重难点12：独立事件的五大模型培优讲义-2025-2026学年高二数学同步培优讲义（沪教版2020必修第三册）

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点13 独立事件五大模型 题型01：取球模型 1.袋中共装有8个小球，其中有1个白球，3个红球，，和4个黑球．从袋中任取一球，确定颜色后放回袋中，再从袋中取一球，确定颜色后放回袋中，则两次取球颜色为一白一红的概率等于（       ） A． B． C． D． 2．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，若有放回地从中抽取2个球，则取出1个红球和1个白球的概率是 . 3.第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为（　　） A． B． C． D． 4.有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球、1个黑球，乙袋中有2个白球、2个黑球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率为（ ） A． B． C． D． 5.甲、乙两个袋中各有3只白球，2只黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，则再从乙袋中取出一球为白球的概率是（    ） A． B． C． D． 6．袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2． (1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； (2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立． 7．有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示试的样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． 设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)分别求出的值； (3)判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 题型02： 传球模型 8.篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（    ） A． B． C． D． 9.为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（       ） A． B． C． D． 10.2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（    ） A． B． C． D． 11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则3次传球后球在甲或乙手中的概率是（    ） A． B． C． D． 12.甲、乙、丙三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过4次传球后,球仍回到甲手中的概率为_____. 题型03：电路图模型 13.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 14.如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 15.如图，某系统由（1）（2）两个零件组成，零件（1）中含有，两个不同元件，零件（2）中含有，，三个不同的元件，每个零件中的元件有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作该系统才可以正常工作.若每个元件是否正常工作互不影响，且元件，，，，正常工作的概率分别为，，，，，则该系统正常工作的概率约为（    ） A． B． C． D． 16．现有三种基本电子模块，电流能通过的概率都是p,电流能否通过各模块相互独立.已知中至少有一个能通过电流的概率为0.999.现由该电子模块组装成某预警系统M(如图所示），针对系统M而言，只要有电流通过该系统就能正常工作. (Ⅰ)求p (II)求预警系统M正常工作的概率 17．如图，用四类不同的元件连接成系统，当元件正常工作且元件都正常工作，或当元件正常工作且元件正常工作时，系统正常工作.已知元件正常工作的概率依次为. (1)求元件不正常工作的概率； (2)求元件都正常工作的概率； (3)求系统正常工作的概率. 题型04：投篮或射击模型 18.甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人都命中的概率为，两人都没有命中的概率为，则只有一人命中的概率为（ ） A． B． C． D． 19．在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为 ． 20．2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是 ． 21.某学校高一年级进行趣味投篮比赛，规定投进球加2分，没有投进扣1分，已知李同学投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，则经过5次投篮后李同学得分超过5分的概率为（    ） A． B． C． D． 22.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是______． 23．已知战士A射击的命中率为60%，战士B的命中率为65%，且两人的射击互不影响，求： (1)两人同时击中目标的概率； (2)目标被击中的概率． 24．为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 题型05：比赛模型 25．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ． 26．在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金 元． 27．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 28.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ） A． B． C． D． 29．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 30.某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（     ） A． B． C． D． 31．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ） A． B． C． D． 32.甲､乙､丙､丁进行足球单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知甲与乙､丙､丁比赛获胜的概率分别为，且.记甲连胜两场的概率为，则（    ） A．甲在第二场与乙比赛，最大 B．甲在第二场与丙比赛，最大 C．甲在第二场与丁比赛，最大 D．与甲和乙､丙､丁的比赛次序无关 33.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书。甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 34．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的. (1)求比赛恰进行两局就结束的概率； (2)求这场比赛甲获胜的概率. 35．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响. (1)求该小组未能进入第二轮的概率； (2)该小组能进入第三轮的概率； (3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率. 36．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响. (1)求该小组未能进入第二轮的概率； (2)该小组能进入第三轮的概率； (3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率. 37．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.    (1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 38．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点13 独立事件五大模型 题型01：取球模型 1.袋中共装有8个小球，其中有1个白球，3个红球，，和4个黑球．从袋中任取一球，确定颜色后放回袋中，再从袋中取一球，确定颜色后放回袋中，则两次取球颜色为一白一红的概率等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 求出基本事件空间中事件的个数，再列举出两次取球颜色为一白一红的基本事件，得基本事件的个数后计算出概率． 【详解】 基本事件空间中基本事件数为. 两次取球颜色为一白一红的基本事件有：，，，，，共六个， 故所求概率为. 故选：B． 2．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，若有放回地从中抽取2个球，则取出1个红球和1个白球的概率是 . 【答案】/ 【分析】利用古典概型概率公式及独立事件乘法公式即可求出概率. 【解析】有放回地抽取，取出取出1个红球和1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红球， 所以所求概率为. 故答案为: . 3.第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按两次取球的操作分为两步，均按照古典概型的方法计算概率，再将结果相乘即可. 【详解】从第一个袋中任取一球放入第二个袋中时取到黑球或白球的概率均为， 若第一次取到白球，则此时第二个袋中有3只黑球、4只白球， 再从第二个袋中任取一球，取到白球的概率为， 故两次均取到白球的概率为. 故选：B． 4.有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球、1个黑球，乙袋中有2个白球、2个黑球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求从甲中取出的是两白球，此时从乙袋中任取1球且是白球的概率；再求从甲袋中取出的为1白1黑时，从乙袋中任取1球且此球是白球的概率，然后根据概率公式即可求出. 【详解】从甲中任取2球，有两种情况：2白或1白1黑， ①从甲中取出2个白球的概率为，此时乙袋中4个白球，2个黑球， 所以此时从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率； ②从甲中取出1个白球和1个黑球的概率为，此时乙袋中3个白球，3个黑球， 所以此时从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率， 所以从乙袋中任取1球且此球是白球的概率. 故选：B. 5.甲、乙两个袋中各有3只白球，2只黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，则再从乙袋中取出一球为白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再求出每个事件的概率即可计算作答. 【详解】从乙袋中取出一球为白球的事件A是甲袋中取出一白球，再在乙袋中取出白球的事件B 及甲袋中取出一黑球，再在乙袋中取出白球的事件C的和，B，C互斥， ，，则， 所以再从乙袋中取出一球为白球的概率是. 故选：B 6．袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2． (1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； (2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立． 【答案】(1) (2)， ，事件A与事件B不相互独立 【分析】（1）先设事件，然后求出抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率和抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，然后相加即可； （2）分别求出“第一次取到的是红球”的概率和“第二次取到了标记数字1的球”的概率，然后通过判断是否成立来判断相互独立性. 【解析】（1）记事件C“取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3” 事件D“第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3”，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：， 事件E“第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3”即抽到的是蓝2 红1或者蓝1红2的概率， 则所求的概率为 （2）记3个红球分别为，，其中，表示红球标数字1，表示红球标数字2，记2个蓝球分别为，其中表示蓝球标数字1，表示蓝球标数字2 则从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个共有20个结果的样本空间 其中事件共12结果； 其中事件共12个结果； 其中事件共7个结果， “第一次取到的是红球”的概率， “第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1概率， “第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1， 概率． 因为成立，所以事件A与事件B不相互独立 7．有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示试的样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． 设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)分别求出的值； (3)判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，， (3)事件和事件相互独立，理由见解析 【分析】（1）逐一列举出样本空间； （2）根据古典概型的公式求解结果； （3）根据独立性公式判断. 【解析】（1）依题意试验的样本空间为：； （2）因为， 所以 因为， 所以； （3）因为， 所以事件和事件相互独立． 题型02： 传球模型 8.篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况有只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求得答案. 【详解】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为， 由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为： 只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球， 则概率为，故选：D 9.为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题可知传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，即求. 【详解】 由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能， ， 其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种， ∴球回到A同学脚下的概率为. 故选：B. 10.2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果. 【详解】传球的结果可以分为： 分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种； 若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种； 再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种； 共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为。故选：D. 11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则3次传球后球在甲或乙手中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得3次传球总的路线种数，再求出3次传球后球在甲或乙手中的的路线种数，利用古典概型的概率计算公式即得. 【详解】由题意可知，3次传球总的传球路线种数为种，3次传球后球在甲或乙手中有如下线路： 甲乙甲乙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲乙丁甲，甲乙丁乙，甲丙甲乙，甲丙乙甲， 甲丙丁甲，甲丙丁乙，甲丁甲乙，甲丁乙甲，甲丁丙甲，甲丁丙乙，共13种， 故3次传球后球在甲或乙手中的概率是. 故选：B. 12.甲、乙、丙三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过4次传球后,球仍回到甲手中的概率为_____. 【答案】 【详解】 本题可用树形图去求基本事件空间及满足条件的基本事件的个数. 从图中可以得到:基本事件总数为16,回到甲手中的基本事件为6个,所以满足条件的概率为P=. 故答案为 题型03：电路图模型 13.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出该系统正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，该系统正常工作的概率为， 因此，该系统不能正常工作的概率为. 故选：C. 14.如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算. 【详解】记零件或系统能正常工作的概率为， 该系统正常工作的概率为: , 故选：C. 15.如图，某系统由（1）（2）两个零件组成，零件（1）中含有，两个不同元件，零件（2）中含有，，三个不同的元件，每个零件中的元件有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作该系统才可以正常工作.若每个元件是否正常工作互不影响，且元件，，，，正常工作的概率分别为，，，，，则该系统正常工作的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对立事件概率分别计算零件（1）（2）能正常工作的概率，再利用独立事件概率公式即求. 【详解】由题意知：零件（1）能正常工作的概率为， 零件（2）能正常工作的概率为， 所以该系统能够正常工作的概率为. 故选：. 16．现有三种基本电子模块，电流能通过的概率都是p,电流能否通过各模块相互独立.已知中至少有一个能通过电流的概率为0.999.现由该电子模块组装成某预警系统M(如图所示），针对系统M而言，只要有电流通过该系统就能正常工作. (Ⅰ)求p (II)求预警系统M正常工作的概率 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）0.891. 【分析】（Ⅰ）根据独立事件与对立事件的概率公式列方程求解即可； （Ⅱ）直接利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）由题意知，解得. （Ⅱ）设模块能正常工作为事件，电流能否通过各模块相互独立， 所以预警系统M正常工作的概率 . 预警系统M正常工作的概率为0.891. 17．如图，用四类不同的元件连接成系统，当元件正常工作且元件都正常工作，或当元件正常工作且元件正常工作时，系统正常工作.已知元件正常工作的概率依次为. (1)求元件不正常工作的概率； (2)求元件都正常工作的概率； (3)求系统正常工作的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）元件不正常工作是元件正常工作的对立事件，所以元件不正常工作的概率为1减去正常工作的概率； （2）根据元件都正常工作是三个相互独立事件即可计算概率； （3）系统正常工作可分为都正常工作和正常但不都正常工作两种情况，概率是两种情况的概率和. 【解析】（1）设元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，元件正常工作为事件. 由元件正常工作的概率，所以它不正常工作的概率； （2）元件都正常工作的概率 （3）系统正常工作可分为都正常工作和正常但不都正常工作两种情况， 都正常工作的概率为， ､正常但不都正常工作的概率为， 所以系统正常工作的概率是. 题型04：投篮或射击模型 18.甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人都命中的概率为，两人都没有命中的概率为，则只有一人命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件概率加法公式，计算即可得答案. 【详解】设“两人都命中”为事件A．“两人都没有命中”为事件B，“只有一人命中”为事件C， 所以， 所以． 故选：C 19．在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为 ． 【答案】 【分析】分别根据独立事件以及对立、互斥事件的概率计算得出恰有两人投篮命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案. 【解析】由已知可得，一次投球中，三人中恰有两人投篮命中的概率； 一次投球中，三人投篮均命中的概率. 所以，在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率. 故答案为：. 20．2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是 ． 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式直接求解. 【解析】运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是. 故答案为：. 21.某学校高一年级进行趣味投篮比赛，规定投进球加2分，没有投进扣1分，已知李同学投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，则经过5次投篮后李同学得分超过5分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析出经过5次投篮后李同学得分超过5分的所有情况，再分别计算每种情况的概率，结合互斥事件的概率加法，即可得解. 【详解】由题意知，该同学5次全命中得10分，4次命中1次没命中得7分，3次命中2次没命中得4分，所以5次投篮后李同学得分超过5分有2种情况，即5次全命中和4次命中1次没命中，其中5次全命中的概率为，4次命中1次没命中的概率为， 所以所求概率为. 故选：D. 22.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是______． 【答案】 【分析】设此射手每次射击命中的概率为，由独立事件的概率与对立事件的概率可得，射击四次全都没有命中的概率为，解方程可求出的值． 【详解】设此射手每次射击命中的概率为，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为． 则，可解得，故答案为． 【点睛】 本题主要考查独立事件同时发生的概率公式以及对立事件的概率公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题． 23．已知战士A射击的命中率为60%，战士B的命中率为65%，且两人的射击互不影响，求： (1)两人同时击中目标的概率； (2)目标被击中的概率． 【答案】(1)0.39 (2)0.86 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出两人同时击中目标的概率； （2）目标被击中的对立事件是两人都没有击中目标，利用对立事件和相互独立事件概率公式求解即可． 【详解】（1）战士A射击的命中率为60%，战士B的命中率为65%，两人的射击互相独立， 设事件表示“战士A命中”，事件B表示“战士A命中”，则， 则两人同时击中目标的概率为：. （2）目标被击中的对立事件是两人都没有击中目标， 所以目标被击中的概率为：. 24．为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案； （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可， 【解析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件， 则. 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件， 则. 所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为， 所以所求的概率为 题型05：比赛模型 25．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ． 【答案】0.236 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得. 【解析】设为独孤队第局取胜， 由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，， 所以独孤队取胜的概率 ． 故答案为： 26．在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金 元． 【答案】9000 【分析】根据前3局打成时，利用独立事件乘法公式求出胜2局者和胜1局者获胜的概率，即可得答案. 【解析】甲乙两队水平相当，故任意一局比赛，甲胜概率为，乙胜概率， 不妨设前三局中甲胜2场，乙胜1场，剩下甲获胜的情况是： 第四局甲胜或者第四局甲输同时第五局甲胜， 此情况下,甲获胜的概率为， 所以乙胜的概率为， 所以前3局打成时，2局胜利者与1局胜利者奖金分配应为， 若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见， 应该发放给已胜两场者奖金为（元）， 故答案为：9000. 27．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【解析】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则 . 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 28.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】甲以3∶0获胜为事件，甲以3∶1获胜为事件，则，互斥，分别求出和，由即可求解. 【详解】解：设甲以3∶0获胜为事件，甲以3∶1获胜为事件，则，互斥. 且，， 所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为. 故选：C. 29．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】队伍进入决赛是指通过初赛和复赛阶段，又每个阶段至少一人通过则队伍通过，三人均未通过则该阶段队伍未通过.结合对立事件的概率与相互独立事件的乘法公式求解即可. 【解析】设某个阶段甲、乙、丙三人通过比赛分别记为事件， 由题意知，， 设队伍通过某个阶段为事件， 至少一人通过该阶段比赛则队伍通过，则其对立事件为三人均未通过该阶段比赛， 即，且三人每次通过与否互不影响， 则 . 设这支队伍进入决赛为事件，则队伍在初赛和复赛两个阶段都通过， 由题意知，队伍通过每个阶段的概率都相等， 则. 故选：B. 30.某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C， 则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率 ， 故选：C. 31．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率. 【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立， 且. 恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，他三道题都答错为事件， 故. 故选：C. 32.甲､乙､丙､丁进行足球单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知甲与乙､丙､丁比赛获胜的概率分别为，且.记甲连胜两场的概率为，则（    ） A．甲在第二场与乙比赛，最大 B．甲在第二场与丙比赛，最大 C．甲在第二场与丁比赛，最大 D．与甲和乙､丙､丁的比赛次序无关 【答案】A 【分析】结合选项分三种情况，分别求解概率，比较大小可得答案. 【详解】因为甲连胜两场，则第二场甲必胜， ①设甲在第二场与乙比赛，且连胜两场的概率为， 则； ②设甲在第二场与丙比赛，且两场连胜的概率为， 则； ③设甲在第二场与丁比赛，且两场连胜的概率为， 则. 所以， ，所以， 因此甲在第二场与乙比赛，最大，A正确，B,C,D错误. 故选：A. 33.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书。甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2） 【解析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，. 因为，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 34．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的. (1)求比赛恰进行两局就结束的概率； (2)求这场比赛甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）比赛两局就结束即甲连胜两局或乙连胜两局，分别求概率即可； （2）分别比赛两局结束和比赛三局结束，分别求概率即可. 【详解】（1）比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能， 事件：甲胜乙，事件：乙胜甲.，， . （2）这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜. ，， ∴. 35．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响. (1)求该小组未能进入第二轮的概率； (2)该小组能进入第三轮的概率； (3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）该小组未能进入第二轮也即甲、乙、丙至少有一人未猜对，根据对立事件求解； （2）该小组能进入第三轮即前两轮三人都猜对，根据事件积的概率计算即可； （3）乙猜歌曲的次数不小于2即该组过第一轮且甲猜对，据此求概率即可． 【解析】（1）解：设该小组未能进入第二轮为事件A， 则， 故该小组未能进入第二轮的概率为． （2）解：设该小组能进入第三轮为事件B， 则， 故该小组能进入第三轮的概率为． （3）解：设乙猜歌曲的次数不小于2为事件C， ． 故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为． 36．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响. (1)求该小组未能进入第二轮的概率； (2)该小组能进入第三轮的概率； (3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）该小组未能进入第二轮也即甲、乙、丙至少有一人未猜对，根据对立事件求解； （2）该小组能进入第三轮即前两轮三人都猜对，根据事件积的概率计算即可； （3）乙猜歌曲的次数不小于2即该组过第一轮且甲猜对，据此求概率即可． 【解析】（1）解：设该小组未能进入第二轮为事件A， 则， 故该小组未能进入第二轮的概率为． （2）解：设该小组能进入第三轮为事件B， 则， 故该小组能进入第三轮的概率为． （3）解：设乙猜歌曲的次数不小于2为事件C， ． 故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为． 37．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.    (1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）乙在第1场、第4场均负，利用独立事件的乘法公式进行求解； （2）分析出甲获胜的情况，得到各个情况下的概率，相加后得到答案； （3）分乙的决赛对手是甲，丙，丁，分析出各场比赛胜负情况，求出相应的概率，相加后得到答案. 【解析】（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负， ∴乙连负两场的概率为； （2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜， ∴甲获得冠军的概率为：． （3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜， ∴甲与乙在决赛相遇的概率为：． 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种： 乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜， 若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为： ， 若乙的决赛对手是丁，和乙的决赛对手是丙情况相同， ∴乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：． 38．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率分别为，； (2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利. 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率； （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论. 【解析】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为， 获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为. （2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，获得冠军的概率. 令， 若为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据“双败赛制”赛制的描述讨论A进入胜者组、败者组两种情况，分别求出得冠军的概率为关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $