重难点13：概率初步压轴题八大模型 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高二数学必修三概率初步压轴题，系统整合抛掷骰子、取球、射击、投篮等八大典型模型，从古典概型基础到复杂情境综合应用，构建由具体到抽象的学习支架，助力学生夯实概率计算与模型转化能力。 资料以真实情境（如亚运会投篮、强基面试）设计问题，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过分层例题（基础计算到多事件综合）提升逻辑推理与运算能力，课中适配分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化压轴题解题思维。

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点13 概率初步压轴题八大模型 题型一、抛掷骰子模型 1．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”． （Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率； （Ⅱ）求事件发生的概率； （Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率． 2.抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是4的概率； (2)点数之和小于4的概率； (3)点数差的绝对值为3的概率． 题型二、取球模型 3.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件，且事件发生的概率是. (1)求的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小球得2分，设第一次取出小球后得分为，第二次取出小球后得分为，记事件为“”，求事件发生的概率. 4．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 5.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色． 写出该试验的样本空间； 设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由． 6.班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择： 方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品． (1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点； (2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由． 7．袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2． (1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； (2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立． 8.某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次． (1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率； (2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？ 题型三、射击模型 9.已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲、乙两人的射击互相独立．求： （1）甲、乙两人同时击中目标的概率； （2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率； （3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率． 10.甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分.若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为. （1） 求的值； （2） 两人各射击三次得分之和不超过8分的概率. 11.甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立. (1)求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率； (2)求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率； (3)若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率. 题型四、投篮模型 12.在第19届杭州亚运会上中国女篮以74:72战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94． (1)求p； (2)甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球3次的概率． 13．甲、乙投篮比赛，据以往比赛情况，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每次投中与否互不影响. (1)若甲、乙各投篮一次，求甲、乙都投中的概率； (2)若甲投篮两次，乙投篮一次，求甲投中次数与乙投中次数相等的概率. 14.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率. 15.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲. (1)求第3次投篮者为乙的概率； (2)求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率. 题型五、选科模型 16.新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科．某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科． （1）从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； （2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率． 17.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 题型六、体育比赛模型 18.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛采用七局四胜制，即率先取得4局胜利的人最终获胜，且该场比赛结束． （Ⅰ）求前3局乙恰有2局获胜的概率； （Ⅱ）求到比赛结束时共比了5局的概率； （Ⅲ）若乙在前4局中已胜3局，求还需比2局或3局才能结束比赛的概率． 19.已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 20．为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 . (1)若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率; (2)若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由. 21.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲轮空． （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率． 22．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.    (1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 23．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 题型七、答题过关模型 24.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是． （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 25.在安全常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关安全常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否相互独立的． （1）求乙，丙各自答对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题的概率． 26.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 27．某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛. (1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率； (2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲､乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率. 28.单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 29．甲、乙两位同学参加某种科学知识比赛进入了决赛阶段，决赛规则如下：最多进行两轮比赛，每人每轮比赛在规定时间内答两道选择题，答对一道得3分，不作答得1分，答错得分．第一轮结束总得分高的胜出，得分相同则进行第二轮比赛．对于一道选择题，假设甲选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为，乙选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为．又假设甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响． (1)若，，，，，，求： ①第一轮比赛结束甲得分为2分的概率； ②第一轮比赛结束甲、乙的得分相等且概率相等的概率； (2)若，求第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率． 题型八、电路图模型 30．如图，用四类不同的元件连接成系统，当元件正常工作且元件都正常工作，或当元件正常工作且元件正常工作时，系统正常工作.已知元件正常工作的概率依次为. (1)求元件不正常工作的概率； (2)求元件都正常工作的概率； (3)求系统正常工作的概率. 31．2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 32.某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表： 专业 机电维修 艺术舞蹈 汽车美容 餐饮 电脑技术 美容美发 招生人数 就业率 （Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率； （Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值． 33.某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下： 1 3 1 1 6 3 3 4 1 2 4 1 2 5 3 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 3 4 5 (1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率： (2)某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率. 34.2020年是我国网络建设的加速之年.截至2020年底，中国已建成全球最大的网络.为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评.其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地网络发展水平.其中5座受测城市的综合下载速率(单位：)数据如下表： 城市 路段 综合下载速率(单位：) 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （1）从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的概率； （2）甲､乙两家网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察(甲､乙的选取互不影响)，求甲､乙两家运营商中恰有1家选取的城市“综合下载速率”大于800的概率. 35.某商场举行优惠促销,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种:方案一:每满200元减50元；方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别) (1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得优惠的概率； (2)若某顾客选择方案二,请分别计算该顾客获得半价优惠的概率、7折优惠的概率以及8折优惠的概率； (3)若小明的购物金额为320元,你觉得小明应该选取哪个方案,为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点13 概率初步压轴题八大模型 题型一、抛掷骰子模型 1．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”． （Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率； （Ⅱ）求事件发生的概率； （Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率． 【解析】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共有36个基本事件， 事件：“两数之和为8”，事件包含的基本事件有： ，，，，，共5个基本事件， 事件发生的概率为（A）． 事件：“两数之和是3的倍数”， 事件包含的基本事件有12个，分别为： ，，，，，，，，，，，， 事件发生的概率（B）． 事件与事件至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为： ，，，，，，，，，，， 事件与事件至少有一个发生的概率为． 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是4的概率； (2)点数之和小于4的概率； (3)点数差的绝对值为3的概率． 【解题思路】（1）抛掷两颗骰子，计算出总的基本事件，然后列出点数之和为4包含的基本事件，由此能求出点数之和为4的概率． （2）列出点数之和小于4的基本事件，由此能求出点数之和小于4的概率． （3）列出点数差的绝对值为3的基本事件，由此能求出点数差的绝对值为3的概率． 【解答过程】（1）抛掷两颗骰子，基本事件的总数， 点数之和为4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3个， 所以点数之和为4的概率； （2）点数之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个， 所以点数之和小于4的概率； （3）点数差的绝对值为3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6个， 所以点数差的绝对值为3的概率. 题型二、取球模型 3.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件，且事件发生的概率是. (1)求的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小球得2分，设第一次取出小球后得分为，第二次取出小球后得分为，记事件为“”，求事件发生的概率. 【解题思路】（1）袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，得到，解得答案. （2）红色小球记为，黄色的小球记为，蓝色小球记为，，列举出所有情况共12种，满足条件共有4种，得到概率. 【解答过程】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，每个结果可能性相同， 其中事件发生有种结果，所以，解得. （2）把红色小球记为；黄色的小球记为；蓝色小球记为，； 则两次不放回地取出小球的组合情况可用表格表示为 × × × × 共12个样本点， 其中事件包含的样本点有，，，，共4个， 所以. 4．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 5.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色． 写出该试验的样本空间； 设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【解析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，，， 因为，，为两两互斥事件， 由已知得， 解得， 盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，； 由得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则， 所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 【点评】本题主要考查了样本空间的定义，考查了古典概型的概率公式，属于中档题． 6.班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择： 方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品． (1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点； (2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由． 【解题思路】（1）根据题意，设三个红球分别为：，两个黄球分别为，利用列举法一一列举出来即可得到答案； （2）根据古典概型，分别求出三种方案的概率，即可得出结论 【解答过程】（1） 记摸到1，2，3号红球分别为，，，摸到4，5号黄球分别为，， 则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，共10个； 按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个； （2） 方案一中，设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”， 则由（1）知事件A包含，，，，共4个样本点， 故； 方案二中，设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”， 则由（1）知事件B包含，，，，，，，，共8个样本点， 故； 方案三中，设两次抽查取的球所标的数字分别为、， 则所有可能的基本事件对应的二元有序数组表示如下表，共25个基本事件， （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 在方案三中，设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”， 则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点， 故； 因为，所以选择方案三获得奖品的可能性更大. ( 23 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7．袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2． (1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； (2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立． 【答案】(1) (2)， ，事件A与事件B不相互独立 【分析】（1）先设事件，然后求出抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率和抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，然后相加即可； （2）分别求出“第一次取到的是红球”的概率和“第二次取到了标记数字1的球”的概率，然后通过判断是否成立来判断相互独立性. 【解析】（1）记事件C“取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3” 事件D“第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3”，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：， 事件E“第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3”即抽到的是蓝2 红1或者蓝1红2的概率， 则所求的概率为 （2）记3个红球分别为，，其中，表示红球标数字1，表示红球标数字2，记2个蓝球分别为，其中表示蓝球标数字1，表示蓝球标数字2 则从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个共有20个结果的样本空间 其中事件共12结果； 其中事件共12个结果； 其中事件共7个结果， “第一次取到的是红球”的概率， “第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1概率， “第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1， 概率． 因为成立，所以事件A与事件B不相互独立 8.某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次． (1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率； (2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？ 【答案】(1) (2)不会超过20% 【详解】（1）3个红球的分别记为1，2，3，1个黑球记为a，1个黄球记为b． 从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20个， 有黄球的样本点为（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为． （2）从袋中连续取两次球，每次取1球后放回，所包含的样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25个， 取出的2个球中没有红球的样本点为（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4个， 所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为， 所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%． 题型三、射击模型 9.已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲、乙两人的射击互相独立．求： （1）甲、乙两人同时击中目标的概率； （2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率； （3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率． 【解析】（1）甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲、乙两人的射击互相独立， 设事件表示“甲命中”，事件表示”乙命中“， （A），（B）， 则甲、乙两人同时击中目标的概率为： （A）（B）； （2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的对立事件是甲、乙都没有击中目标， 甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率为： ． （3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率为： ． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分.若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为. （1） 求的值； （2） 两人各射击三次得分之和不超过8分的概率. 【答案】 /0.75 【解析】设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件， 则，， 因为甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为， 所以， 可得，解得， 记两人各射击三次得分之和为，可得的可能取值是0，2，4，6，8，10，12， ， ， 所以两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为． 故答案为：；． 11.甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立. (1)求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率； (2)求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率； (3)若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率. 【解析】（1）根据相互独立事件的概率公式，可得两人均击中目标的概率为. （2）甲击中2次，乙击中1次的概率为， 甲击中1次，乙击中2次的概率为， 故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为. （3）由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标， 若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为， 若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为 ， 故所求概率为. 题型四、投篮模型 12.在第19届杭州亚运会上中国女篮以74:72战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94． (1)求p； (2)甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球3次的概率． 【解析】（1），解得． （2）设分别表示事件甲投篮两次投中三分球一次、两次，设分别表示事件乙投篮两次投中三分球一次、两次． 则，， ，． 设“甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次”， 则． 故甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次的概率为0.4256． 13．甲、乙投篮比赛，据以往比赛情况，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每次投中与否互不影响. (1)若甲、乙各投篮一次，求甲、乙都投中的概率； (2)若甲投篮两次，乙投篮一次，求甲投中次数与乙投中次数相等的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率计算可得； （2）分甲乙均中0次和1次，由独立事件概率公式计算. 【详解】（1）由题意可得，甲乙投篮为独立事件，所以甲、乙各投篮一次，甲、乙都投中的概率为. （2）分甲乙均投中0次和1次， 则甲投中次数与乙投中次数相等的概率为. 14.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率. 【解析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮时投中， 则，，，记“甲获胜”为事件，则 （2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件. 则 15.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲. (1)求第3次投篮者为乙的概率； (2)求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率. 【解析】（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"， 根据题意可知，与互斥， ； （2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知： ， 事件互斥，且每次投篮的结果相互独立， . 题型五、选科模型 16.新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科．某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科． （1）从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； （2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率． 【解析】（1）由题意可知，所有选科组合为： 物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政，共12种， 记事件 “所选组合符合该大学某专业报考条件”， 则事件包含的组合为：物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，共5种， 所以（A）； （2）记事件 “甲符合该大学某专业报考条件”，事件 “乙符合该大学某专业报考条件”， 事件 “甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”， 由（1）可知，， 所以． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 17.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 【解析】（1）这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 则 （2）设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则. 设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为； （3）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则 ， . 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 题型六、体育比赛模型 18.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛采用七局四胜制，即率先取得4局胜利的人最终获胜，且该场比赛结束． （Ⅰ）求前3局乙恰有2局获胜的概率； （Ⅱ）求到比赛结束时共比了5局的概率； （Ⅲ）若乙在前4局中已胜3局，求还需比2局或3局才能结束比赛的概率． 【解析】（Ⅰ）每局比赛乙获胜的概率均为， 故前3局乙恰有2局获胜的概率为． （2）第一种情况，比赛结束时恰好打了5局且甲获胜， 则概率为， 第二种情况，比赛结束时恰好打了5局且乙获胜， 则概率为， 比赛结束时共比了5局的概率为． （3）乙在前4局中已胜3局，概率为， 还需3局才能结束比赛，可能最终甲获胜，也可能最终乙获胜， 若最终甲获胜，则第5，6，7局甲获胜，概率为， 若最终乙获胜，则第5，6局甲获胜，第7局乙获胜，概率为， 综上，若乙在前4局中已胜3局，还需比2局或3局才能结束比赛的概率为． 【点评】本题考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由互斥事件和事件概率加法公式可得； （2）将所求事件转化为这互斥事件的和事件，再由概率加法公式可求. 【详解】（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局， 因为前两局比赛中，双方各先手一次， 故双方需要进行第三局比赛的概率． （2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥， 由， ， ， 得． 20．为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 . (1)若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率; (2)若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由. 【答案】(1) (2)选择五局三胜制对甲队更有利，理由见解析 【分析】（1）用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ，设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，得到，结合相互独立事件和互斥事件的概率公式，即可求解； （2）用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ，设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，根据相互独立事件的概率公式，求得，即可求解. 【详解】（1）解：用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ( )， 则 ， 设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，则 ， 由各局比赛结果相互独立，且事件互斥， 所以. （2）解：用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ， 则 ， 设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，则， 由各局比赛结果相互独立，且事件 互斥， 所以， 因为，所以选择五局三胜制对甲队更有利. 21.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲轮空． （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率． 【解析】（1）记事件为甲胜乙，则，则， 事件为甲胜丙，则，， 事件为乙胜丙，则，， 则丙被淘汰可用事件来表示， 所以前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为： ； （2）若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ， 所以只需四场比赛就决出冠军的概率为： ． （3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为， 第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件，甲轮空为事件， 所以甲最终获胜的概率 ． 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了互斥事件的概率加法公式，属于中档题． 22．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.    (1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）乙在第1场、第4场均负，利用独立事件的乘法公式进行求解； （2）分析出甲获胜的情况，得到各个情况下的概率，相加后得到答案； （3）分乙的决赛对手是甲，丙，丁，分析出各场比赛胜负情况，求出相应的概率，相加后得到答案. 【解析】（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负， ∴乙连负两场的概率为； （2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜， ∴甲获得冠军的概率为：． （3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜， ∴甲与乙在决赛相遇的概率为：． 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种： 乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜， 若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为： ， 若乙的决赛对手是丁，和乙的决赛对手是丙情况相同， ∴乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：． 23．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率分别为，； (2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利. 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率； （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论. 【解析】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为， 获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为. （2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，获得冠军的概率. 令， 若为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据“双败赛制”赛制的描述讨论A进入胜者组、败者组两种情况，分别求出得冠军的概率为关键. 题型七、答题过关模型 24.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是． （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 【解析】（1）甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节， 他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是． 甲考生通过某校强基招生面试的概率为． （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： ． （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： ． 【点评】本题考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 25.在安全常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关安全常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否相互独立的． （1）求乙，丙各自答对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题的概率． 【解析】（1）设 “甲答对，” “乙答对”， “丙答对” ，， 又， ，， 又， （2）甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题，分两种情况： 甲、乙、丙三人中，有两个人答对一个人答错，概率为； 三个人都答对，概率为， 所以，甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题的概率为： ． 【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，属于基础题． 26.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 27．某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛. (1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率； (2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲､乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）列举法求出古典概率； （2）分别求出甲答对2道题，乙只答对1道题的概率，再根据独立事件概率乘法公式求出答案. 【解析】（1）记3名男生分别为名女生分别为， 则随机抽取2名同学的样本空间为 ， 记事件恰好抽到1名男生和1名女生” 则事件 ； （2）设事件“甲答对2道题”，事件乙只答对1道题”，根据独立性假定，得 ，. ， 所以甲答对2道且乙只答对1道题的概率是. 28.单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法应用古典概型计算即可； （2）应用对立事件求概率，再应用互斥事件和概率公式及独立事件概率乘积公式计算. 【详解】（1）样本空间，共有10个样本点， 设“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故． （2）记丙得分的事件为，丁得分为，其中 由题意； 记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为，易知 由题意 29．甲、乙两位同学参加某种科学知识比赛进入了决赛阶段，决赛规则如下：最多进行两轮比赛，每人每轮比赛在规定时间内答两道选择题，答对一道得3分，不作答得1分，答错得分．第一轮结束总得分高的胜出，得分相同则进行第二轮比赛．对于一道选择题，假设甲选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为，乙选择作答且答对的概率为，选择作答且答错的概率为，选择不作答的概率为．又假设甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响． (1)若，，，，，，求： ①第一轮比赛结束甲得分为2分的概率； ②第一轮比赛结束甲、乙的得分相等且概率相等的概率； (2)若，求第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率． 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）①甲答题得2分的情况分两种情形讨论，结合概率的公式求解即可；②讨论出甲乙都答了2题，且都是1对1错，结合概率公式即可. （2）乙不需要进行第二轮比赛即甲乙得分不相同. 【解析】（1）①因为甲答不同的题互不影响，所以甲可能：2道题中对1题错1题，或者2题都不答， 即， 所以第一轮比赛结束甲得分为2分的概率为． ②由已知得，第一轮比赛结束甲、乙的得分相等的情形：都答对2题分，都答错2题，2题都不答，这些情形概率不相等； 所以甲、乙都是选择作答2题，一题答对一题答错， 因为甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响， 所以第一轮比赛结束甲、乙得分相等且概率相等的概率为 ． （2）因为，故在第一轮比赛时甲、乙都选择作答每道题， 所以在第一轮比赛结束时每个人的得分可以是6分，2分和分， 因为甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的答题均互不影响， 所以第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率即甲乙得分不相同的概率为 ． 题型八、电路图模型 30．如图，用四类不同的元件连接成系统，当元件正常工作且元件都正常工作，或当元件正常工作且元件正常工作时，系统正常工作.已知元件正常工作的概率依次为. (1)求元件不正常工作的概率； (2)求元件都正常工作的概率； (3)求系统正常工作的概率. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）元件不正常工作是元件正常工作的对立事件，所以元件不正常工作的概率为1减去正常工作的概率； （2）根据元件都正常工作是三个相互独立事件即可计算概率； （3）系统正常工作可分为都正常工作和正常但不都正常工作两种情况，概率是两种情况的概率和. 【解析】（1）设元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，元件正常工作为事件. 由元件正常工作的概率，所以它不正常工作的概率； （2）元件都正常工作的概率 （3）系统正常工作可分为都正常工作和正常但不都正常工作两种情况， 都正常工作的概率为， ､正常但不都正常工作的概率为， 所以系统正常工作的概率是. 31．2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用独立事件乘法概率公式，结合互斥事件概率公式，即可求解； （2）首先分别计算张三和李四购买价位在5000元以上的华为手机的概率，再结合 独立事件和互斥事件概率公式，列式求解. 【解析】（1）设张三购买华为手机为事件，李四购买华为手机为事件， 则恰好有一人购买华为手机的概率 （2）设张三购买5000元以上手机为事件，李四购买5000元以上手机为事件， 张三购买5000元以上的华为手机为事件，李四购买5000元以上的华为手机为事件， 则，, 所以至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率 . 32.某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表： 专业 机电维修 艺术舞蹈 汽车美容 餐饮 电脑技术 美容美发 招生人数 就业率 （Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率； （Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值． 【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）． 【详解】（Ⅰ）由题意，该校往年每年的招生人数为， “餐饮”专业直接就业的学生人数为， 所以所求的概率为． （Ⅱ）由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为， 招生人数调整后全校整体的就业率为， 解得． 33.某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下： 1 3 1 1 6 3 3 4 1 2 4 1 2 5 3 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 3 4 5 (1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率： (2)某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是， 则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为. 某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是， 则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为. （2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是， 则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件. 设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A，积分大于1分，记为a， 则某顾客抽奖3次，每次所得积分的情况为aaa，aaA，aAA，aAa，AAa，AAA，AaA，Aaa， 共8种，其中符合条件的情况有aAA，AAa，AAA，AaA，共4种， 故所求概率. 34.2020年是我国网络建设的加速之年.截至2020年底，中国已建成全球最大的网络.为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评.其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地网络发展水平.其中5座受测城市的综合下载速率(单位：)数据如下表： 城市 路段 综合下载速率(单位：) 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （1）从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的概率； （2）甲､乙两家网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察(甲､乙的选取互不影响)，求甲､乙两家运营商中恰有1家选取的城市“综合下载速率”大于800的概率. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）写出5座城市中随机选取2座城市的所有可能，找出选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的所有可能，根据古典概型公式计算即可； （2）选取的城市“综合下载速率”大于800的概率，选取的城市“综合下载速率”不大于800的概率，根据对立事件与互斥事件的概率公式计算即可. 【详解】解：（1）5座城市中“综合下载速率”大于800Mbps的有3座，设为， “综合下载速率”不大于800的有2座，设为. 随机选取2座城市所有可能为：，，，，，，，，，共10种. 其中2座城市“综合下载速率”都大于800的有，，共3种. 设两个城市“综合下载速率”都大于800为事件， 所以 （2）设甲选取的城市“综合下载速率”大于800为事件，乙选取的城市“综合下载速率”大于800为事件，恰有1家运营商选取的城市“综合下载速率”大于800为事件. 依题意，事件， 所以 . 【点睛】1.古典概型的概率求解步骤： （1）求出所有基本事件的个数； （2）求出事件包含的所有基本事件的个数； （3）代入公式求解. 2.基本事件个数的确定方法 （1）列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型； （2）列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法； （3）树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求； （4）运用排列组合知识计算. 35.某商场举行优惠促销,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种:方案一:每满200元减50元；方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别) (1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得优惠的概率； (2)若某顾客选择方案二,请分别计算该顾客获得半价优惠的概率、7折优惠的概率以及8折优惠的概率； (3)若小明的购物金额为320元,你觉得小明应该选取哪个方案,为什么？ 【答案】（1）（2），，（3）第二种方案比较划算，理由见详解. 【分析】（1）先求出顾客未获得优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得优惠的概率（2）根据相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率和公式计算即可（3）分别求出方案一和方案二的付款金额，由此能比较哪一种方案更划算. 【详解】（1）记某顾客获得优惠为事件A，则， 两个顾客至少一个人获得优惠的概率； （2）记某顾客获得半价优惠的概率、7折优惠的概率以及8折优惠分别为事件B,C,D, , , （3）若选择方案一，则付款金额为元， 若选择方案二，记付款金额为元，则可取. ， ， ， ， 则， 第二种方案比较划算. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率，互斥事件的概率，对立事件，离散型随机变量的期望，属于中档题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $