大家好，我是来自江西省九江市第三中学的卢恩良。今天我给大家讲解的是一道解析几何试题命制的心路历程。首先我们一起来看试题，已知椭圆EX方比16加Y方比四等于一A为椭圆E的左顶点，直线L经过点M第一问当直线L与椭圆E相切时，求两切点所在直线的方程。第二问，若直线L与E交于CD不同，两点动直线X等于T与直线ACAD分别交于点R和SQ为线段RS的中点，求MQ的最小值。本道试题以直线和椭圆为研究对象。第一问重点考察直线与椭圆相切的位置关系。第二问以直线与椭圆相交为基础，融合定点定值考察最值的问题。我们来看一下试题解答的思路分析。先看第一问常规思路，因为点M在椭圆外，所以经过点M可做椭圆两条切线比较容易知道。点A为切点之一是另外一切点为点P那么要解决第一问，关键就是求解切点P的坐标，从而写出直线ap的方程。如何求解P点坐标，我们有常规思路，以下两种方法。设切线mp方程为Y等于KX加M联立直线MP与椭圆方程，根据德耳塔等于0，我们可以知道MK的一个关系式。又因为点M-4，负四在直线MP上也容易得到一个MK的关系。根据两个关系式求出MK的值，从而求得点P坐标，写出AP方程。在这里我们也可以直接设定点P坐标MN根据MN写出直线MP的斜率，写出MP方程。联立方程与椭圆得到德耳塔等于0，得到MN的关系式。我们利用好点PMN在椭圆上把这个关系式整理化简之后会发现这是一个关于MN的2元1次关系式。同时点A-4 0也满足这个关系式，从而由方程的同构思想得到直线ap的方程。如果我们基于二级结论去解决第一问，我们可以这样处理。第一个，利用椭圆的切线斜率与原点O切点连线斜率之积是常数E方减一得到MN的关系。又根据点P在椭圆上的M方加4M方等于16解出MN从而求出AP方程。我们也可以根据这个二级结论，椭圆的切点弦方程，迅速由点M坐标负四写出2000点ap所在直线方程。我们再看到试题第二问的解答思路分析。首先看常规思路，常规思路由直线CD出发，设直线CDY等于KX加M与椭圆联立得到X1X2的和积关系。接下来直接写出ACAD方程，从而解出这一个点R点S点Q的坐标。写出点Q坐标之后，我们发现XQYQ满足一定关系，从而得到Q点的轨迹，算得MQ最小值。那么我们也可以直接从两点间距离公式由MQ坐标计算MQ的值，将mq化为某个量的函数，由函数求最值得到MQ的最小值。常规思路解答运算量大。如果我们的同学基于数学解题的经验，我们可以猜测直线L经过定点与椭圆交于CD2点。那么椭圆上是否存在一个定点和A和这个CD连线斜率存在一定的关系呢？如斜率和斜率积或者斜率导数和如何研究直线ACAD的这个斜率关系。因为我们整个试题当中涉及到点A我们不妨考虑ACAD大胆猜想，设CDY等于KX加M与椭圆联立M减4，K等于-4，那么算的这一个ACAD的斜率为定值。这里要大胆猜想，敢于运算。因为Q为RS的终点，注意观察到RS是竖直直线，所以AQ直线的斜率等于ARAS斜率和的一半。而我们的AR斜率等于AC斜率，AS斜率等于AD斜率。既然我们算得ACAD斜率和是常数，那自然AQ斜率和也是常数，从而发现点Q轨迹是条直线，算得MQ的最小值。在这里我们为了猜测计算ACAD斜率间的关系，也可以利用歧视化的方法设定直线CD方程，M倍的X加4加上N倍的Y等于一，巧用一的代换，联立椭圆方程齐次化处理。采用这种方法的好处是既可以研究斜率和，也可以研究斜率积，还可以研究斜率导数和的关系。而且当我们这个猜测错误的时候，比如我们左侧思路猜测计算ACAD的斜率和常数，那万一我们猜错了呢？万一实际情况是斜率之积为定值呢？所以我们建议想要探究两直线斜率和积关系时，选择其次化方法是比较好的，因为它可以研究多种情形下的一个结论问题。本道试题主要考察直线的方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生逻辑推理、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数思想等。本道试题有以下几个亮点，第一，试题渗透数学重要思想。解析法是解析几何的基本思想方法，是利用代数研究几何问题的重要手段。本题可通过研究点Q横纵坐标之间的关系，得到点Q的轨迹方程直线，从而迅速求得MQ的最小值。同时也可直接使用两点距离公式，基于函数思想把MQ表示成关于某个量的函数。第二，试题突出考查高考数学的能力，要求试题既可以通过常规运算求得Q点坐标，也可以通过合理分析计算得ACAD斜率和为定值，同时根据点Q为线段RS的中点求得直线AQ斜率为定值，从而简化与计算，实现运算求解能力和逻辑推理能力的考察。第三试题倡导开放探索，关注创新意识。试题第二问通过设问MQ的最小值，促使学生探索点Q的轨迹，从而实现优化运算的目标。既可以通过直接计算发现点Q横纵坐标之间的关系，也可以探索直线AB的斜率是否为定值，从而确定Q点的轨迹。下面我们来具体看看两小问的具体解答方法。先看第一小问，方法一，由常规方法图形可知，点A是切点之一。如何求解切点B我们第一个设MP切线Y等于KX加M，联立这个切线和椭圆方程，由德塔等于零得到一个关系式，M方等于16，K方加4UM在直线MP上M减4K等于-4，从而解得KLM。那么往回带入联立方程，根据两根相等2XP等于这一个，从而解出点P的横纵坐标，求得AP方程。那么常规思路的方法，我们设定点P坐标MN切线方程。此时可以由MP的斜率N加4除以M加四结合点，经过这一个-40可以得到这一个切线方程。联立这个之后又得到等于0，得到M加4，N加四等于我们会发现2000点-4 0MN都满足这一个X加4Y加四等于零这个方程，即两切点所在直线方程为X加4Y加四等于0。如果我们基于二级结论，我们也有这么一些方法。直线MP与直线OP斜率之积等于-4分之1点，M点P在椭圆上从而得到两个方程解出点P坐标，计算两点之间斜率，写出2000点所在直线方程。另外我们也可以根据这一个MPOV斜率之积等于-4分之1，得到M方加4M加16N等于0。代入得到这一个M加4N加四等于0，也是由-4 0MN满足方程X加4Y加四等于得到2000点所在直线方程，也是一个同构的思想。如果我们直接根据这个椭圆的切点弦这个二级结论，我们可以迅速写的这个答案，-4X比16加-4Y比4等于一，也就是方程X加4Y加四等于零的试题。第一问解答我们来看试题。第二问解答试题里面要研究MQ的距离最小值。我们主要研究Q点的一个轨迹，看清Q点满足什么特征，从常规方法出发，设直线CD方程，Y等于KX加M的代入这一个DM有M等于4K减4，联立直线于椭圆方程得到这些东西。设CD坐标，两根之和，两根之积，写出直线AC方程，求得R点的纵坐标，同理可得S点的纵坐标。在这个基础之上，我们继续运算求得这一个点Q的坐标，RS的终点。然后我们来研究这一个Q的终点。在Q的纵坐标时我们发现一些信息，最后画的两倍的YQ等于负的二分之SQ加4。我们发现了这个特点，因为点Q的横坐标是T你这里有两倍YQ等于负二分之T加4，也就是负二分之SQ加4，从而得到点Q的轨迹方程X加4，Y加四等于0Q的轨迹是直线。那么直线Y点M到直线上的点的距离最小，那就点到直线距离，所以它是16倍，67除以17方法。我们在研究得到点Q的纵坐标的时候，我们点Q横坐标是T纵坐标是负四分之T加4。那么坐标里面只含有一个位置量T我们直接从两点间距离公式算的MQ长度平方是关于T的一个二次函数。当T等于-17分之50R时，我们可以算得MQ的最小值。从函数思想来考虑，我们也可以大胆猜想。根据以往的数学解题经验，设定直线CDY等于K加M我们猜测ACAD直线斜率和是一个定值。通过下面的常规运算，这种方法运算量大，大胆猜想，有风险有猜错的风险。发现这个ACAD斜率和是一个常数-2分之1。那么我们容易由图形观察得到，AR斜率等于AC斜率，AS斜率等于AD协，也就是说ARAS直线斜率和也是-2分之1。又因为Q是RS这个数值线段的终点，它们一定会满足一个关系两倍的AQ斜率等于AR斜率加AS斜率，从而AQ斜率是-4分之1，也容易得到点Q的轨迹方程。那么在方法三的基础之上，我们可以选择棋子化方法来研究直线ACAD的协力合积是否为定值。是C一直线方程M倍的X加4加上N倍的Y等于一。如何其次化处理，这是需要一定的技巧的。我们主要构造X加4与Y的二次式，得到最后四倍的Y比X加4的平方减八倍的N乘以Y比X加4加1减8M等于0。很显然此时把Y比X加4当做整体K那么关于K的1元2次方程就是我们直线ACAD的斜率的这个方程的根两根之和就是RN因为这个CD过-4，负四也很容易得到这一个-4N等于得到N等于-4分之1，所以ACAD斜率就是-2分之1，下面就不再讲，看这个解法三就可以。那么如何想到命制这么一道题要想命制一道高质量的解析几何试题，研究高考真题是一个不错的途径。因此我翻阅了近几年高考试题当中的所有解析几何解答题，发现定点定值问题备受命题者的青睐。其中2017年新课标全国一卷理数20题与2022年新课标全国一卷理数20题引起了笔者的关注，两个事例之间貌似有着一些联系。我们先看到题，17年的新科学全国一卷理数20题。第二问它是研究这一个直线过定点问题，给出椭圆上一点和椭圆上另椭圆上一定点和椭圆上另外两动点AB连线斜率和为证明直线AB过定点问题之第一题2022年全国已捐礼数。虽然题干当中并没有体现斜率和斜率积或者斜率导数和的一个定制关系，但实际隐含在里面，求解一个过定点问题。通过研究这两道试题，我得出了一般的结论。命题一过椭圆上的一点P作两条直线，分别交椭圆于另外2点AB如果直线ABA直线PAPB斜率都存在，且满足斜率和是一个常数T那么直线AB经过定点，定点坐标与这个定点X等于Y0，与椭圆A方B方的值以及这一个T的值有关系，还得到命题，故椭圆C上C上一点P做这一个两条直线与椭圆交于另外2点AB如果它们的斜率导数和等于T也能够得到直线AB经过定点。还有当竖直直线X等于M上有2点AB时，这个C为线段AB中点，P为直线外一点，那么PAPB斜率和等于两倍的PC斜率，也就是说这个PA斜率PC斜率，PB斜率成等差数列。当直线L是一个竖直直线变为水平直线的时候，也就是命题4，水平直线Y等于M上有两点，那水平线段AB的中点CP为直线LY1点，那么PAPBPC它斜率的导数之间有这样的一个关系。基于以上两道试题研究和命题的一般化，我初步命制了这一个试题。3、已知椭圆X方比4加Y方等于1P为上顶点M2-1，直线L与C交于AB2点，A在B的左侧满足PAPB斜率和是负一。第一问证明ABM3点共线，那么这个三点共线的证明思路还是比较清晰的，可以用向量的方法，也可以用斜率相等等等多种方法。第二问连接MP与C交于另一点D即直线ADBP交易为Q研究这个Q点的轨迹方程。这个设计思路是以T1为基础，以2017年你的高科技为基础，将题一里面第二问证明直线固定点问题改变为我们题三的第一问，三点中线证明难度大大降低。第二问以极点极限知识为背景，考察椭圆内接四边形的性质，其对角线交点Q就在点M对应的极限上，也就Q点的轨迹是点M对应的极限。命制题三之后，经过思考发现存在一些问题。试题第一问本着降低试题难度的目的，但仔细思考后发现，学生在作答过程当中可能会采用证明斜率相等，斜率多少等于零这种方法去做，但可能会存在混分的嫌疑，因为你证明题最终斜率做差肯定等于0。在与同行教师交流之后，有老师指出第二问极点极限背景过于明显，学生可能拆除答案。在上面的基础之上我对题三进行了修改，得到了试题4得到试题4。这个试题四第一问直接计算这个K1加K2的值，这样的话就避免了学生去混分。第二问由这个求解Q点轨迹问题改为求解这个MQ的最小值。这样的话对学生就提出了更高的要求，提出更高要求，要求学生去主动思考探索Q点的轨迹是哪一种轨迹，对学生提出了更高的要求。但是笔者在命题完之后，对题四进行了初步试着作答，发现点D坐标不是整数，在运算过程当中也存在很大的真的，而且试题的第一问求K加K的值，并没有很好的为第二问提供启发。而且两个小问常规运算量都非常大学生，极不容易得分，因此继续修改试题，得到了试题5。这个试题第一问现在变成求解这一个2000点所在直线方程。这个问题比较简单，学生很熟悉，考察学生基本的运算能力。试题第二问这个求解距离的最小值，而且第二问点Q的轨迹，它就是第一问所求直线的方程。这样的话第一问为第二问也提供了铺垫，做了暗示。对于这个试题五为了检测试题的难度，笔者把试题当做某天额外的作业布置下去，第二天询问完成情况。因为试题第一问较为常规，所以主要调查第二问完成情况。我所在班级理科班54人，只有三位同学把第二问做了出来。三位同学有采用设点法、射线法和坐标平法去处理该问题。无论采用哪种方法，这三位同学的解答过程都是非常繁琐，运算量非常大。基于这个情况，我继续修改试题，降低试题难度。以2022年全国乙卷理数20题为参考，重新设计第二问，结合命题3和5构造一条更一般的动直线X等于T，可得点Q在点M对应极线上，这样的话第一问中直线点Q第二问中直线点Q坐标的计算难度不大，很容易发现Q点坐标之间的关系，从而得到Q点的一个运动轨迹，从而研究MQ的最小值。为了很好为了检测试题的检这个效果难度，我们把这个试题6当做我们学校高三一次周考理科班的周考试题给学生作答。根据学生作答结果，最终完成了试题的定稿。完成之完成了试题的定稿，那就是我们的第七试题7。给学生当做周考试题进行检测，具体检测结果如下。试题是放置在理科中考卷的第19题，第一问五分，第二问七分，一共764人参考，年级均分1.68分，最高得分11分，得六分及以上的同学共30人从这个得分情况看，作答效果不好。这极大地出乎了我的意料，甚至有点不敢相信。大多数学生第一问都没有处理好。经过分析思考后发现原因是多方面的。第一个，本次周考试卷整体难度较大，选择填空花费学生较多时间，导致学生后面解答题时间不够。第二，学生运算求解能力较弱，数学运算素养较低。第三，审题不明，错误理解题意，把第一问错看成求解切线方程。本题由我独自完成阅卷，从批阅情况来看，反映学生不能正确选择运算策略，无法快速准确完成运算。求解第一问。在设直线方程的时候，大部分同学设成的形式是Y等于K倍的X加4减4个。别同学设计的形式是Y点KXM，其实导致这个运算就会因为方程设定的不同而产生很大差异。在这里我们就有一个思考，在直线经过定点的横纵坐标都为零的时候，如何设定直线方程比较合适？是用字母运算还是数值运算，这里有待商榷。有时候可能字母运算Y等于KF加M反而更好算一些。个别学生直接使用二级结论椭圆的切点线方程或椭圆切线方程进行作答，但也只是少数学生，这充分说明圆锥曲线复习教学时对双切线问题没有很好的深入拓展，导致学生答案都无法得出，使用常规方法运算更无从谈起。通过参加本次命题比赛，我有很大的收获。命制一道高质量的试题并非易事，稍有不慎命制的试题就出问题。命题是一次由内而外的工作，需要站在更高的角度去面对试题，然后从接地气的角度去解答试题要符合学生思考方式和习惯。命题的过程不仅仅是一个出题和解题的过程，更是将问题指向深入研究的过程。因此，命制高质量的试题需要深厚的数学功底，良好的思维品质，要求命题者不断学习，不断提升自身的数学素养。研究高考真题，感悟高考命题人的命题思路，感悟各种命题手法，更能促进一线教师的成长。我们一线教师要在日常教学中注重积累经典试题灵活力，在课堂教学中改变应用，更要善于收集素材，还要善于加工和应用素材。总之，命题工作任重道远，我们一直在路上。