湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期数学周考测试（12）

襄阳四中2024级高二上学期数学测试（12） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是(    ) A. B. C. D. 2.已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3.学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取人作为社团联合活动的筹备人员．从这人中随机抽取人负责物资准备，则名负责人至少有一名来自绘画社的概率为(    ) A. B. C. D. 4.已知，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 5.“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6.过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 7.已知圆，圆，动圆与圆，圆都相切，若动圆圆心的轨迹是两个椭圆，且两个椭圆的离心率分别为，，则(    ) A. B. C. D. 8.已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知曲线，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则曲线为双曲线 B. 若，且，则曲线为椭圆 C. 若曲线为双曲线，则其渐近线方程为 D. 若曲线表示椭圆，则其焦距为 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则(    ) A. 的离心率为 B. 的实轴长为 C. 的面积为 D. 11.如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点不包括端点，三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则(    ) A. 的取值范围为 B. 存在点，使得 C. ，，三点共线 D. 球球面上点到平面距离最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如果直线过点，且直线的方向向量为，则直线的一般式为          ． 13.已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为          ． 14.已知点在椭圆上运动，则的最大值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 根据条件，求下列曲线的标准方程： 一个焦点坐标为，且椭圆经过点； 与双曲线有公共的渐近线，且过点． 16.本小题分 在平面直角坐标系中，已知两个定点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 过直线上一动点作曲线的两条切线，切点为，，探究：直线是否过定点． 17.本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，若为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点． 求椭圆的方程； 若过作直线与椭圆交于两点，且椭圆上存在点，满足，求直线的方程． 18.本小题分 如图，是三棱锥的高，，，是的中点． 证明：平面； 若，，，求二面角的正弦值． 19.本小题分 已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，又是上异于椭圆顶点的两点． 若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； 若线段的中点坐标为，求直线的方程； 记点在直线上的射影为点，且直线的斜率是直线的斜率的倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由． 参考答案 1.【答案】  解：设向量与共面，则存在实数使得， 即， 结合选项，选项C满足题意， 所以与共面的向量坐标可以是． 故选：． 2.【答案】  解：对于：  且  相交，可得  ，故A错误； 对于：若  ，则  或相交或  在  内，故B错误； 对于：设  的方向向量为  ，  的法向量分别为  ，由  可得：  ，即  ， 所以  ，所以  ，故C正确； 对于，若  ，则  ，或  在  内，故D错误， 故选C． 3.【答案】  解：总报名人数为人，抽样比为． 书法社抽取人数：人，记为，， 绘画社抽取人数：人，记为，， 摄影社抽取人数：人，记为， 则从这人中抽取人有： ，种情况， 其中至少有一名来自绘画社有 来自高二年级有 ，种情况， 所以所求概率为 ． 4.【答案】  解：直线  的方向向量  ，又 ，   ，  ，  到直线  的距离为  ． 故选：． 5.【答案】  解：由，得渐近线方程为， 设渐近线与轴的夹角为，则， 两渐近线关于轴对称，故夹角为或， 若，则，，故，解得； 若，则，，，故，解得， 综上，双曲线的两渐近线夹角为时，或， 因此，“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的必要不充分条件． 故选：． 6.【答案】  解：由  ，则  ，  ，即  ， 所以曲线  ，是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，如图． 可知  ，因为  ， 则当  面积取最大值时，  ，即  ， 半圆  的圆心为  ，半径  ，此时  ， 所以圆心  到直线  的距离为  ． 设直线  的斜率为  ，则直线  的方程为  ，  ， 圆心  到直线  的距离  ，解得  ， 因为  ，所以  ． 故选C． 7.【答案】  解：由题意可得  ，如图，动圆与圆  内切，切点为  ， 与圆  外切，切点为  ， 此时  ，所以    ， 故圆心的轨迹为以  为焦点的椭圆， 此时  ，故  ，故离心率为  ， 如图，当动圆与圆  ，圆  均内切，切点分别为  ，  ，  ， 则   ， 故圆心的轨迹为以  为焦点的椭圆，此时  ， 故  ，故离心率为  ，所以  ． 8.【答案】  解：由椭圆方程为，得，， 则，右焦点， 圆，即，则圆心为，半径． 由椭圆定义得，则， 则． 又的最大值为， 故， 又， 当且仅当在直线上且在与之间时取等号， 故的最大值为． 9.【答案】  【解析】解：若  ，则表示双曲线，其渐近线方程为  ，故AC正确； 若  ，例如当  时不表示任何曲线，故B错误； 对于，若曲线表示椭圆，则  ，且  ， 当  时，则焦点在轴上，且  ，则  ，即其焦距为  ； 同理当  时，焦点在轴上，此时的焦距为  ，故D正确． 故选ACD． 10.【答案】  解：对于，双曲线的渐近线方程为， 又已知过的直线与的一条渐近线平行，所以，即， 双曲线中，此时，离心率，则， 所以选项A正确； 对于，直线与轴交点为，即，所以， 又因为且，可得，，实轴长， 选项B错误 对于，对于，由，解得，， 即， 的面积，选项C正确； 对于，，由，， 所以， ， ，选项D正确． 故选：． 11.【答案】  解：在三棱锥  中，  平面  ， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则  ，    ， 由  是线段  上的动点，设  对于，  ，   ，A正确； 对于，则  ，  ， 由  ， 则不存在点  ，使得  ，不正确； 对于，由题意易得三棱锥  的外接球为球  即为墙角模型的  的外接球球心， 其球心位于正方体的体对角线的中点，所以  ， 同理三棱锥  的外接球为球  ， 由  可得  ，  ，  三点共线，故C正确； 对于，球心  在以  为顶点  为棱的正方体的中心，其半径为  ， 又  ，易得平面  的法向量为  ，且  所以  到平面  距离为 ， 所以球  球面上点到平面  距离最大值是  ，故D正确． 故选ACD． 12.【答案】  解：设  为直线上的动点， 则  ， 因为  是直线的方向向量， 所以  ， 得  ， 即  所以直线的方程为 ． 13.【答案】  解：因为两条直线  和  都经过点  ， 所以  ，  ， 所以  ，  分别在直线  上， 所以两点  ，  间的最短距离为两平行线间距离，即  ， 故答案为： ． 14.【答案】  解：设，因为点在椭圆上运动， 所以直线与椭圆有公共点， 由得，则， 解得， 所以的最大值为，即的最大值为． 故答案为：． 15.【答案】解：由题意，设椭圆的标准方程为， 则 所以椭圆的标准方程为  ． 设所求双曲线的方程为  ． 将点  代入双曲线方程得  ，解得  ， 因此，所求双曲线的标准方程为  ． 16.【答案】解：设点  ， 由  ，得  ， 平方化简得，  ， 即曲线的方程为 ； 设直线  上一点  ，曲线的圆心为， 则  ，  ，则，都在以为直径的圆上． 因为圆心为  ，半径为  ， 所以圆的方程为  ， 即  ． 因为，是两圆的公共点，所以直线为两圆公共弦所在的直线． 由  得直线的方程为  ，即  ． 由  得  ，  ， 所以直线过定点 ．  17.【答案】解：连接， 由，，得为的中位线， 且， ， 解得， 又，所以， 所以椭圆的方程为：； 若直线为轴时，为坐标原点，显然不符合题意， 则可设直线的方程为：，，，， 联立，得， 即， ， ， ， 由在椭圆上得， 解得， 存在直线：符合题意．  由题意，为的中位线，，，由，解得，得，，得椭圆方程； 设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆，由根与系数的关系得，，即，由在椭圆上得，求得得直线方程． 18.【答案】解：证明：连接，，依题意，平面， 又平面，平面，则，， ， 又，，则≌， ， 延长交于点，又，则在中，为中点，连接， 在中，，分别为，的中点，则， 平面，平面， 平面； 过点作，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由于，，由知， 又，则， ， 设，则， 设平面的一个法向量为， 又， 则，则可取， 设平面的一个法向量为，又， 则，则可取， 设二面角的平面角为，则， ，即二面角正弦值为．  本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题． 连接，，可证得，延长交于点，可证得，由此得证； 建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式得解． 19.【答案】解：设， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得，即点的横坐标的取值范围为； 设，， 则，两式相减作差可得， 即，即，即， 又，所以， 由直线的点斜式可得， 化简可得， 所以直线的方程为； 是，理由如下： ，， 设直线的方程为， 直线的方程为，， 联立，消得， 则，所以， 所以，故， 联立，消得， 则， 所以，所以， 故， 当，即时，， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时，此时， 直线过定点， 设，因为，， 所以过点，，为坐标原点三点的圆即为过点，，为坐标原点三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点，，为坐标原点三点的圆是定圆．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $