大家好，我是来自华南师范大学附属中学的周建峰老师。这次我命制的是一道函数与导数的一个压轴题。我们先来看一下这个题目。给出一个函数FX. 过这个。点AB可以做曲线FX的两条切线。第一问要给出AB应该满足的充要条件。第二问要证明一个关于AB的一个不等式，给出一个参考数据。我们先来分析第一问对FX经过两次求导，发现它的二阶导是大于零的那我们知道它这个函数的图像是一个下凸的一个函数图像。那过AB作两条切线的话，它的条件我们平常通过研究的话是可以得出这样的一个结论的，但是要论述它就不容易。对地。问设。七点。对它进行一个求导，在T这边的导数值就是它的切线的斜率。因为刚才分析了二阶导是大于零的，那么一阶导是一个单调递增，不同的T值对应的切线斜率是不一样的。那当前解答关于T的这样一个方程有两个词根的时候是符合题意的。进而可以得到AB应该满足的一个重要条件。写下过程的话是切点，一阶导把它的切线方程写出来。因为过AB这一点代进去符合，所以刚才分析了一阶导单调递增，不同的T值对应的切线斜率是不一样的。所以当前解答关于T的这样一个方程，有两个实根是符合题意的，我们把右端这个函数设为AT来分析这个函数。一阶导。分解完以后。发现第二个因式是恒大于零的。所以只需要分析第一个因式，当A小于零的时候最容易看出一阶导是恒小于0，单调递减。所以这个方程至多有一个实根。当A大于零的时候，可以以A为界进行讨论。零到A的时候导函数大于0，单调递增，大于A的时候导函数小于零单调递减。还有个细节很重要，当T分别趋近于零和正穷的时候，GT这个函数的函数值的趋势，发现它都是去负无穷的。所以可以得出结论，当B小于GA，GA实际上就是它的最大值。这个时候有两个实根，通过上面的分析最终得出结论，当A大于零而且B小于GA的时候，过点AB可以做两条切线。第一题的思维导图。首先因为我们要过AB点做两条FX的切线，它应该满足什么样的条件？过定点的时候，斜率是决定了这个直线，所以设这个切点来写出过AB的这条切线。因为通过刚才的分析，当前仅当T的值不同，那么切线当前检查关于T的方程有两个，实根，分析GT的单调性、极值、极限的情况，最后得到AB应该满足的重要条件。接下来其实这个问题在2021年，全国高考一卷有一个非常类似的一个问题，不过是一个选择题。指数函数多一点，要做它的两条切线。我们知道指数函数也是一个下凸的函数，平常研究过的同学就知道，当这个点位于因为这个只算出有一条渐进线，就是X轴往负无**近的时候，它是逼近X轴轴的。所以当这个点位于曲线和渐近线之间的时候，这个区域的时候，它有两条切线。当这个点位于。X. 轴下方或者X轴上的时候，往这个负无穷方向这个就没有切线了，所以它只有一条切线。当这个点位于这个曲线的上方的时候，它没有切线。当然点落在曲线上的时候有一条切线，这个是我们是可以比较容易得出结论的。但因为它是选择题，不需要推导的过程，所以这个题的难度并不大。接下来我们来分析。第二问。要证明关于AB的这样一个不懂事。因为第一问我们已经给出了一个关于AB的一个充要条件，会利用它可以把这个不等式先进行一个优化。因为有第一题的结论，有这个东西。那我如果我能够把左边的这个B放松一下放松一下，所以我只需要证明这样的一个不等式就可以了。又注意到A是大于零的，所以这个绝对值可以去掉，得到关于A的这样一个不等式，所以只需要证明这个不等式大于等于零就可以。好，我左侧它有个新的一个函数RFX，所以后面的这些几种解法，我们都集中在讨论大FX大于等于0。如何去证明？最常规的想法自然就是求导，直接求导证明它。大于等于。一阶导。发现一这一点导数值是等于零的，继续二阶导三阶导。到三阶导的时候就发现它是一个单调递增的，这样我们就可以依次往回推倒。所以第一种针法，我们就是大概在只需要增加拜登经过一阶导、二阶导、三阶导，发现把单调递增。但是这是一个引领点，注意到一这一点导三阶导小于0，2分之33阶导大于0，所以存在一个X0好是三阶导的零点。所以在S0左边二阶导单调递减，S0右边二阶导单调递增。进一步的分析，在S0这点2阶导代进去。因为我们平常以零点的一些讨论的技巧带进去，容易证明它是大于零的那这样一来二阶导是横排于0，所以一阶导在零到中小半导体中又注意到一这点的导数值是等于零的，所以很容易分析，一这点就是它的最小值点，那最终。不等式。就证明了。其实这个过程我们再深入探究一下，发现了求导的过程还可以优化。在一阶段里面会发现把指数这一块提出来，假设剩下的这一块为负X求导。然后分母的这。一块通过因式分解发现它是大于零的。所以3X的导数大于0，它是单调递增一这1点Y1是等于0。这样一来我们就很容易证明，在这个一的左边的时候，FX是单调递减，一的右边的时候开始是单调递增，最终同样可以证明相比刚才的这个阵法这个阵法在刚才的基础上做了改进，有效的避免了10年的这样的一个讨论，这个是一个不错的一个想法。我们再来分享，如果在正法一的基础上，刚才在正法一的基础上利用了指数找朋友的方法，那这样一来我们能不能进一步的想，我直接对大FX利用指数找朋友的方法可不可以呢？所以我只需要证这样的一个不等式成立就可以了。左端的这个函数对N次求导以后其实更加易于讨论。那我们来看一下过程。通过刚才的分析，只需要证这里小于等于0，设它为一个新的函数，大GX求导。设前面这一段为3X对FX求导，发现它是一个很小于零的。所以斐X单调递减，一这点它又等于0。所以进一步的就得出大GX的单调性，先增后减，所以在一这点取得最大，所以大GXX是小于等于一的，原来的不等式自然就成立了。接下来我们来考虑能不能用指数的这个不等式进行放缩呢？放缩法是我们在证明函数不等式常用的一个办法，对于这个大FS如果现在进行一个放缩，得到一个右端的这样一个不等式，我只需要证明这个大于等于零就可以了。但是有点遗憾的是，这个不等式只是在0到1的时候成立。在大于一的时候，对FX直接求导来证明。我们看一下过程。首先要把。这个对数不等式要进行一个证明。做完以后，在0到1上有刚才这个不等式，一的X减1次方是大于等于X。这样放缩设置为一个HX求导，发现它很小于等于单调递减，所以证明了这个时候是大于等于0。在大于等于在大于一的时候，设它为大GS直接求导。因为这个时候。约束了X大于一，所以二阶导发现它是恒大于零的，所以一阶导单调递增。在一这边的导数值也是等于零的，所以JX一阶导大于0，所以GX在一到正琼单调集中，同样也可以证明这个不等式，它的好处就在于在X大于的时候，虽然说是直接求导，但是有效的避免了引领点。进一步的思考，刚才用了对数的不等式进行方说那指数不等式，那刚才是指数不等式进行放出，现在用对数不等式是不是也可以进行放出呢？所以这样一来，我们把它放缩为右端的这个式子，只需要证明它大于等于零就可以了。但是同样发现它只在大于等于一的时候成立，在0到1之间也同样用直接求导的方法去证明。好。正法四。先同样对这个对数不等式先证明大于等于一的时候放松，设它为HX通过求导发现二阶导是大于。等于零的。所以一阶导是一个单调递增的，是大于等于一这一点的导数值是大于等于零的。这样一来HX在一到这种情况单调递增当然可以证明它是大于。等于零的。在0到1的时候，我们继续回过头来，对它直接求导。同样在三角。导的时候发现它是小于零的那二阶导就是单调递减，可以证明它是大于零的那一阶导又单调递增，它是小于零。恒小于0。所以大FX就是一个单调递减大于一这边的函数值大于0，这样一来同样证明了不等式。有了刚才的阵法3、阵法4，自然就有一个想法。那能不能把这两种阵法结合起来呢？当然可以在0到1的时候用正法3。在大于等于一的时候用正法。四对。分区间分段讨论，在两个区间上分别用指数不等式和对数不等式进行放缩。这样同样能够证明这个不等式。这就是放缩法证明不等式的一个妙处。我们再来进一步的分析，对大FX. 求导以后。得到一个指数类型的一个函数式。能不能考虑通过放松的方法来证明它在0到1上导函数是小于零的，在大于一的时候导函数是大于零的呢？如果能够证明这一点，那这个不等式自然也就成立了。同样充分利用指数不等式来先把它证一下。一阶档。0到1的时候。我们想把。它进行一个放松，注意到这个时候一的一减X次方是大于等于2减X这个是大于零的。所以把它倒一下倒过来，所以X减一是小于等于2减X分之一。这样直接把一阶导放大，通分发现它是小于零的，所以大X单调递减。当X大于一的时候，我们知道一的X减1次方是大于等于X所以把一阶导函数缩小，同样发现它是大于零的，所以大X单调递增。这样一来我们就论证了一这一点就是大FS的最小值点。这样原来的不懂事自然。就证明了。应该说阵法五是这几种阵法里面最简洁最妙的一种阵法，就是充分利用了不等式的一个放松。第二题的一个思维导图，我们看一下，要证明这样的一个等式，利用的结论，把它优化为证明这样的一个不等式。由刚才我们的这个分析策略一直接构造函数来证明，设计这样的一个函数，虽然它有引领点，因为F1是等于零的，一阶导也是等于零的。进行它一个三阶的一个求导，当然中间用到10年的一些证明的一些技巧，就得到2阶导大于0，这样可以逐级返回，最后论证出X等于一是它的一个最小值点，从而证明了FX恒大于0。策略二我们是用了指数找朋友的一个技巧来优化不等式。要证的这个不懂事的，通过只是找朋友的方法构造出一个新的不等式，对左端的这个不等式来进行求导，分析单调性，找出左端函数的一个最大值，就发现比直接求导就方便简洁一些。策略上我们是用了指数不等式来进行放松。放缩以后这个不等式要证明它，其实发现它只是在0到1的时候成立，在X大于一的时候直接求导证。策略四我们是用了对数不等式来进行放缩，只需要证明放缩以后的这样一个不等式成立。同样它只在S大于等于一的时候，在0到1的时候，对直接对FS直接用求导重力这两种方法都有它的优点和缺点，但一旦结合起来，就得到。一个更简洁。的一个证法，在0到1上用指数放缩，一到这种穷上用对数放缩，这样一来照样可以证明这个不懂事。策略五是想办法对导函数指数部分进行放松。因为在大一和小一的时候，分别可以利用我们指数的不等式来进行放大或者缩小。因为它一这一点的一阶道它是等于零的。通过方程法我们证明了0到1的时候导函数是小于零的，一到正琼上导函数是大于零的。在一这点就是它的最小值，从而证明了这样的一个。不等式。这个题我们是想把这个切线问题进行一个融合，想先考察学生对切线问题的一个分析的能力。由刚才的分析我们知道，其实要得出结论并不难，但是要把它分析清楚就不是一件容易的事情。所以需要用第二问需要设计一个不等式。我们要充分利用第一问的一个结论，把它进行一个优化。而且优化以后直接证明也是有难度的，通过我们一些放松，或者以零点的一些分析手段来进一步的证明。这个题是为我们四校联考的压轴题提供的一个题目，满分42分。我们学校平均是3.07，这个题难度0.2526，区分度是0.21。反映出来的一些主要的问题，第一就是运算不过关。有些学生求导出错，或者忽略了定义对这个函数的一些影响。或者说论证不严谨。因为刚才说了，第一问那个结论是容易得出来，但是要把它论证清楚就不容易。而有些同学直接用了易得这样的一些论述，没有任何数。第三转化能力。不足。在第二问当中，少数同学没有充分利用利用的条件进行放松，而是用切线方程把B替换成两个切点X1X2为圆的公式。这样走下去的话，这个题就很难去证明。对这个题。的命制也是。经过了反复的琢磨和修改。首先第一个我们给出来的，我给出的是这样的一个函数。第一问求一个最小值，这是一个很常规的一个问题。然后第二问证明这样的一个不等式命制完以后我们发现。首先要得出这样的，第一问不说了，第一问就是一个很简单的一个求助者的问题。第二个首先得到这样的一个结论。只需要证明这样的一个不等式结果我发现证明这样的一个模式，仅仅是证明它小于一个常数，略显得有点单薄。因为秋小宝分析下单调性，就很容易得出它的这个上限。或者这个句子显得单薄了一点，所以在定稿的基础上修改了一下。把这个要证的不等式后面加了关于A的一个二次多项式。通过这样的修改，首先优点就在于要需要弄一个稍微复杂一点的这样一个不等式。但是它可以。用第一问的结论。在0到2上可以把它放缩为，只需要证明这个就可以了，这个不等式就可以。X8L的时候直接求导可以证明，同样可以避免以零点跟前面的这个正法一的点评那个方法差不多。但是缺点就在于不等式的证明比较单一，缺乏发挥的一个空间。而且还有一个细节的问题就在哪里呢？因为不等式里面已经出现了FA因为我们知道FX的这个函数，它的这个定义域是大于零的，其实就隐含了A大于零的这样一个条件。而在前面讨论AB应该满足的创业条件的时候，对A需要大于0和小于零进行一个分析。所以这样一来缩小了切线分析的一个空间，所以还是把它再进行修改。第三个，就索性把FA那个形式稍微改一下，在这里加一个绝对值，这样A大于零小于零都是可以的。但是。第一题和。第二题没有关联性，显得有点别扭。因为当时主要是考虑的设计这个题目还是要给学生送点分，所以第一问其实就是给学生送几分。但这样一来的话就是第一问和第二问显得这个关联性不够，是吧？显得有点别扭。所以。有了第四个，第四个就直接。去掉了第一问，把第二问拆分成两个这样的一个小问。首先要给出AB应该满足的充要条件，第二要证明这样的一个不等式。应该说有了这一稿，就相对来说已经比较满意了。但是还是有一点感觉美中不足的，就是在正面的过程当中，过多的用到了一些特殊数据，就是列出的02、03、05这些通通都要用到，就让学生陷入到一个数据比较繁琐的这样一个分析当中。所以还是考虑把这个方向进行一个优化，所以有了最终的这一个版本，就是把后面这个多项式再进行调整，有了最终的版本。所以一道好题往往要经过千锤百炼，反复的修改，反复的涂抹，以求达到更完美的一个境界。对，通过这道题的名词，从中体会到非常多要命制一个好的题目确实是不容易，但是从中得到了锻炼和体会，这个也是非常丰富的。最后感谢温老师及其团队老师们组织的本次活动，这次命题比赛的这样的一个过程，全程的这样一个继续锻炼了自己，也从中体会到了很多这方面的一些经验和技巧，也感谢文老师的精心指导，谢谢。