12.3 频率与概率（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

12.3 频率与概率 教学目标 1知识与技能.掌握频率计算公式能够完成频率的相关计算分清频率与概率的区别和联系理解在大量重复试验下可用频率估计概率 2过程与方法.通过试验数据计算频率观察频率随试验次数变化的波动规律提升数据分析与辨析概念的能力 教学重难点 重点.频率的计算方法频率与概率的概念辨析用频率估计概率的思想 难点.理解频率具有随机性而概率为定值区分单次试验结果与大量重复试验下频率的稳定趋势 知识点01 频率 （1）定义 设是某个试验的样本空间，A是的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称______是n次独立重复试验中事件A发生的频率 （2）性质 一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率也__愈大____；反之，如果愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也__愈大____.因此，频率与概率间应有紧密的联系. 知识点02 概率 （1）定义 在相同的条件下，将一试验独立重复次，若用表示事件在这次试验中发生的频率，则当增加时，将向一个固定的_数值p_________靠近，这个____数值p______就可看作事件发生的__概率________，即是的估计． （2）频率与概率的区别与联系 频率和概率都是随机事件发生__可能性大小________的定量刻画，但频率与__试验次数________及具体的试验有关，因此频率具有__随机性________；而概率是刻画随机事件发生____可能性大小______的数值，是一个__固定的量________，不具有___随机性_______，因此频率不能完全反映概率． 题型01 计算频率 【典例1】现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【变式1】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（    ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49 【变式2】在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【变式3】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（   ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.51 题型02 频率与概率的关系 【典例1】抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（    ） A．抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B．抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 【变式1】下列说法中，不正确的是__________. ①抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚这样的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； ②抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4； ③当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率； ④在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5； ⑤对天气预报中“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 【变式2】下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 题型03 用频率估计概率 【典例1】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为.我们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数2，4时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________. 【变式1】长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.22 C．0.15 D．0.08 【变式2】某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________． 【变式3】某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱. (1)若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且当天售出的全部6箱被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？ (2)该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t（单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）： t/箱 4 5 6 频数 30 x y ①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？ ②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求x的取值范围. 1．（24-25高二·上海·课堂例题）某口袋中有大小、质地均相同的红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红、黄、蓝球的频率依次为35%、25%和40%，试估计口袋中三种玻璃球的数目是（    ） A．35个、25个、12个； B．15个、18个、39个； C．25个、18个、29个； D．29个、25个、18个． 2．有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是________. 3．如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率； (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径（将频率视为概率）． 4．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 5．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：百小时）进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足小时的概率. 6．（24-25高二上·上海虹口·期中）某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为______． 7．一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球、白球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.590 0.605 0.601 (1)试估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少； (2)假如你去摸一次，摸到白球或黑球的概率分别约是多少？ 8．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为三个等级．加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费80元，50元，30元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 45 30 25 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 40 10 50 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 9．如下图，从地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：    所用时间 分组/分 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率． 10．在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为_________．（小数点后保留一位小数） 11．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 12．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 13．鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 14．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 1 17 38 22 7 5 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3 频率与概率 教学目标 1知识与技能.掌握频率计算公式能够完成频率的相关计算分清频率与概率的区别和联系理解在大量重复试验下可用频率估计概率 2过程与方法.通过试验数据计算频率观察频率随试验次数变化的波动规律提升数据分析与辨析概念的能力 教学重难点 重点.频率的计算方法频率与概率的概念辨析用频率估计概率的思想 难点.理解频率具有随机性而概率为定值区分单次试验结果与大量重复试验下频率的稳定趋势 知识点01 频率 （1）定义 设是某个试验的样本空间，A是的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称______是n次独立重复试验中事件A发生的频率 （2）性质 一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率也__愈大____；反之，如果愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也__愈大____.因此，频率与概率间应有紧密的联系. 知识点02 概率 （1）定义 在相同的条件下，将一试验独立重复次，若用表示事件在这次试验中发生的频率，则当增加时，将向一个固定的_数值p_________靠近，这个____数值p______就可看作事件发生的__概率________，即是的估计． （2）频率与概率的区别与联系 频率和概率都是随机事件发生__可能性大小________的定量刻画，但频率与__试验次数________及具体的试验有关，因此频率具有__随机性________；而概率是刻画随机事件发生____可能性大小______的数值，是一个__固定的量________，不具有___随机性_______，因此频率不能完全反映概率． 题型01 计算频率 【典例1】现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（    ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【答案】B 【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率. 【详解】第3组的频数，频率为. 故选：B 【变式1】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（    ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49 【答案】D 【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案. 【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上， 故“正面朝上”的频率为， 每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5. 故选：D 【变式2】在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【答案】0.45 【分析】根据给定条件，利用频率的定义求解. 【详解】正面向上的频率为：. 故答案为： 【变式3】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（   ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.51 【答案】D 【分析】根据频率和概率的定义即可求解. 【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，故有51次反面朝上，故“反面朝上”的频率为，“反面朝上”的概率为0.5， 故选：D 题型02 频率与概率的关系 【典例1】抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（    ） A．抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B．抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 【答案】D 【详解】A选项：抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面向上和反面向上两种等可能的结果，所以抛掷1次硬币，事件发生的概率为，故选项A错误； B选项：抛掷10次硬币，事件发生的次数是随机的，不一定是5次，故选项B错误； C选项：频率是指在多次试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是指事件发生的可能性的大小，是一个固定值，重复抛掷硬币，事件发生的频率会随着抛掷次数的变化而变化，它不一定等于事件发生的概率，故选项C错误； D选项：根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性，重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5，故选项D正确. 【变式1】下列说法中，不正确的是__________. ①抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚这样的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； ②抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4； ③当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率； ④在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5； ⑤对天气预报中“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 【答案】①②④ 【详解】对于①，抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上，故①错误. 对于②，事件“正面朝上”的频率是0.4，而不是概率是0.4，故②错误. 对于③，根据频率的稳定性可知③正确. 对于④，随机事件可能发生也可能不发生，但随机事件发生和不发生的概率不一定是0.5，故④错误. 对于⑤，“降水的概率为90%”的含义是在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨，故⑤正确. 【变式2】下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 题型03 用频率估计概率 【典例1】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为.我们通过设计模拟实验的方法求概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数2，4时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________. 【答案】/ 【分析】统计20组随机数中恰好包含2个代表下雨的数字（2、4）的组数，用频率近似估计概率． 【详解】由题意可知，随机数中，2、4表示下雨，每组三位随机数对应三天的天气情况，只需统计每组中数字2、4的总个数恰好为2的组数即可， 逐一筛查20组随机数，符合条件的随机数为：344、124、524、342、432、245，共6组， 由频率估计概率，可得三天中恰有两天下雨的概率近似为． 【变式1】长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.22 C．0.15 D．0.08 【答案】A 【详解】由数表得，该校学生每周使用手机的时间少于8小时的频数为15，频率为， 所以该校学生每周使用手机的时间少于8小时的概率约为0.3. 【变式2】某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________． 【答案】0.973 【详解】由柱状图可知，100件样本中，一级品共70件，因此任取1件产品是一级品的概率为，任取1件产品不是一级品的概率为.“取出3件中至少有1件一级品”的对立事件是“取出的3件都不是一级品”，因此从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件产品是一级品的概率为. 【变式3】某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱. (1)若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且当天售出的全部6箱被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？ (2)该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t（单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）： t/箱 4 5 6 频数 30 x y ①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？ ②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求x的取值范围. 【答案】(1) (2)①21天；②， 【分析】（1）列举出所有的情况，再根据古典概型的概率公式求解即可； （2）①由题设可得，进而结合题意求解即可； ②分别求出购进4箱玫瑰、5箱玫瑰、6箱玫瑰时的平均利润，进而列不等式求解即可. 【详解】（1）设这6位顾客是A，B，C，D，E，F， 其中3点以前购买的顾客是A，B，C，D，3点以后购买的顾客是E，F. 从这6位顾客中任选2位有15种选法：，，，，， ，，，，，，，，，， 其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的有： ，，，，，，，，共8种， 则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是. （2）①依题意，则， 所以估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是天； ②批发店每天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为： 元； 批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为： 元； 批发店每天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为： ， 由，解得，又，，则， 即x的取值范围为，. 1．（24-25高二·上海·课堂例题）某口袋中有大小、质地均相同的红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红、黄、蓝球的频率依次为35%、25%和40%，试估计口袋中三种玻璃球的数目是（    ） A．35个、25个、12个； B．15个、18个、39个； C．25个、18个、29个； D．29个、25个、18个． 【答案】C 【分析】用72乘以每一种球对应的频率可得答案. 【详解】由题意得口袋中红球的数目为个， 黄球的数目为个， 蓝球的数目为个. 故选：C 2．有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是________. 【答案】①②③ 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 3．如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率； (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径（将频率视为概率）． 【答案】(1) 选择的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (2)甲应选择路径；乙应选择路径. 【分析】（1）根据频数计算频率即可； （2）分别计算两个时间段的概率，比较概率的大小可得结论. 【详解】（1）略； （2）设分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站． 由（1），知， ， 因为，所以甲应选择路径； ， ， 因为，所以乙应选择路径. 4．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 【答案】(1)0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807 (2)0.800 【分析】（1）根据射击次数及击中飞碟次数计算频率即可； （2）根据频率与概率的关系可得解. 【详解】（1）根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为 ， . （2）由（1）可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动， 所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800. 5．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：百小时）进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足小时的概率. 【答案】(1) 分组 频数 频率 (2) 【分析】（1）根据表格中的频数结合样本总数可求每组频率，填入表格即可； （2）根据（1）中的频率可求前4组的频率之和即为所求概率. 【详解】（1）略 （2）样本中灯管使用寿命不足小时的频率是, 即灯管使用寿命不足小时的概率约为. 6．（24-25高二上·上海虹口·期中）某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为______． 【答案】/0.53 【分析】根据频率的概念进行计算即可. 【详解】事件A出现的频率为. 故答案为： 7．一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球、白球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.590 0.605 0.601 (1)试估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少； (2)假如你去摸一次，摸到白球或黑球的概率分别约是多少？ 【答案】(1)0.6 (2)估计摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率约为 【分析】（1）根据频率估计概率的知识，看随着实验次数的增多，频率在那个值附近即可； （2）根据频率估计概率的知识和对立事件的概率计算； 【详解】（1）由表可知当时，频率值稳定在0.6左右，由此可估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． （2）由（1）可知，摸到白球的频率约为0.6，因此可估计摸到白球的概率是0.6．由对立事件的概率加法公式可得，摸到黑球的概率约为． 8．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为三个等级．加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费80元，50元，30元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 45 30 25 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 40 10 50 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 【答案】(1)0.45；0.4 (2)厂家应选甲分厂承接加工业务 【分析】（1）用频率来估算概率，然后求解即可； （2）根据题意计算平均利润即可. 【详解】（1）解：（1）由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为级品的概率为， 乙分厂加工出来的一件产品为级品的概率为． （2）甲分厂加工100件产品的总利润为元， 所以甲分厂加工100件产品的平均利润为18.5元， 乙分厂加工100件产品的总利润为元， 所以乙分厂加工100件产品的平均利润为17元． 故该厂家应选甲分厂承接加工业务． 9．如下图，从地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：    所用时间 分组/分 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率． 【答案】(1)0.44 (2) 由调查结果得频率如下表所示： 所用时间分组/分 选择的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择的h频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 【分析】先依题意把所用时间落在和这两个区间段内的人数相加（包括选择的人数以及选择的人数）再除以总人数来算出频率，以此来估计概率即可. 由频率定义或者公式结合表中数据即可得解 【详解】（1）由题意一共调查了100人，其中共有（人）40分钟内不能赶到火车站，对应的频率为，故用频率估计相应的概率为 （2）调查人数中有60人选择路线，40人选择路线，所以由调查结果得频率如下 10．在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为_________．（小数点后保留一位小数） 【答案】0.7 【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可. 【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次， 所以摸到红球概率的估计值为. 故答案为：0.7 11．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】A 【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题A、B的人数，从而可分别计算出回答问题A、B的人中答 “是” 的人数以及比例. 【详解】从罐子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 所以回答问题A的人数是人 回答问题B的人数是人， 回答问题A的人中答 “是” 的人数是， 所以回答问题B的人中答 “是” 的人数是， 则估计该校该年级学生有早恋现象的概率为， 故选：A 12．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 【答案】(1) (2)①；②252 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率. （2）①利用频率估计概率求解可得. ②首先求得可回收垃圾量，然后求得二级原料即可. 【详解】（1）列表如下： a b c A B C 所有等可能的情况数有9种， 其中垃圾投放正确的有，，共3种， 所以垃圾投放正确的概率为. （2）①.估计“厨余垃圾”投放正确的概率为， ②.由（吨）， 答：每月（按30天）流失掉252吨塑料类垃圾的二级原料. 13．鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 【答案】(1) (2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元 【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求； （2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润. 【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为． （2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）． 乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）． 14．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 1 17 38 22 7 5 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率. 【答案】(1)； (2) 当温度大于等于25℃时，需求量为600， Y＝550×2＝1100元， 当温度在[20，25）℃时，需求量为400， Y＝400×2﹣（550﹣400）×4＝200元， 当温度低于20℃时，需求量为300， Y＝600﹣（550﹣300）×4＝﹣400元， 当温度大于等于20时，Y＞0， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于 20℃的天数有：， ∴估计Y大于零的概率P． 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率；利用平均数公式可求前三年六月份每天平均需求量； （2）分别求当温度大于等于25℃时，温度在[20，25）℃时，以及温度低于20℃时的利润，从而估计Y大于零的概率． 【详解】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为1+17+38＝56， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P； 前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为（瓶）； （2）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $