题探究的一个部分，解完题后，探究远远还没有结束，解题后的反思与梳理往往比解题本身更加深刻。第三位想到的前辈是数学家波利亚，他在其著作中指出，没有任何一道题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做。随着新课标的不断深入，对学生的问题意识提出了更高的要求。学生若只满足于解数学题，只处于就题论题的层次，对思维的培养与核心素养的提升是不利的。因此，我们作为一线教师要发展三大意识。第一个是研究意识，教师应做足每一道课堂例题、作业、习题的文章，从不同的角度进行反思，在教学中通过自身的示范，带领学生开展一题一探的活动，加强学生的问题探究意识，挖掘问题中的根，把枯燥无味的题海变成回味无穷的涓涓细流，即我们要加深理解数学。第二个是尊重的意识，我们在教与学的过程中，必须要尊重学生的数学现实，既尊重学生的最近发展区，以学生的学情为出发，要加深理解学生。第三个是协同的意识，即教学平的一个协同发展。以本题为例，要做到直观感知与逻辑论证的一个协同发展，才能培养学生观察、联想、推广、归纳、证明等数学能力。将问题深入探究、推广延伸、类比迁移便是升华，最后实现就题论法、就题论道的一个境界。分享就到此为止，谢谢聆听，请批评指正。