各位老师、同学们，大家好。我们是来自北京市第一桥中学的学生，我是刘子毅。我是刘晨晨。今天我们要给大家分享的是一道原创的新经典下解析几何综合题。我们要分为如下几个部分为大家分享。一原创试题，二思维导图，三解法优化，四命题历程，伍参赛体会。首先我们来看题，下图是一款新型多功能无人机，进行航拍、监测、跟踪、定位、巡逻等功能。无人机机架采用对称排列结构，便于抵消反扭矩，所以旋翼多采用偶数对称排列，其机架形状的俯视图可看作曲线伽马的一部分，如图2所示。我们再来看问题一，求曲线伽马上一点到原点距离的最小值。二过曲线伽马上一点P作两条直线L3和L4。已知直线L1Y等于X与L2Y等于负X有L2交L3于点AL1交L4于点B且L3平行于L1，L4平行于L2。同时L3L4分别与伽马交于2点CD曲线。伽马上是否存在无数个这样的点P使得四边形OAPB的面积与三角形CDB的面积相等？若存在，请求出该面积为定值。若不存在，请说明理由。一提议我们画出了符合题意的其中一种情况，如图。读完题后，我们先来分析题目。第一问中看到一个陌生的方程，我们可以对其进行转化性质分析，再根据题目要求表示出距离，最后化简消元求出最值。我们再来看第二问，这一问常规的方法是通过设点P表示直线L3L4，进而求出各点坐标后，用坐标分别表示三角形BCD和4边形OAPB的面积，再说明其相等。我们把这种做法归为解法一。此外我还想到了一种新的解法，即我们可以通过复数法或向量法得出旋转变换的公式，进而把图形旋转成我们熟悉的反比例函数，从而较容易的表示出三角形BCD和4边形OAP地的面积，进而说明相等。我们把这种方法归为解法二，真是妙。有了思路以后就可以开始动手做题了。在第一问中，通过等式的性质将方程转化为熟悉的双曲线，再通过表示距离代入方程就可以算出距离了。第二问则可以通过将双曲线与L3连立的方式得出点C的坐标的表达式，然后再用相同的方法得出D点的坐标的表达式。在联立两直线得出B点坐标，并通过两点间距离公式得出BD的长。同理我们可以求出CD的长，最后将其代入三角形面积公式，就可以求得三角形BCD的面积为二分之兰姆达。再通过P到L1L2的距离相乘，得到四边形OAPB的面积也为二分之M的，这样就证出了面积相等了，但这样又显得复杂。你可以帮我吗？我觉得你在表示点的坐标的步骤还可以再简化一下。像这样在表示出C点坐标后，我们发现C点坐标其实是很复杂的。那么我们先不要着急去求地点坐标，通过认真分析题目信息，观察图形的几何特征，我发现P点与C点关于直线Y等于负X对称，P点与D点关于直线Y等于X对称，进而我可以把D点坐标表示为Y0X0。这样我们就可以轻松写出PDBDPC的长，并求得三角形BCD的面积。然后再通过刚才你的解法去求出四边形OAPB的面积，就证明了面积相等。这么看在做题的时候我还要多观察思考，不能过早的动笔。通过你的讲解，感觉自己在解题策略上又提升了不少。其实我还有一个想法，我可以先求出三角形BCD和4边形OAPD的面积的表达式，证明其相等，再通过简单的证明即可证明出结论。你这个更简单，我也要向你学习。对了，其实在出这道题的时候，我是基于旋转变换的思想设计的。我们可以通过旋转坐标的公式，将分成逆时针旋转45度，得到两个反比例函数。这样结合反比例函数的性质，易证四边形ONPB和三角形CDB的面积相等。真是巧妙的设计。那你能跟我分享一下你的设计过程吗？在设计这道题的时候，我经历了四个阶段，学习探究、类比迁移、模型确定和情景双摄创作。这道题的灵感原一次测试中做到的，2019年北京高考理科数学第八题。在做做这道题的时候，我发现这道题中心形曲线是由一个斜椭圆在Y轴一侧的一部分让外轴对称而成。依照这个思路我进行了类比迁移，然后跟同为圆锥曲线的双曲线进行了旋转对称。结合双曲线和反比例函数的性质，我创作做的这道题，在最后的情景创设阶段，我找到了三个相关图形，最终确定了以无人机作为题目的背景。这有什么特殊的意义吗？在这三个图形中，无人机是最被大家所熟知的，且无人机是科技创新成果的代表，具有科技感。学生也都很喜欢。真是不错。在老师的支持下，这道题在一次的周测中对全年级同学进行了一个测试，测试结果如下，从作答情况上来看，满分人数和得分人数均有不少，说明很多同学的知识掌握的比较牢固，也能应对新的情境，但也有不少同学是零分，说明面对新题目时有所畏惧，不敢茫然下笔。总体来看，这道题的命制还算是非常成功的。最后我想表达一下我们的参赛体会。首先从这道题的命制过程来说，这道题它有几个题目亮点，比如他的背景真实，设问巧妙，解法多样灵活，对思维能力考察突出。另外，我们能够与众多的数学研究者参与比赛，我非常感到荣幸。这鼓励我吃透高考题，从做到想，甚至是举一反三。对一个问题的研究要抓住本质，这对一个高中生的成长是至关重要的。准备的过程是艰难的，实际上试题的命制是灵机一动，是神来之笔。别以为参加比赛的主体工作做完了，实际上在真正落实到写作时困难重重。首先是符号图形的录入，都是需要学习新知识。其次，字斟句酌的书写，反复推敲的严谨，感觉比完成一本寒假作业还要累。但最终写稿手捧心血凝成的文字激动不已。不管结果如何，我们已经突破了自己。感谢王振宇老师的耐心指导，感谢文卫星老师的细心反馈，感谢主办单位的精彩活动，祝大家万事如意。以上就是我们的分享，感谢各位的观看。再见再见。