大家好，我是来自四川省温江中学的肖皓月。我们这一次命题小组的成员主要有张军、李武学、杨永清、肖皓月。下面我谨代表我们小组，将我们这一次关于函数与导数的一道原创解答题做简要分享。首先这是我们的题目，已知函数FX等于E的AX次方减A倍的X方加X倍的ln x减一倍的X1。当A等于一时，求FX减2分之1倍的X方加X的最小值2，若FX大于等于0，求A的取值范围。首先是第一问的分析，我们对FX进行求导，可以发现FX在一处的导数为零，于是想到F1撇X为增函数，即可得FX的最小值等于F1。所以说只要证明FX的2阶导大于零即可，要证明这个不等式再次求导很困难。那谁说由此想到放松法，从两个角度，第一个E的X次方大于等于X加1，这样一个X分之E的X次方大于等于E首先是我们的解法一，当A等于一的时候，FX如下，那么对FX一阶求导，二阶求导，我们设GX等于E的X次方减X减1，那么G一撇X就等于E的X次方减1，它是大于0。所以说GX在零到正无穷上是单调递增，则GX大于G0等于0。所以E的X次方是大于X加1。那么FX2阶导就是大于X加X分之1减2是大于等于二倍的根号下X乘以X分之1减2是等于0。所以FX一阶导在零到正无穷上是单调递增，从而当X在0到1的时候F1撇X是小于0，当X在一到正无穷的时候F1撇X是大于0，所以FX的最小值在一处取得等于2分之1。接下来是我们的解法二，解法二前半部分和解法一一样，这儿我们设HX等于X分之一的X次方，那么对HX进行讨论可以发现，当X在0到1的时候，HX单解当，X在一到正无穷的时候，HX是单帧，从而HX的最小值在一处取得等于一，从而X分之E的X次方是大于等于一。所以FX2阶导它是大于等于二倍的根号下E的X次方乘以X分之1减3，它是大于等于二倍的根号1减3是大于0。那么接下来的解法同法一样，接下来是我们的第二问，第二问思路一，我们从第一问我们可以发现，当A等于一的时候，FX减2分之1，X方加X是大于等于2分之1。那么FX就是大于等于2分之1倍的，X方减X加2分之1是等于2分之1倍的，X减一的平方是大于等于0。当且仅当X等于一的时候等号成立。进而我们这儿想到把FX中的A确定为主圆，那么这个问题就转化为MA大于等于0。那么我们只要弄清楚MA的单调性就渴望解决问题。那么对MA进行求导，它是X倍的E的AX次方减X那么当E的AX次方减X大于0，MA就单调递增，那么就转化为A大于X分之6X那么已知A是大于E分之一，而A等于一也恰好在此范围内。所以当A大于等于一的时候，FX等于MA是大于等于M1是大于等于0，即A大于等于一是符合条件的。由此这是我们的解法一确定组员A那我们设MA等于FX由1M1减2分之1X方加X是大于等于2分之1，则M1是大于等于2分之1倍的，X方减X加2分之1是等于2分之1倍的，X减一倍的2次方是大于等于0。那么MA进行求导，它是X倍的E的AX次方减X那么当E的AX方减X大于0，那么就转化为A大于X分之ln x那么设HX等于X分之ln x那么对HX进行讨论可以发现它在0到1上是单帧，那么在E到正无穷上是单减，从而HX的最大值是在E处取的是E分之一，则X分之6X是小于等于1分之1。所以当A大于1分之1的时候，M1撇A它是大于0，则MA在E分之一到正无穷是单调递增。所以当A大于等于一的时候，FX等于MA是大于等于M1大于等于零是符合条件。而当A大于E分之一小于一，FX等于MY是小于M1，M1又是等于0。说这一个A大于E分之一，小于一是不符合条件。而且当A小于等于1分之1的时候，由于X分之6X的值域是负无穷到1分之1，所以存在X0大于0，使得A等于X0分之0X0即ln x0等于A倍的X0。于是FX0就可以转化成X0倍的2减1，它是小于0，所以A小于等于1分之1也是不符合条件。所以综上A应该大于等于一。第21个思路，我们主要考虑到F1撇X它是等于A倍的E的AX次方减2，A倍的X加ln x减1加2，这讨论起来难度是很大的。所以我们把问题转化一下，变为X分之E的AX次方减A倍的X加ln x减1加1大于等于0。那么我们设GX等于X分之一的AX方减A倍的X加6X减1加1。那么接下来问题就转化成求GX的最值。我们对其进行求导，它是X方分之AX减一倍的一的AX次方减X那么接下来主要就是对G1撇X正负进行讨论即可。注意到A小于等于0的时候，AX减一是小于0。当A大于零的时候，AX减一等于0，有唯一的解A分之一。所以这一个问题的难点在于讨论E的AX方减X的正负。所以说这是我们的解法二变形后求最值。因为X大于0，所以问题就可以转化成X分之E的AX次方减A倍的X加log x减1加1大于等于0。设GX等于不等式的左边，对其进行求导，它是等于X方分之AX减一倍的E的AX方减X那么当A等于零的时候，GX是等于ln x减1加1G1，它是小于0，不符合条件。那么当A小于零的时候，AX减一是小于0，那么HX是等于E的。AX次方减X在零到正无穷上是单调递减，H零大于0，H一小于0，所以说存在X0在0到1上，使得HX0等于0，即E的AX0次方等于X0。那这个时候已知GX的最小值在X0处录取的就等于-1加2，它是小于零也不符合条件。那么当A大于0小于一的时候，G一是等于一的A次方减A减1加1。我们设KA等于E的A次方减A减1加1，对其进行求导是E的A次方减1，它是大于0，从而KA应该小于K一等于0，那这个时候G小于零也是不符合条件。再者当A大于等于一的时候，HX等于E的AX次方减X对其求导是A倍的E的AX次方减1，那么H一撇X是大于，H1撇0是等于A减一是大于等于0，那么HX就大于H0等于一也是大于0。所以当X在零到A分之一的时候，G1撇X是小于0。当X在A分之一到正无穷的时候，GPX是大于0。所以GX的最小值在A分之一处取得等于A倍的E减ln a减E那我们设TA等于，它对其进行求导是E减A分之一是大于0，从而TA是大于等于T1等于0，从而GX大于等于0，所以综上A大于等于一。那么接下来是我们的第三条思路，由X分之E的AX方减AX加log x减1加1大于等于0。那这个问题可以转化成E的AX减ln x次方减AX减lox大于等于1减1。这我们就容易想到同构的解法，我们设T等于AX减6X那这个问题就转化成E的T次方减T大于等于1减1，所以我们就可以设KT等于一的T次方减T那由此就转化成KAX减6X大于等于K1，即AX减6X大于等于一，即可以解得A大于等于一，由此这是我们的解法。三考虑同构式，我们设GX等于AX减6X如果GX存在0点X0，则E的AX0减多X0次方减A倍的X0减6X0等于一，它是小于一减一是不合题意的。所以我们的GX是不存在零点，也就是我们的方程AX减6X等于零是没有实根，也即A等于X分之6X是没有实根。我们设HX等于X分之6X对其进行求导，已知HX的最大值在E处取的是等于E分之一，则HX是属于负无穷到1分之1，所以A是大于E分之一，所以A大于X分之6X所以AX减6X大于0。那我们就设T等于AX减6X它是大于0。那么这个问题就转化成一的T次方减T大于等于1减1。我们设KT等于E的T次方减TT大于0，对其进行求导是E的T次方减一也是大于0，而这K一又是一减1。那么这个问题就转化成KT大于等于K1，KT又是单针，从而T大于等于一即AX减6，X大于等于一，即A大于等于X分之一加ln x那么设MX等于X分之一加ln x对其进行求导，已知MX的最大值在一处取得等于一则A大于等于一，接下来是我们的第四一种思路。那么一样的我们对它变形，变形成E的AX减6X次方减AX减6X减1加1大于等于0。那么这可以是T等于AX减6X那这个问题就等价为E的T次方减T减1加1大于等于0，那这我们就可设KT等于E的T次方减T减1加1就转化成求KT的最值问题。由此这是我们的解法是换圆求解。我们设T等于AX减ln x问题转化成E的T次方减T减1加1大于等于0。我们设KT等于一的T次方减T减1加1，对其进行求导是一的T次方减1，可知KT在负无穷到0上单减在零到正无穷上单增又K负二是大于0，K0是小于0，所以说存在X0在-2到0上，使得KX0等于0。那么一的T次方减T减1加1大于等于0，就等价于T属于负无穷到X0B1到正无穷上，由于AX减6X的值域一定是区间大，则答要么含于负无穷到X0，要么含于一到正无穷。下面我们只要证明当含于负无穷大X0不成立即可。当X在0到1的时候，AX减6X它是大于等于负A的绝对值倍，X减6X它是大于等于负A的绝对值间。若X由于负A的绝对值间，若X是大于0，那么X大于零小于E的负A的绝对值次方，且E的负A的绝对值次方是小于一。所以当X大于零小于E的负A的绝对值次方AX减6X是大于0，所以X减6X是不属于负无穷大X0，所以搭含于负无穷大X0是不成立的，所以它只能含于一到正无穷，所以AX减6X是大于等于一，即A大于等于X分之一加ln x由解法三可知，A应该是大于等于一。以上就是我们对于这一个小题的第二问的4种思路以及相应解法。接下来谈谈我们的命题过程。我们定题过程首先构造一个函数，然后再设计第二问，最后设计第一问。首先我们是构造函数，我们想构造一个比较理想的函数。首先这个函数尽可能多的要考察函数的基础知识，最好是指数、对数、二次函数都有，并且最好能因式分解，减少计算量。再者这个函数最好看起来比较熟悉，实际上却有一定的新意。最后我们采取由简到繁逐步生长的方式，首先构造出了一个基础函数GX等于X分之E的X次方减X加6X我们对其进行求导，它是X方分之X减一倍的E的X次方减X那么可以发现X等于一是它的极值点，那么G一是等于1减1，那么这样G这样我们就把函数改成GX等于X分之一的X次方减X加6X减1加1，使得极值G一等于0。这样函数就有一了个突破口，可以成为解题的一个特殊点，以及突破口后面的问题设计也将更为容易。接下来我们就是加入参数，首先决定在指数位置加入参数，但是只在一个地方加入参数太常见了，所以说我们决定在两个地方加入参数。我们对这个GX进行求导可以发现它是X方分之AX减一倍的，E的AX次方减1加X分之一。那么第二个参数加到哪儿了？我们可以发现为了使这一个能够因式分解，那么G一撇X要等于X方分之AX减一倍的E的AX次方减A加X分之1，所以我们将GX设为X分之E的X方减AX加ln x减1加1。当然这样因式分解可以因式分解，但是门槛太低了，所以说我们需要稍微再变一下。怎么变呢？我们把这个GX变成FX这样一个函数，它是等于E的AX次方减A倍的X方加X倍的lox减一倍的X对于这种形状函数，不知变通的同学就很难往下做了，这样可以使试题的区分度更好。那么构造函数后，我们就来设计第二问。之所以先设计第二问而不是第一问，是有所考虑。首先第二问是整道题的核心，整道题的难度也基本集中在这一问。先涉及第二问，就避免了受第一问的影响，可以自由发挥。其次，第一问通常是第二问的台阶或补充，也有热身的作用。所以我们在确定第二问后再确定第一问，有利于整道题结构的完善，也能提高整道题的一个覆盖面。对的提高我们试题的质量大有好处。再者第一问难度一般不大，在第二问基础上见缝插针也很容易。对于这道题的第二问，最初的设想就是，求参数的取值范围，只是还没有确定需要附加的条件，由于这个函数隐含当A等于一的时候，FX有最小值为零，所以说我们就把条件设为FX大于等于0。于是我们的第二问就暂定为若FX大于等于0，求A的取值范围。接下来我们就设计我们的第一问。为了与第二问形成补充，增大试题的整个覆盖面，以及为第二问的求解做好铺垫，决定第一问考最值。首先就想到的是当A等于一，求FX的最小值。但是这样一来难度太小，不符合这道题的定位。二来会得到FX大于等于零这个结论。这相当于对第二问一种解法，是直接的一个提醒，不利于考察学生的一个思维能力。那么这考虑到FX的最小值在一处取得等于0，所以想到加上一个二次函数成为FX加把M倍的X减一的平方这种形式。那么经过反复计算，M等于-2分之1的时候最好，所以最终将第一位定为当A等于一的时候，求FX减2分之1倍的X方加X的最小值值。这是我们整个的命题过程。为了调查本题的编制质量、难度设置是否适宜，是否具有良好的区分度，我们将本题编制到高三数学周练中的第21题。对本校高三学生其中一平台53人，二平台48人，共101人进行了书面测试。测试结果我们第一个表主要是试题各小问的一个难度值情况。第二个表主要是试题高低分组的平均得分。从第一个表我们可以发现，第一问的这一个难度是0.7208，第二问的难度值是0.2299。那么第一问的难度值要比第二问的难度值高很多。第一问更简单，就与预设相合，那么整道题的这个难度是约等于0.4344，还是比较符合这道题的一个定位。第二问第21个表主要是试题的高低分组平均得分。主要针对于本题的区分度问题。我们将被试者此次测试总得分由高到低进行排序，取其中前27%作为高分组，后27%作为低分组。结合我们区分度的计算公式，可以得到本题的区分度约等于0.4418。区分度在0.4以上表明此题区分度很好，载体区分度达到了0.4418，区分度很好。最后是关于我们此次命题的一个体会。本次命题考察范围是函数与导数，难度相当于高考中的同类题。那么好的试题既能准确出检验学生平时的学习情况，又能真实的反映教师平时的教学情况，对教和学都具有很高的参考价值。而高考题更是对教学具有引导作用。那么在我们的数学教学中，处理好知识、方法、思维这几者的关系，做到让学生全面丰收，是每一位数学老师都要解好的一道难题。而对高考题多做一些研究，认识其特点，然后尝试自己原创一些压轴题级别的考试题，可以使教师对此有全新的认识，在教学中也会更加得心应手。以上是我们这一次对于这一个原创题的展览汇报，谢谢大家。