各位评委老师大家好，我是来自山西省寿阳县第一中学校的刘虫。接下来由我给大家分享一下，我们小组根据2021年浙江卷第22题改编的两道导数题。下面我从五个方面谈谈这两道题。一试题呈现第一道改变，题为已知函数FX等于AX方减B倍的ln x加二分之B其中AB属于R第一问，若对于任意的B大于一的4次方，函数FX有两个不同的零点，求实数A的取值范围。第二问当A等于2B大于一的4次方式，函数FX的2个0点分别为S1、S2、X1小于X2，求证X2大于2分之1分之根号B乘S1加根号B分之一函数的双变量问题是高考题当中热点和难点问题，对于思维能力的要求很高。2021年浙江卷22题选择了一个指数函数加上一次函数的模型组合，讨论了函数零点存在时A的取值范围，题目形式简单，但解答上有技巧有难度。2022年杭州十月联考题则考察了函数的极值点问题，诸如此类的问题也有不少讨论。本文我们找了一个二次函数加上对数型的函数模型，题目形式简单，难度适中，解法经典，基础涵盖了中学数学函数与导数问题的解答的基本知识、基本能力要求，适合中等偏上的学生练习使用。2、试题分析，我们先看一下第一问，若对于任意的B大于一的4次方函数FX有两个不同的零点，求实数A的取值范围。第一问的解法分析，解法一，判断FX的单调性，找出FX的最值，再利用最小值大于零转化为恒成立问题，属于常规解法。解法二，将零点问题转换为图像焦点问题，找到两个函数的公切线公切点，由切点处的大小关系得到结论。思维导图如下，解法一，恒成立问题，求出FX的单调区间，从而求出FX的最小值，然后分离参数，利用不等式可以得出结果。解法二，转化为两个图像的交点问题。利用公切线得证转化为Y等于AX方加二分之B与Y等于B倍的log x它的两个图像的交点问题，求出两个函数图像的公切点，利用公切点得到大小关系。好，我们看一下具体的解析过程。解法一，FPX等于2AX减X分之B令F撇X等于0，解得X等于根号下2A分之B因为FPX在开区间零到正琼上是增函数，所以我们得到当X属于开区间零到根号下2A分之B时，FX是递减的当X属于开区间根号下2A分之B到正琼时，FX是递增的。所以FX的最小值通过计算，我们得到它等于二分之B乘以括号2减log b加上log 2A根据函数模型我们可以判断出，当X小于零时，FX是大于零的当X属于正无穷时，FX也是大于的。在这里我们也可以利用这个经典宽缩，将原函数模型放缩成二次函数。经讨论也可以得到两个点，分别是FX大于0。若函数FX有2个0点，则FX必须小，FX的最小值小0，从而得到这样一个不等式。又因为B是大于一的4次方，所以得到ln 2，A小于等于2。因此我们得到A的取值范围是左开右闭区间零到2分之1方。下来我们再看一下解法二，若FX有2个0点，则方程AX方加二分之B等于B倍的ln x在定义上有两个不等的实根。我们设二次函数与这个对称性函数的图像相切切点的横坐标为40，有两个函数在起点处的函值相等，并且在奇点处的导数相同。我们得到方程组，由二式我们可以解得B等于2X0的平方，代入到一式可以解得切点的横坐标为E纵坐标为B所以两条曲线的公切线方程我们就可以求出来了。那么到这，Y等于2AEX减去2E方加B那么在三当中我们得到B减去2A1方是等于零的，因此攻击线为Y等于2A1X那么如果两个这个方程有两个不等实根，则二次函数在X等于E处的函数值应该小于对数函数在E处的函数值。从而我们得到了这个不等式对于B大于E的4次方不成立表。所以2E方乘A小于等于一的4次方，既可以解得A属于左开右闭区间零到2分之1方。好，我们再看一下第二个，当A等于二时，B大于一的4次方的时候，函数FX的2个0点分别是S1S2。求证这个命题是成立的。第二问解法分析，解法一，直接构造函数放缩要证明的不等式，再次构造函数利用单调性得证。解法二，先将零点问题转化成图像的焦点问题，通过构造函数得出交点的取值范围，再放缩不等式，构造函数可以得证。思维导图如下，解法一，直接构造函数放锁证明，利用函数的单调性求出X一的范围，欲证明不等这个不等式成立，通过把右边放大可以得到X2大于二分之根B加上根B分之一即可。结合函数的单调性，只需证明F2分之根号B加根号B分之一小于零即可。构造函数GB通过计算得到这样一个函数模型，再结合函数的单调性证明它小于0。镜头解法二转化为构造函数放缩，证明原方程有两个不等的，有两个不等的零点，则转化成这个方程有两个不等的实根。构造函数GX求出0点S1和S2的范围。欲证明原命题成立，通过放缩可以证明，只需证明X2大于二分之根B加根B分之一平方的X2方大于四分之B加上B分之一方加一结合零点，只需证明二分之B乘以ln s2大于B分之一方加一，利用X2的范围把左边缩小，从而只需证明四分之B减B分之一方减一大于零即可。构造函数GB等于四分之B减B分之一方减1，证明它的最小值大于0，从而得出结论是正确的。好，我们看一下具体的解法。正反一。由一可知，当A等于2，B等于一的四次，E大于B大于E的4次方式函数在其定义上有2个0点，并且FX在开区间0到2分之根号B单调理解在开区间二分之根号B到无穷上递增。又因为F跟E大于0，FE小于0，所以X一属于开区间根号1到1。欲证明原不等式成立，我们将S2给它放大，则只需证明S2大于二分之根号B加上根号B分之一。又因为二分之根号B加上根号B分之一在单调递增区间上，所以只需要证明F2分之根号B加上根号B分之一小于零即可。我们把这个代入式代入到原函数当中，通过计算得到这样一个代数式。欲证明FX小于0，只需要证明中括号里面的代数式小于0。那么我们设GB等于中括号里边的这个代数式，定义为开区间一的4次方到正琼。前面这个函数不能判断是一个减函数，而后面这个函数是一个增函数。因此GB是一个减函数，则GB小于GG的E的4次方，通过计算化简我们得到它是小伶的，因此原命题成立。好，我们看一下解法二，若FX有2个0点，则等价于B等于2X方比上LX减2分之1。有两个实根构造函数，设GX等于ln x减2分之1分之2X方，那么当X属于开区间零到根一时，GX小于0，因此这个方程是无解的当X属于开区间跟一到正琼时，GX是大于。那么对GS进行求导可以得出，GX在开区间根号1到1上是单调递减，在开区间E到正琼上是单调递增。且根据函数模型我们不难得到，当X趋向于该E时，GX是趋向于无穷大时，所以X应该在开区间跟1到1之间。又因为GE的2分之3次方是小于E的4次方，小于B的，所以F42大于E的2分之3次方。那么欲证明X二大于这个代数式，我们将X一用一替换放大，只需证明X2大于二分之根B加上B分之一两边平方的，只需证X2方大于四分之B加上B分之一方加一又由于X2是FS的零点，所以X2方等于二分之B乘ln s2减4分之B的。我们把S二方用这个代数式换掉，也就是原命题等价于证明这个不等式成立即可以即化简成二分之B乘以ln s2大于二分之B加上B分之一方加一又因为X2大于E的2分之3次方，我们将不等式左边这个代数式进行缩小，即只需证明二分之B乘以ln e的2分之3次方大于二分之B加B分之一方加1，即证明四分之B减B分之一方减一大于零即可。构造函数，设HB等于四分之B减B分之一方减1B属于开区间E的4次方到正琼。因为HB在其定义上是单调递增的，所以HB大于HE的4次方是大于零的，所以原命题成立。好，我们看一下第二道辨识题。已知函数FX等于A倍的X乘以E的X次方减去2分之1B乘以X方减BX加上2BX属于开区间零到正无穷，且B大于A大于0，B大于E的3次方。因为若FX在定义域内存在着2个0点，求A的取值范围。第二问当A等于一，B大于一的3次方是FX的2个0点，分别为S1S2，当S一小于S2时，求证X2大于Z的代时成立。我们先看第一问，首先我们对FX进行求导，由于X是大于零的，因此有导函数等于0，解得X等于ln b当X属于开区间零到ln b时，FX递减，当X属于开区间浪B到众穷时，FX递增，且F0等于2，B是大于零的。由函数模型我们可以得到X趋向于众雄大使，FIC也是大于。如果FX在开区间零到正琼上有2个0点，则FX的最小值必须小于0。又由于B是大于A大于零的，所以ln b比A是大于零的。由第一个不等式我们就可以得出ln a分之B是大于二的，即B大于E方乘以A又由于B是大于一的3次方，所以解得A是左开右闭区间0到1。那么当A的1B大于一的3次方时，FX等于X乘以E的X方减2分之1B乘以X方减BX加2B而且我们B是大于三的F1我们通过计算得到它是大于零的，F2小于0，所以X一应该在开区间1到2之间。欲证明这个不等式成立，我们把X2把X一放大换成2。所以说只需要证明X2大于ln b加上B分之一即可。又因为FX在开区间ln b到正琼上是单调递增的，所以只需证明f ln b加上B分之一小于零即可。计算一下这个代数式，我们得到这样一个形式，欲证明这个代数式小于0，只需要证明中括号里边的这个整体是小于零的即可。那么为了把它转化成二次函数模型，所以我们需要把这个代数式进行放缩，放缩成常数。由于B是大于E的3次方，所以B分之E一定是小于E方分之E的。那么一方分之一根据题干我们知道它是小于2分之3，所以我们在是将这个无理式进行放缩，用2分之3进行替换，再次将这个代数式进行放大，我们就得到这样一个形式。好，我们令T等于ln b加上B分之一。由于B是大于E的3次方，所以long b是大于三的，而B分之一又大于0，因此T一定是大于三的，则HT等于-2分之1T方加2分之1T加二只需证明HT小于零即可。又因为二次函数HT在开区间三到中穷上是减函数，所以HT小于H3。通过计算H3的负一小于0，即整个这个代数式是小于零的，所以f ln b加上B分之一小于0，所以原命题是成立的。三命题过程。该题的命题过程主要考虑了函数模型的选择上。2021年的浙江题是指数型和一字型的模型。2018年全国一卷21题是指数型和对数函数组合的2020年新高考全国一卷21题是指数型函数与对数函数组合的2018年全国卷二第21题是由指数函数于对于二次函数组合而成，考察了单变量的函数零点问题。第一个考虑了函数FX等于A倍的E的X次方减B倍的lox，有2个0点是AB满足的充要条件。作图可以说明该问题的可行性，具体可以通过单调性得到0点S0。根据FX在X的零处的这两个函数相等，并且在X等于零处的这个导数是相等。关键方程组问题转化成求X分之一等于ln x的解X1，只要X0大于X1即可。但到此问题陷入了僵局。第二个修改成为二次函数型加对数模型可以进行，但也有不足。比如想设置一个引领点问题，但因为该模型稍显简单，所以命题证起来相对容易。实测结果对该题我们设置第一问五分，第二问七分。在重点班抽取了十个同学进行测试，平均分为6.21，难度系数在0.48地问，学生能做到利用单调性和求出最小值，简单的恒成立问题可以求出结果。第二问学生可以做到第一个零点范围，少数同学能求出第2个0点的范围，能够通过放缩转化证明的问题的同学更是很少。即使是重点班的学生，在处理导数的这个常用的方法上，掌握的还是不到位。教学中应该加强基本功的训练，常规方法的掌握，凸显强化转化与化归的思想，函数的思想等重要的思想的培养。五体会。本题面试过程经历了找题、选题、参考历年优秀高考题的思想和解答，不断的验证求解，经历了不少挫折和坎坷。最后的试题虽然成型，但也有很多可以改进的地方。面临新高考的不断改革，数学命题推陈出新，想要命制、高质量、有思想的数学试题是一件很有挑战性的工作，但始终坚信，只要在探索的道路上不停止，就会有不一般的收获。好，我的。