千头万绪理思路，运算优化有恒心。2023年高中数学命题讲题比赛。大家好，我今天分享的是一道解析几何的命题命题呈现。这是一道双曲线和圆相交的一道问题。经过圆上一点作圆的切线和双曲交于AB2点，一是求双曲线的方程，二是求证角AB等于二分之派，三是求参数的取值范围。它的原理是来自于学科网上一道高三的专题练习，双曲线和圆相交，一是求双曲线方程，二是求向量的数量积，三是求证两个向量长度的关系。试题分析，第一小题求双曲线的方程，只需要根据题目条件搞清楚基本量的关系，进行简单的计算即可。这是思维导图，本题主要考察简单的数学运算素养。好，第二小题方法一角AB就是向量OAOB的夹角。所以只要证明OA点乘OB等于0，我们假设切线L的方程是Y等于KX加M这样与双曲线方程联立时消除Y的运算方便，但要注意斜率不存在的讨论，并假设AB的坐标，利用坐标来表示题目的条件和结论。这是方法一的思维导图。方案一主要考察参数事项、方程事项以及坐标法方法。角AB等于二分之派，也就是只要证明三角形AOB是直角三角形，联想平面几何中直角三角形的判定定理，我只要证明一条边的中线长等于该边是一半的三角形是直角三角形。那么七千L，我们还是假设是Y0KX加M这样计算方便，但要注意斜率不存在的讨论。并假设AB的坐标，利用AB的坐标来表示AB的中点的坐标以及弦长AB的长度。好，这是我们的方法二的思维导图。所以方法主要是要计算弦长AB的长度以及什么OM的长度。其中M是线段AB的终点，那么方法主要是考察参数事项、方程式项以及直角三角形的判定定理。方法三，由于直线L是圆的切线，那么我们联想到圆锥曲线中切线方程的二级结论。我们可以假设切线L的方程是X0，X加上Y0乘Y等于2，也就是用切点P的坐标来表示切线方程，然后再将直线和双曲线方程联立，并令向量的数量积等于。来证明。这是我们的方法三的思维导图。方法三主要考察坐标法以及语言的期限有关的二级结论。好，方法4，根据图形观察我们可以发现，7000L肯定是不过坐标原点，所以我们用一般式方程并考虑到计算方便。我们假设切线L的方程是MX加NY等于一，那么注意到原直线方程的条件，也就是M不全为零。我们可以不妨假定N不等于0。这样的话我们在直线方程和双曲线方程连列的时候，我们就消去Y就避开了讨论。当然了，我们也可以不妨设M不等于的话，那就消去X也可以避开讨论，再利用直线和圆相切得到MN的关系式，并利用坐标法来表示向量O和OB的点乘。好，这是我们的方法四的思维导图。方法四主要考察参数思想、方程思想，并结合直线方程的要求，通过一个不方式巧妙地避开的讨论。方法5注意到我们的方法1到4都是假设直线方程以及AB的坐标，那么再利用方程的思想以及参考的思想来联立方程组以及韦达定理，并将结论坐标化加以证明。那么能否只假设点的坐标？并将条件和结论通过点的坐标来进行表示证明呢？我们回答是肯定的，但是需要经历比较复杂的代数运算。好，这是我们方法五的思维导图。所以可以看到我们就是假设AB的坐标，利用AB的坐标来表示什么切线方程以及什么AB2点在双曲线上。这样经过一个什么非常复杂的一个代数运算，就可以证明向量OA点乘向量OB等于0。方法五主要是考察坐标法以及方程思想，并且需要一个比较复杂的代数运算过程。好，第三小题本题有多个点和多条直线，那么应该搞清楚是吧？搞清楚关系，比如AB其实就是7000L和双曲线相交所形成的弦长，容易想到形成公式来计算。CD的长度就是切线L和双曲线的渐进线相交形成的线段上。那么只要利用两点距离公式计算即可，这样我们就会很容易表达出number大的一个表达式，再求范围。利用我们第二小题中直线L方程的假设方法，我们可以用参数来表示meda的一个表达式。再根据参数的范围来求出什么meda的取值范围。因此我们的方法五的话后面主要是通过函数的观点，就是将meda表示成参数的函数关系式，然后再利用函数的方法求它的取值范围。这里面可能需要一定的变量代换以及什么分类讨论的一个思想。对本题主要是考察弦长公式、距离公式、分式函数值域的求法，以及参数方程和方程的思想。好，第三试题解答第一小题。注意到根据题目条件很容易算出A和C的值，再根据ABC的关系得出B的B点根号，这样就得出双曲线的方程。大家要注意在双曲线中ABC的关系与椭圆中ABC关系的区别。好，第二小题本题有多种解法。解法一首先我们考虑到切线L如果斜率是不存在的话，很容易证明角AOB等于二分之派。然后当切线L的斜率存在的时候，我们就假设切线L的方程是Y等于KX加M那么利用到直线和圆相切得出M和K的一个关系，那就是M方。等于2加上2K方。再将切线L和双曲线方程联立起来，并注意到切线L和双曲线有两个不同的交点，所以得出MK满足的关系，那就是M方等于2加上2K方，并且K方是不等于2。那下面我们再利用韦达定理可以计算出X1乘X2以及Y1乘Y2。就可以得到OA向量点乘OB向量等于0，所以就得到角LB等于二分之派，这样就得到证明。那么解法一的关键其实就是假设切线L的方程是Y0KX加M当然注意斜率不存在的讨论。就是用韦达定理坐标法来表示向量OA和OB的点乘，计算得到等于0。解法2注意到角AB是二分之派，也就是只要证明三角形AOB是直角三角形。所以我们联想到平面几何当中直角三角形的判定定理。我只要证明OAB上的中线微面的长度等于AB长度的一半，所以下面我们就是用坐标法。同样道理，如果是切线L的斜率不存在的时候，那么显然成立。那么当切线L的斜率存在的时候，我们还是假设切线L的方程式Y等于KX加M利用直线L和圆相切得出M和K满足的一个关系，那就是M方等于2加上2K方。然后再将L和双曲线方程联立起来，并注意到它这个相交的一个条件。那么再利用韦达定理我们可以计算出线段AB的中点的坐标，那就是KM除以2减K方，2M除以2减K方。下面我们只要什么计算？一个是利用弦长公式得到线段AB的长，一个是利用两点距离公式得到线段OM的长。那么可以得到AB的长度是OM长度的2倍，就说明三角形AOB是以O为直角顶点的直角三角形，从而就得到证明。解法三。注意到什么？直线和圆相切的一个二级结论，也就是用切点PX0Y0的这个坐标来表示切线方程。X0X加上Y0乘Y等于2。注意到因为是直线方程，所以X0Y0是不全为零。那么不全为零的话话，比如说一种情况Y0等于零的时候，那么很容易证明。第二种情况，如果是Y0是不等于零的话，那么将切线L的方程和双曲连接类似的得到。比如说切线L和双学院有两个不同的焦点的条件，再用维达定理，同样我们计算什么，计算出X线X2以及Y1乘Y2，那么也是可以证明向量OA和OB的点乘等于0，从而就得到我们的证明。好，那么减法4注意到我们这个切线L是不过坐标原点，所以我们就假设切线L的方程式MX加上NY等于0。那么注意到MX不全为零，我们就不妨假设N不等于0，那么注意到直线和圆是相切，所以得到M满足的一个关系式，那就M的平方加上N的平方等于2分之1，然后再将曲线L和双曲线方程联立起来，同样注意到相交的一个条件。那么再注意到利用韦达定理类似可以得到X乘X2以及什么Y1乘Y2。所以我们可以证明什么向量OA点乘OB等于0。那么解法式的一个关键就是什么？就注意到一个是切线，二是不过坐标原点。那么用一般式方程来假设，也要注意到什么？直线方程的条件就是XY的系数不全为零，所以我们不妨假设A不等于0，那么这样我们在连接的时候就消去Y当然了，如果假设AN不等于零的话，那我就消去X所以这样就是巧妙的避开了讨论一番。5假设A和B的坐标，那么由于ab是在双曲线上满足双曲线方程，那么利用向量平行的坐标运算，我们可以得到切线L的方程整理的这个形式，那么注意到直线方程的要求就是XYY的系数不选为零，我们就不妨假设Y2减Y一不等于，并且X2减X一不等于0。因为我们知道如果这两个系数中有一个是零的话，这个结论显然成立。好，那么利用到直线和圆相切，我们得到一个等式。那么这个等式我们把它展开的整理的话，就是按照平方项这样一个合并同类项目这样整理。整理的话那么注意到什么？AB是在双曲线上，我们把X用Y来代替，就X一方写成二分之Y一方加一，X2方写成二分之YL方加1。那么代入我们就得到新式这样一个式子。好，那么再加什么？就是X一方等于二分之Y一方加一，X2方等于二分之Y2方加一两个是相乘，相乘的话左边就是X一方减X2方，右边的话就是关于Y1乘Y2的Y一方加Y一方的这样一个式子。那么也就进一步整理，我们可以得到一加上二分之Y一方加上二分之Y一方等于X一方，X2方减去四分之Y一方减Y2方。好，那么这个是给它带入到新式当中，我们就可以得到X1乘X2加上Y1乘Y等于2分之1，括号里面是两倍的X方，X2方加上X1X2YY再减去Y一的平方，Y一的平方。好，那么这个式子可以进一步进行因式分解。那么因式分解我们就可以解除什么，解出X乘X2加上Y1乘Y等于0，或者是XX乘X2减去二分之YY1乘Y等于一。最后我们当然希望的结论是X乘X2加上Y1乘Y等于0。所以我们只要证明另外一个式子不成立，那就是如果X乘X2减去2分之1Y乘Y等于一的话，那么也就是移过去再平方，那么再注意到X1X2满足的就是双曲线方程的话，那么也是将XE方X方分别用YU方和Y方代入。这样的话我们其实就是消元的过程，这样我们就得到Y一和Y的一个方程，正好就是得到Y一和Y相等。这样的话跟我们前面的假设Y和Y不相等就产生了矛盾，说明这个是不能成立的。也就是只能前面这个成立，所以我们得到这个向量OA和OB的点乘得0。好。第三小题的话。首先还是假设7L的斜率是不存在的时候，那么这个应该很容易计算得到南达等于二分之根号。那么第二种情况，如果是切线L的斜率是存在的时候，我们就是用第二小题的做法。比如说假设切线L的方程是Y等于KX加M我们利用弦长公式得到线段AB的长度，然后再将切线L的方程和双曲线的两条渐近线分别联立，得到C点和D点的坐标。再利用两点距离公式得到线段CD的长。这样我们meta就可以用直线L的斜率K来表达出来，那就是二分之根号乘上根号下一加上一加K方分之3。根据第二小题的这个解答，我们知道开方是不等于二的。这样的话number大的范围就可以得到。这其实就是利用K一个函数关系求它的值域。这样我们结合第一和第二两种情况，最后得到MD的取值范围就是二分之根号到1，左闭右开，再并上一到根号左开右闭。应该说我们第三小题的解答，主要是利用第二小题的结论。就是一些比较常规的计算，一个是弦长公式，一个是距离公式。最后求number的范围本质上就是一个函数的一个工具，函数的模型。但是要注意什么？在第二小题当中，这个直线L的斜率K的一个范围。好，第四命题过程。这个原题是学科网上一道练习。它的第一小题就是求双曲线方程，就是焦点三角形当中求双曲线方程。第二小题是过双曲线任意点做它的两条渐近线的垂线，求那个向量的数量积。第三小题其实就是证明三角形LB是直角三角形，但是它是让你证明两个线段长度的关系。所以如果没有想到没有我就不清楚那个直角三角形的判定定理的话，那么可能就是直接需要计算那个线段的长度。但是如果知道这个判定定理的话，那么你这个第三小题的证明方法就有其他的方法。阶段一我们就分析原题的内涵。第一小点其实就是焦点三角形以及三角形以及什么双曲线的基本量的关系，结合起来进行一个简单的一个综合运算。第二小题的话，它其实就是在一个四边形不太特殊的四边形当中来计算向量的数量积，主要是考察这个坐标法以及方程思想的灵活应用。第三小题涉及的东西就比较多。比如说圆的切线问题，比如说直线和双曲线相交问题，比如说直线和双拳相交的弦长和弦中点问题。当然也可能会涉及到这个三角形的一个几何性质，那么在汇算巧算以及算力上要求比较高，因此对学生的基本的数学素养要求是较高。阶段就是提炼考察方向。在阶段一这个分析的基础之上，我们并结合上海高考解析，结合综合体的特点，我们提炼出编制新题的考察方向。比如第一小题一般来说就是关系考察，简单易算，确保得分。第二小题就方法简单，过程的阻碍，但是内涵丰富。第三小题就千头万绪，理清思路，运算优化。阶段三就是尝试编制新题。比如说第一个方向就是编制这样一个什么，第一小题求方程，第二小题是求证？这个角LB是一个定值，没有说这个定值多少。第三个小题求三角形面积的最值问题。第二个方向就是第一小题求双曲线的方程，第二小题让你研究什么这个线段AB的长和线段OM长度的一个数量关系，这也蕴含着一种变化中的不变性。第三是求弦长AB的最值问题最小值。那么第三个方向就是第一小题是求那个双曲线的方程，但是结合双曲线的离心率。第二小题就是这道题隐含了一种什么？就是我们满足这个角AB是90度的情况下，其实我们这个语言的半径与双曲线的虚半轴上一个相等，那么让你去证明这样一个重要条件。而第三个小题就是求这个三角形AOB面积的最值。第四个方向就是。这个问题。除了刚才那个投诉线，就是直角三角形，或者说我们这个语言的半径就是双曲线的虚半轴长。其实这样一个图形当中，这个切线L和双曲线相交，和双曲线的两条渐近线线相交。那么会有这样一个不变性，也就是AC的长度和BD的长度相等。但是这个相等的证明不能够直接证明需要一个比较特殊的转化，就是只要证明线段AB和线段CD的终点是重合就可。所以变成这样一个星期四。那那第五个题目就是跟我们全国卷当中考察双曲线的一个考察原则曲线的一个题型就是两个小题。第一小题是求方程，那么这里面就是求双曲线方程，在向量的条件下求直线方程。第二小题就探索一般性的一个结论，对吧？就是这个是角AOB是90度的情况下，让你研究这个双曲线的实半组和虚半组AB的关系，进而去求它的离心率的取值范围。好，那么接着在以上那个编制新题的基础之上，我们结合上海高考的考情学情分析以及上述解析这个问题的背景研究，我们就编制了最终的一个前提，也就是最开始的这个信息。好，那么第五个测试反馈。本题通过班级的测试得分情况统计如下表。假如我们以按照上海高考特点就是满比如满分16分的情况下，那第一小题四分，那么测试下来全部正确。第二小题六分其实得分也并不是特别理想，只有3.96分。第三小题的六分的话2点六七分，总分是10.63分。那么产生的问题主要是这样，第一小题应该没什么问题，正确率很高。第二小题的话就可以体现出我们这个学生的个体差异就比较显著了。主要表现在以下问题，一个就是切线方程的假设形成多样，但是大多是不严谨，特别是斜率不存在不讨论。切线和双旋方程联立后，直接用韦达定理不考虑方程有两个不等根的条件，就为第三小题的错误埋下了伏笔。计算问题较严重，多数同学计算不能坚持到底，或者说根本就算不出来。那么第三小题遇到的就是多点多线的问题，比较慌，没有头绪，搞不清题目中的点和线的关系，不清楚怎么处理。计算能力比较欠缺，根本算不出实数number到的表达式。然后再利用函数工具求南不到的取值范围的时候就不严谨。然后繁琐的事实无法求助。取值范围。好，第六体会收获。通过参加本次的数学命题的一个比赛，主要有下面的收获。第一个就是命题技术水平有较大提高。特别是通过聆听专家的讲座，以及自己亲自命题，感觉个人的命题技术有较大的提高。那么这个对日常教学中的命题也有很大的一个帮助的作用。第二就是格式规范上面有长足的进步，特别是在聆听文老师关于命题书写格式方面的讲座，以及若干案例的研究。提升自己在论文写作等方面的格式规范要求，特别是在双新背景下，数学表达应该说有与以前有较大的差异。我们教师只有搞清楚这些差异，才能在教学当中做到游刃有余。进一步加深对数学规范和严谨的一个认识。第三个就是加深对命题以及解析几何的认识深度。虽然我们这次只是改变了一道解析几何的解答题，但是对命题过程当中的酸甜苦辣体会深刻。命这一道满意的好题真的是不容易，特别是解析几何试题。虽然说我们可以通过GGP软件来进行一个直观的观察，但是还是需要经过大量的计算和验证。比如本题在解答过程中的第二小题的方法5，其实方法容易想，但是做起来非常困难，特别是这道题，有同学我在测试的时候，有同学也这样做，但是他做出来是不对的。所以我就花了很长时间去研究这样一道题，就这样做怎么会做不出来？最后是做出，但是确实花了很多时间，而且他的技巧确实很大。所以通过本次解析几何的命题，对解答解析解的问题有了更深入的认识。就是寻找线头，建立联系，抓住关键，运算严谨，方法合理，坚持到底。第四就是信息技术应用。能力有提升。这次命题是提到解析性问题，那么解析几何中蕴含了很多变化中的不变性质，也都是光靠计算的，是耗时耗力。但是通过比如说GGP软件等动态演示，可以快捷的发现。所以通过本次命题比赛，个人对这个GGP软件的使用更加的灵活自如，这对个人今后的数学教学必将有很大的一个帮助作用。第五就对日常教学有促进的作用。就通过本次的命题比赛，对自己今后比如说提升自己的研究解题，发现好题，甚至改编或者原创命题的能力的有很大的一个帮助的作用。好，谢谢各位的聆听，欢迎大家提出宝贵的意见。