湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期数学周考测试(13)

襄阳四中2024级高二年级上学期数学周测(13) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是(    ) A. B. C. D. 2.当实数变化时，方程表示的曲线不可能是(    ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为(    ) A. B. C. D. 4.抛物线的准线方程为(    ) A. B. C. D. 5.已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若，则(    ) A. B. C. 或 D. 6.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知四棱柱的底面是正方形，以为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，若，，则四棱柱的体积为(    ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则(    ) A. B. 若与互斥，则 C. D. 若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为 10.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点已知椭圆的左右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为(    ) A. B. C. D. 11.已知正方体的棱长，点是线段含端点上的一个动点，点在上底面内含边界，且下列结论正确的是 A. 点的轨迹长度为 B. 存在点，使得直线与所成角为 C. 点到平面距离的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则           ． 13.若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是          ． 14.设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知两条直线：和：，过点作一条直线． 若过两条直线的交点，求直线的方程； 若夹在两条直线之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 16.本小题分 已知圆． 若直线截圆所得弦长为，求的值； 若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 17.本小题分 已知双曲线：与有相同的渐近线，且过点． 求的方程； 已知为坐标原点，直线与交于，两点，且，求的值． 18.本小题分 如图，平面，，，为的中点，，． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 求平面与平面夹角的余弦值． 19.本小题分 已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点． 求的方程； 已知为的左焦点，在轴上有两动点，且． 若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； 直线分别与交于点，求证：直线恒过定点． 参考答案 1.【答案】  由求得双曲线的渐近线方程． 解：依题意，双曲线方程为， 由，解得双曲线的渐近线方程为．故选A． 2.【答案】  解：当时，，方程可以化简为，曲线是圆 当，且时，即或时，曲线是椭圆 当时，即或时，曲线是双曲线．故选：  3.【答案】 解：由直线的方向向量为得直线的斜率为， 又在轴上的截距为， 所以直线的方程为，即．故选C． 4.【答案】  解：由题意，抛物线  的标准方程为  ， 所以抛物线  的准线方程为  ．故选：． 5.【答案】 解：由双曲线定义可得， 则，即或， 又， 则，故舍去 故．故选B． 6.【答案】  解：如图，为椭圆上任意一点，则， 又为圆：上任意一点， 则， 当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立， 而，， 则， 所以的最小值为．故选：． 利用椭圆的定义，将转化为，结合图形求得最小值． 本题考查椭圆定义，以及椭圆与圆的方程的应用，属于中档题． 7.【答案】 解：如图所示，假设正方形的边长为 则，所以， 因为，所以 所以，解得 所以正方形的边长为，其面积为， 因为，所以点到底面的距离为，即四棱柱的高为， 所以四棱柱的体积为，故选： 8.【答案】 本题主要考查了圆的标准方程，以及圆的性质的应用，属于中档题． 根据题意，设圆心坐标为，得出圆的方程，根据圆的性质，得到圆和轴相切时，取得最大值，即可求解． 解：过点，，三点的圆的圆心在线段的中垂线上， 设圆心坐标为， 又由点在轴上移动，当圆和轴相切时，取得最大值， 设切点，圆的半径为， 所以圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得， 整理得，解得或舍去， 所以点的横坐标为． 故选C． 9.【答案】  解： 选项A：由对立事件概率公式，对立事件的概率和为，即，故A正确。 选项B：若与互斥，则为不可能事件，根据不可能事件的概率定义，，故B错误。  选项C：根据和事件概率加法公式。由于且，故：  当取最大值此时，；  当取最小值此时与互斥，。 因此，故C正确。 选项D：若与相互独立，则。“和至少有一个发生”的概率为，故D错误。 10.【答案】  解：设椭圆的长轴长为． 若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，得； 若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以， 得； 若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以， 得． 故选：． 11.【答案】 解：因为正方体的棱长，在中，，由勾股定理得到，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，其长度为，故A项正确； 因为，所以就是直线与所成角， 因为正方体中平面且平面， 所以，所以中，所以，又因为，故B项错误． 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，，，，， 设平面的法向量为，，，则，令则， 因为，所以点到平面的距离为； 当最大，最小时有最大值，即时距离有，故C项正确． 将与展开在一个平面上，此时的最小值就是  为展开后的点， 所以，， 所以，，所以 由余弦定理得到： 所以，的最小值为，故D项正确． 故选： 12.【答案】 解：因为点，点是点关于平面的对称点， 可得点的坐标为， 所以． 故答案为：． 求得点的坐标为，根据两点间距离公式即可得解． 本题主要考查空间两点间距离公式的应用，属于基础题． 13.【答案】  解：，即， 设与直线平行且距离为的直线方程为， 所以，解得或， 所以两条平行线的方程为，， 圆心到的距离为，圆心到的距离为， 由题意得圆与，均相交，则，，即且， 所以  故答案为：． 14.【答案】  解：由对称性，不妨设点  在  轴的上方，由题意得  ，    ，所以  ，即  ， 代入椭圆方程解得  ，所以  ，即  ， 所以  ，  ． 故答案为： ． 15.【答案】解：由，解得，即直线与交于点， 则直线的斜率为，方程为，即． 设直线与的交点为，则点关于点的对称点， 依题意，点在直线上，即，解得，则， 直线的斜率为，方程为，即， 所以直线的方程为．   【解析】【分析】求出直线与的交点坐标，再利用直线的点斜式方程求解即得． 设出线与的交点坐标，由中点坐标公式及直线的点斜式方程求解即可． 16.【答案】解：因为圆心到直线的距离， 因为弦长，为半径， 则， 化简得， 解得或； 设直线和圆交于点，，直线与圆交于点，． 因为直线和直线将圆的周长四等分， 所以圆心位于两直线之间， 连接，，，，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为， 故直线和直线间的距离为，所以， 即．  【解析】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 结合弦长公式以及点到直线距离公式求解． 设直线和圆交于点，，直线与圆交于点，，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求． 17.【答案】解：由题意，设的方程为，又因为过点， 所以，解得， 所以的方程为． 设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或．   本题考查向量与双曲线的综合问题，双曲线的标准方程，双曲线的渐近线，属于中档题． 利用待定系数法，结合代入法进行求解即可； 将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可． 18.【答案】解：取的中点，连接、，E、分别为、的中点，则且，且， 且，所以四边形为平行四边形，，平面，平面，平面 平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系 ，如下图所示：则、、、、，，则，，， 设平面的法向量为，则，令可得，，则， 设直线与平面所成角为， ，，设平面的法向量为， 则设，则，，即， 又平面的法向量为，设平面与平面夹角为，则  19.【答案】解：因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为 由，得，所以． 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得． 设，则 消去得，， 化简得，又，所以， 所以 设直线的方程为 联立，消去整理得， 则，， 因为，，所以， 故，即， 化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为， 即直线恒过定点．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $