命革芯体素养。大家好。我们是来自云南省昆明市第十中学的四位老师，我是薛伟。英文言宋红运。王志宏。接下来我们将为大家分享我们两道导数题的明治过程。现在由我为大家介绍视频分析、思维导图以及第一道题的解法。首先我们来看视频分析，通过近三年对高考试题导数大题的研究分析发现，已知零点个数求参数范围和不等式恒恒力条件下求参数取值范围这两个考点出现频率较高。解决该类问题的方法是要侧重函数与方程数形结合分类讨论的思想方法的渗透，加强逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力的培养，突出理性思维和数学探索的学科素养的培养。第一个问题，利用导数研究含参问题的零点问题。首先要回到零点的概念，函数Y等于FX有零点等价于对于对应方程有实数根，也等价于Y等于FX图像与X轴有交点。心中有零点，心中有概念，做法才有创新。常见的方法有含参讨论法、分离参数法和分离函数法。首先，含参讨论法结合函数的单调性、极值以及函数图像，对参数进行分类讨论。分离参数法是将不确定的函数转化为确定的函数，这样可以回避参数的讨论。分离函数法是转化为学生熟悉的两个函数图像的交点问题。在此过程中主要渗透数学思想是分类讨论、函数与方程、等价与转化以及数形结合落实的核心素养，有直观想象、逻辑推理和数学运算。第二个问题，不等式恒成立求参数的取值范围，常见的方法有含参讨论法、分离参数法和端点效应。含参讨论法通过对参数分类讨论得出导函数的符号，从而得出函数最值，求得参数的取值范围。分离参数法是将参数范围转化为求新函数的最值或值域。问题端点效应先要必要性探路，求得参数的取值范围，在证明其充分性。在此过程的数学思想有分类讨论，函数与方程从特殊到一般落实的核心素养有直观想象、逻辑推理和数学运算。好，这就是我们命制的两道导数的原创题。现在我们来看题一的解法。对于题一我们主要给出了三个解题思路。第一个思路是运用分类讨论的方法，通过二阶求导得出一阶导函数的最小值，负一减K小于0，得到了我们的分类讨论点，进而再将K大于等于0和K大于一负一小于零进行分类讨论，进而解决问题。思路二是分离参数法，通过观察函数解析式发现F负二等于0。在X不等于负二的情况下，分离参数得到方程X加二分之X乘以X加2次方，再加二等于K那么转化成这个方程有两个根的问题，通过方程左边进行构造函数转化为GX和Y等于K这两个函数图像的交点个数问题。思路三，分离函数法，那么函数有000点，我们可以转化成对应的方程，对方程进行适当的变形，得到方程T减2乘以一的T次方，加上二等于PT有三个根，有三个根，那么方程的根的问题再继续转化成两个常见函数，其中包括一次函数他们图像的交点问题。好，具体我们来看解法一，分类讨论法，通过对函数二阶求导得到零点是X等于-2。在X等于-2的时候，一阶导函数的最小值是负一减K就有了我们第一次分类讨论点。当负一减K大于等于0的时候，导函数大于等于0FX在R上是单调递增的，此种情况最多只有一个零点。当负一减K小于零的时候，我们注意到在X小于-2的时候，X加一乘以E的X加2次方是小于零的。于是有了第二次分类讨论点，即当K大于等于0的时候，整个GX图像向下平移，GX只有一个零点，原函数最多只有2个0点。当K大于负一小于0的时候，GX图像向上平移，此时有2个0点，分别是X1和X2，并且极大值FX1，极小值为FX2。我们又注意到F负二是等于零的，F0等于二倍的一减K是大于零的。并且当X趋于负无穷的时候，有FX小于0。所以结合以上分析，我们发现当K大于负一小于0的时候，原函数有000点。接下来我们看解法二，分离参数法。通过对函数解析式的观察，我们发现F-2的时候是等于0。因此当X不等于-2的时候，我们进行分离参数，得到方程X加二分之X乘以E的X加2，再加二等于K对方程左边构造函数GX转化成GX和Y等于K图像的焦点问题。当X小于-2的时候，GX单调递减，那么这个时候GX等于X加二分之X乘以E的X加2次方加二是恒小于0的X大于-2，GX又单调递增，并且G0等于一大于0。因此我们只需要研究当X等于负二的极值即可。根据罗必达法则，当X趋近于-2的时候，GX趋近于负一，因而我们得到K大于负一小于0的时候，那么函数有000点，这是图像好解法三，分离函数法FX有000点转化成对应的方程，对方程进行整理变形，得到X乘以E的X加2，加二等于K倍的X加2。发现等式两边都有X加2，我们可以考虑进行换元，进而简化得到Y一等于T减2乘以E的T次方加2，Y2等于KT转化为Y一和Y2两个函数图像的交点问题。在研究两个函数图像的过程中，发现两个函数图像都经过原点00，进而就转化成对Y等于KT这个函数中的K进行分类讨论。第一种情况K大于零的时候，有两个交点不合题意。第二种情况K小于零的时候，我们先要找到临界处，也就是在原点处Y一等于T减2乘以E的T次方加二的切线。那么经过运用切线的求法得出K是负一再结合图像我们发现当K大于负一小于0的时候，刚好两个函数有000点，进而我们得到解答。好，以上就是第一题的三种方法，接下来由倪老师对我们第二题进行思路分析和详细解答。对于第二个题，第二题是关于函数的单调性以及已知不等式恒成立求参数取值范围的问题。对于第二题的第二问，由刚才王老师的分析，我们可以知道，可以考虑分类讨论的思路来解决。将不等式整理设为新的函数GX对GX进行二次求导，我们可以得到这样的一个式子。由于X乘以E的X减一是非负的，所以接下来我们只需要再对A小于等于2以及A大大于二分类讨论即可。第二个思路可以考虑分离参数，将不等式整理为GX大于等于A这样的形式。那么接下来只需要证明GX的最小值大于等于A即可求出A的取值范围。第三个思路其实是端点效应，即我们带入一些特殊的值，比如X等于零代进去之后会发现这个不等式成立的必要条件是A小于等于2。那么接下来只需要证明充分性成立，也即当A小于等于2的时候，原不等式成立即可。接下来我们看一下第二道题的详细解答过程，第一问只需要利用导数即可锁定FX的单调区间，这里就不做赘述。而对于第二问，解法一，分类讨论法，将原不等式变形整理，将不等式的左端另为一个新的函数GX。对GX进行二次求导之后，我们可以得到这个式子。在这个式子当中，由于X乘以E的X次方减一是非负的，所以接下来只需要讨论2减A乘以E的X次方的正负即可。当A小于等于二时，我们可以发现GX1撇是单调递增的，进一步又可以得出G01撇是大于等于零的，而GA减31撇是小于零的。所以由零点的存在性定理我们可以发现，在A减3到0这个区间上，GX1撇是存在一个0点X0的。那么接下来用引零点的做法，我们可以把GX的最小值简化成这个形式，再令这个不含参函数为KX。对KX求导发现有X小于E的X次方，所以根据KX的单调性可以知道KX0是大于等于零的，也即GX的最小值是大于等于零的。所以说明A小于等于2的时候是符合题意的。而当A大于2的时候，我们容易验证奇零是小于零的这与原题是有矛盾，所以最终A的取值范围就是A小于等于2。解法二是分离参数法，把原不等式分餐整理，使得A位于不等式的一端，将不等式左端这个不含参函数列为GX。对GX进行二次求导之后，可以得到这个形式。在这个形式当中我们发现由于E的X次方大于等于X加一是恒成立的，所以可以得到UX大于等于零恒成立，那么最终可以锁定GX的最小值为二。那么这个时候只需要让A小于等于GX的最小值就可以了，所以可以求出A的取值范围就是A小于等于2。对于解法三是必要性探路，将不等式变形整理移向至不等式的左端，同时令不等式左端为GX我们代入X等于0，就可以发现G0等于2减A是大于等于零的。由此可以发现原不等式成立的一个必要条件是A小于等于2。接下来只需要证明充分性成立即可。当A小于等于2的时候，由于E的X次方也是大于零的，所以我们可以对GX进行一次放缩消参。这时候令右端这个不含参函数为UX对UX进行二次求导，利用导数的正负确定原函数的单调性。最终我们可以确定UX的最小值，也就是UX大于等于零是。恒成立的说明，当A小于等于2的时候，原不等式大于等于零恒成立也就证明了充分性成立。所以说明A的取值范围就是A小于等于2。以上就是第二道题的全部解法。好，接下来由我来给大家分享一下我们对于这两道题的一个明智过程。我们首先从一个最常见的函数X乘1的X次方开始。对它进行两次求导之后，我们发现它有一个唯一的拐点。同时我们在拐点处作出函数的切线，发现有一定的特殊性。这条切线它是穿过整个函数图像的。因此在这一个基础上面，我们从两个角度对于这一个结构进行了分析。第一，我们从不等关系的角度来看。我们发现当X小于-2的时候，函数图像位于切线的下方。当X大于等于-2的时候，函数图像位于切线的上方。我们从方程的角度来看，我们发现到我们以拐点不动的过程中间改变这条切线的斜率。在这一个过程的时候，我们发现到当这条直线的斜率小于等于切线斜率的时候，那么直线与函数的图像只会有一个交点，也就意味着方程只有一个根。同时当K大于等于0的时候，那么这一个方程有两个根。当我们的K处于切线斜率到0之间的时候，这个时候会出现到三个焦点，也就是方程有三个根。同时无论是从不等关系还是从方程关系，我们发现我们可以用两边同时乘以一方的方式，对于不等式和方程来进行进一步化简。那么化简之后的结构将会更加的简洁。因此在这一个更加简洁的结构下面，我们重新将函数调整为FFX等于X乘以一的X加次方。而这个时候它的拐点和它在拐点处的切线也变得更加的简洁一些。当然为了后面我们更进一步能够将不等号统一起来。因此我们在将整个模型向商品以两个单位得到新的拐点以及拐点处的切线。好，图形是这个样子。那么在调整之后的这一个结构下面，我们继续从不等关系的角度以及方程的角度来看待这一个模型。我们同样能够得到刚才的结论。从不等关系来看，在负二的左边函数图像位于切线的下方，在右边图像位于切线的上方。以即当我们的K小于等于负一以及大于0，以及在-1到03个范围的时候，那么方程分别有一个根、两个根、三个根。那么到这个地方我们利用方程根的个数问题，我们把它转变为函数的零点问题。明白了我们的第一个小题，也就是刚才我们呈现出来的题。一好，接着我们再回到不等关系上来。我们刚才发现到以负二为分界点，它的左右两边它的不等号是不同的。因此为了统一不等号的方向，我们利用绝对值的翻转功能，构建了如下两个函数，同时做出了它的图像。从通过图像我们不难发现，当X小于等于0的时候，那么函数的绝对值是整体位于切线的绝对值它的下方的。因此在这一个模型基础上面，我们命制了一个这样的大体。好，但是我们发现对于这样的一个题而言，我们在文章中间给出了这一个题的详细解法。那么无论从结构上还是从解题过程上，我们都发现到这一个题它离高考的要求相对来说偏高。它应该会接近于竞赛一试的难度要求。因此这一个题如果作为一个竞赛一试的模拟题，它是比较合适的。但是如果作为一个高考要求的模拟题，它的难度相对来说偏高一点，所以我们把它作为一个备选。好，为了对于这一个问题进行继续调整，我们就继续来进行一个思考。刚才的模型我们不难发现，实质上来说是在进行一个切线的不等式。那么有切线的不能不等式，我们不难想象得到一个常见的切线放缩模型。用上这一个切线放缩模型之后，我们将我们的原始结构变成了这样的一个结构。同时我们对于这个结构在图形上面进行了呈现。但是很遗憾，我们发现这一个结构相对来说比较复杂。同时绝对值过多，与高考的方向有所偏离，因此这一个方向我们就及时停止。我们需要再一次从结构上进行调整，由刚才的切线不等式我们联想到切线。转而在讨论的过程中间，我们发现到切线其本质就是在切点处的一阶Tyler展示。当我们考虑到tilla展示这一个知识点的时候，我们对于原函数进行了高阶泰勒展开。最终我们选用了这一个函数的三阶泰勒展示。是这个样子。同时我们对于它的三阶泰勒展示调整完之后，做出了它的图像。通过图像我们非常高兴的发现，这个时候函数整体位于它的三阶泰勒展示图像的上方。因此我们会得到一个这样的恒成立的不等关系。为了进一步让我们的这一个不等关系简洁化，我们将整个模型整体向右平移两个单位，使得我们呈现出来的这一个结构更加的简洁。因此在这一个基础上面，我们明知了如下的答题，也就是刚才呈现出来的问题2。到这里我们的命题过程全部结束，谢谢大家。接下来由我为大家分享命题完成后的测试情况。题一和题二分别按照满分五分和12分的标准给我校精彩班的学生进行现实测试。测试情况如下，题一平均分3.14分，满分率63%，学生的主要解法有分离参数和分类讨论题二的平均分8.68分，满分率46%，学生的主要解法有分离参数和必要性探路。本次参赛通过反复的讨论和修改，我们在题目的构思角度、结构设计、考察素养等方面都较为满意，同时也感受到了命制一道题并精益求精打磨的艰辛。在命题过程中，我们对函数模型有了更清晰的认识，对图像变换有了更深的理解。在解题过程中，我们从多个角度分析并解决问题，对于如何解决问题有了进一步的体会。本次参赛对我们今后在工作中保持精益求精的状态将产生深远影响。以上就是我们这两道导数题的明智全过程，谢谢大家。