精品解析：湖南省岳阳市第九中学2025-2026学年八年级上册数学期中卷

岳阳市第九中学2025年下学期八年级期中考试 数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ） A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 )2 －4 【答案】A 【解析】 【详解】a2－4a=a（a－4）． 故选：A． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式．逐一检查选项，A、C、D均不符合条件，只有B符合． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，为了估计池塘岸边 M，N两点之间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点O，测得，，则M，N两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且 ∴， 则， 观察四个选项，是符合， 故选：C 4. 若关于的分式方程 的解为，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接解分式方程进而得出答案． 【详解】解分式方程得，x=m-2， ∵关于x的分式方程的解为x=2， ∴m-2=2， 解得：m=4． 故选B． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键． 5. 若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ） A. ﹣3 B. 1 C. ﹣3，1 D. ﹣1，3 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的运算判断即可． 【详解】∵ x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解， ∴ m﹣1＝±2， 解得：m＝﹣1或m＝3． 故选：D． 【点睛】此题考查使用完全平方公式的条件，属于基础题． 6. 有下列算式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的是（ ） A. （2）和（4） B. （1）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4） 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）与不是同类二次根式，不能合并，故（1）错误． （2），故（2）正确． （3），故（3）错误． （4），故（4）正确． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 7. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：工效常用的等量关系是：工效×时间=工作总量，本题的等量关系为：甲工作量+乙工作量=1，根据从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，本题需注意甲比乙多做2天．因此设甲志愿者计划完成此项工作需x天，甲前两个工作日完成了，剩余的工作日完成了，乙完成了，则，解得x=8，经检验，x=8是原方程的解． 故选A． 考点：分式方程的应用 8. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 9. 已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答 【详解】解：当腰长为时，不满足三角形三边关系， 当腰长为时，，满足三角形三边关系，此时三角形的周长是， 故选：B 10. 如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，三角形内角和定理的应用是解题的关键． 因为是的角平分线，所以，由，得，故，在中，由，即可得出答案． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 又， ， ， 即， 又，， ， 即， ， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握同底数幂的除法的逆运算法则是解题的关键，利用同底数幂的除法的逆运算法则变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 12. 化简：（a-2）•=______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式的分子分母分别用平方差公式和完全平方差公式进行因式分解，然后再进行约分化简. 【详解】原式= 故答案为 【点睛】本题考查了分式的化简，化简过程中把分式的分子与分母进行因式分解，然后找到公因式进行约分化简.本题涉及到的因式分解的公式有平方差公式和完全平方差公式. 13. 如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于______．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 14. ×=__；=__． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【详解】解：=2， ．故答案为2，． 15. 河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定 的值时，看原数小数点移动的位数，原数绝对值小于1时，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：0.00002． 故答案为：． 16. 若最简二次根式和能合并，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，根据两个二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，即化为最简二次根式后，被开方数相同，进行求解即可． 【详解】解：，所以被开方数为2． 由于和能合并，则， 解得； 故答案为：． 17. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 18. 如图，在中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知，，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用含和的代数式表示出来，从而求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． 设，，则， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂、零次幂及有理数的乘方运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、零次幂及实数的乘方运算进行求解即可． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值： •÷，其中a满足a2－a＝0． 【答案】a2－a－2，－2 【解析】 【详解】原式= = =a2－a－2， 当a2－a=0时，， 解得：， 要使 •÷有意义，则， 得，所以a=0； 原式=0-0-2=-2 【点睛】本题考查化简求值，化简是关键，要求考生利用分式的运算法则来化简 21. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 ， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得． 22. 已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）22 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 23. 我国第一届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具在市场出现热销，已知“壮壮”比“美美”每个便宜40元，某商场用6400元购买“壮壮”的数量是用4800元购买“美美”数量的2倍． （1）求购买一个“美美”和一个“壮壮”各需多少元？ （2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“壮壮”和“美美”共100个，要求购买的总费用不超过11020元，求最多可以购买“美美”多少个？ 【答案】（1）购买一个“美美”和一个“壮壮”分别需120元，80元 （2）75个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设购买一个“美美”需要元，根据“壮壮”比“美美”每个便宜40元，某商场用6400元购买“壮壮”的数量是用4800元购买“美美”数量的2倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买“美美”个，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个“美美”需要元，则购买一个“壮壮”需要元，由题意，得： ， 解得：，经检验是原方程的解， ∴； 答：购买一个“美美”和一个“壮壮”分别需120元，80元； 【小问2详解】 设购买“美美”个，则购买“壮壮”个，由题意，得： ，解得：， 又为整数， ∴最多可以购买“美美”75个． 24. 阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解： （2）求 的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）通过配方法将二次三项式化为完全平方式与常数差的形式，再利用平方差公式因式分解； （2）通过配方法将代数式化为完全平方式与常数的和，利用平方非负性求最小值． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∵  ∴  ∴ 代数式的最小值为  25. 先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m=7，n=12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， ∴＝＝＝ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． （2）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． （3）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． 26. 在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义： （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则． （3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （2）平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （3）、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又，，， 即， ， 又∵，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳市第九中学2025年下学期八年级期中考试 数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ） A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 )2 －4 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了估计池塘岸边 M，N两点之间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点O，测得，，则M，N两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的分式方程 的解为，则的值为( ) A. B. C. D. 5. 若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ） A. ﹣3 B. 1 C. ﹣3，1 D. ﹣1，3 6. 有下列算式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的是（ ） A. （2）和（4） B. （1）和（3） C. （3）和（4） D. （1）和（4） 7. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 9. 已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 10. 如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，，则______． 12. 化简：（a-2）•=______． 13. 如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于______．     14. ×=__；=__． 15. 河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为______． 16. 若最简二次根式和能合并，则x的值为______． 17. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为______． 18. 如图，在中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知，，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若，则______． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值： •÷，其中a满足a2－a＝0． 21. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 22. 已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 23. 我国第一届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕，吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具在市场出现热销，已知“壮壮”比“美美”每个便宜40元，某商场用6400元购买“壮壮”的数量是用4800元购买“美美”数量的2倍． （1）求购买一个“美美”和一个“壮壮”各需多少元？ （2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“壮壮”和“美美”共100个，要求购买的总费用不超过11020元，求最多可以购买“美美”多少个？ 24. 阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解： （2）求 的最小值； 25. 先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m=7，n=12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， ∴＝＝＝ 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 26. 在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $