湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期数学周考测试（11）

襄阳四中2024级高二上学期数学测试（11） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系，点关于平面的对称点的坐标为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为(    ) A. B. C. D. 3.若直线与直线平行，则(    ) A. B. 或 C. D. 或 4.已知随机事件满足，则(    ) A. B. C. D. 5.某班名学生的某次物理测验成绩单位：分分别为记这名学生此次物理测验成绩的第百分位数为，这名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取人，则这人中恰有人此次物理测验成绩高于分的概率是(    ) A. B. C. D. 6.在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 7.已知直线：，圆：，直线与圆交于，两点，则弦长的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆：上存在关于直线：对称的点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知椭圆的两个顶点之间的距离为，则该椭圆的离心率可能为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点，为线段的中点，下列结论正确是(    ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使得与所成的角为 C. 的最小值为 D. 面积的取值范围为 11.京剧唱脸谱的歌词描绘了外国人眼中京戏的美丽和多样性其中，“四击头”一亮相，美极啦，妙极啦，简直，顶呱呱紫色的天王托宝塔，绿色的魔鬼斗夜叉，金色的猴王，银色的妖怪，灰色的精灵笑哈哈一幅幅鲜明的鸳鸯瓦，一群群生动的活菩萨，一笔笔勾描，一点点夸大，一张张“脸谱”美佳佳如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线半圆的方程为，半椭圆的方程为，则下列说法正确的是(    ) A. 点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点，，则面积的最大值为 B. 曲线上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为 C. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔蒙日发现：糕圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点作圆的切线，则切线长为          ． 13.点在曲线上运动，则的最大值为          ． 14.如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为米的三段、、构成，处为机械臂固定基座，机械活动关节，处可自由活动，当机械臂处于，，，所在直线所成角为的位置时，，两点之间距离为          米忽略机械臂粗细，、、均按线段计算．  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线经过点． 若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； 若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 16.本小题分 已知圆经过点，，且圆心在直线上． 求圆的标准方程； 设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 17.本小题分 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． 求的方程； 过的右焦点的直线交于两点，若为坐标原点的面积为，求的方程． 18.本小题分 如图，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图，为的中点． 求二面角的余弦值： 试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 如图，圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点当点在圆上运动时，点的轨迹为． 求轨迹的方程； 过点且与轴不重合的直线与相交于，两点设点，记直线，的斜率分别为，，求的值； 过点作直线交于，两点在上方，设点，，若直线与相交于点，证明：动点在某定直线上． 参考答案 1.【答案】  解：在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为， 已知点坐标为，代入对称规律得对称点的坐标为． 2.【答案】  解：设，，． 为的中点，则， 为靠近的三等分点，则， 则， 所以． 故选D． 3.【答案】  解：由直线与直线平行， 可得：， 解得或， 当时，两直线重合，舍去， 当时，经检验符合题意， 故选： 4.【答案】  解：根据概率的加法公式，变形可得： 代入已知数值： ， ， 因此 5.【答案】  解：因为，所以分， 所以这名学生中物理测验成绩不低于分的学生有人， 其中有人此次物理测验的成绩不高于分，记为，，， 有人此次物理测验的成绩高于分，记为，，， 现从这人中随机抽取人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共种， 其中这人中恰有人此次物理测验成绩高于分的情况共种， 故所求概率． 故选：． 6.【答案】  解：因为正三棱柱中，，所以为正三角形， 则取中点，连接，以为坐标原点， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则有，，，，，， ． 故选：． 7.【答案】  解：由题设，即， 令得，所以直线过定点， 而圆，圆心为，半径为， 所以，即定点在圆内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直， 此时． 8.【答案】  解：设椭圆上关于直线对称的两点为，，中点为， 则，得，且， 设， 则由，得， 则，解得，且，， 所以，所以， 又，所以，得， 又，所以， 则实数的取值范围为， 故选C． 9.【答案】  解：椭圆的方程为，则， ，，， 离心率， 两个顶点之间的距离为，可能为短轴两顶点，长轴两顶点或长轴和短轴的各一个顶点， 或或， 若，则，得，此时，故D正确； 若，则，解得，此时，故C正确； 若，则，解得，此时，故A正确． 故选：． 10.【答案】  解：对于，点到平面  的距离是定值，  为定值， 所以三棱锥  的体积为定值，A正确； 对于，建立空间直角坐标系：  ，  ，  ，设  ， 所以  ，  ， 若  与  所成的角为  ， 则  ， 则  ，即  舍去  ， 所以存在点，使得  与  所成的角为  ，B错误； 对于，将平面  沿着  旋转到平面  ，如图：  的最小值等于的长， 因为  ，  ，  ，  ，  ，则  ， 所以  ，  ， 所以  ，  ，C正确； 对于，设  ，  ，  ，所以  ，  ，  ， 点到直线  的距离为  ， 由  ，当   时，有   ；当  时，有  ， 所以  面积的最小值为  ，最大值为  ， 所以  面积的取值范围为  ，D正确． 故选：． 11.【答案】  解：对于，因为点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点，， 则，，则． 当位于椭圆的下顶点时取等号， 所以面积的最大值为，故A正确； 对于：曲线中，当时，，此时与原点距离为， 当时，，设半椭圆上动点坐标为，， 则， 所以曲线上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为，故B错误； 对于：因为，恰为椭圆的两个焦点， 那么，所以， 当且仅当，即在轴上时，等号成立，在中，， 由余弦定理知： ，故C正确； 对于：由题意知：蒙日圆的圆心坐标为原点， 在椭圆中取两条切线：和，它们交点为， 该点在蒙日圆上，半径为，此时蒙日圆方程为：，故D正确． 故选ACD． 12.【答案】  解：对圆方程 ， 配方得： 。 因此圆心为，半径； 点到圆心的距离 ； 切线长． 13.【答案】  解：已知曲线，则， 因为，所以， ， 故当时，取最大值，为， 故答案为： ． 14.【答案】或  解：过作，且． 因为，所以，又， ，是平面内的两条相交直线，故平面． 因为，所在直线所成角为，， 则或． 所以，或． 因为，且，所以四边形为平行四边形， 则， 因为平面，所以平面，平面． 所以． 若，则， 若，则． 故答案为或 15.【答案】解：当在坐标轴上的截距为时，符合题意， 直线过坐标原点，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当在坐标轴上的截距不为时，设直线的方程为， 因为直线过点， 所以，解得， 所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或； 如图所示，可得直线的截距不为，斜率存在且斜率， 设直线的方程为， 令，解得，则， 所以， 令，解得，则， 所以， 则的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为， 此时直线的方程为，即．   16.【答案】解：因为，，所以， 所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； 设，，， 则有，，． 由，可得，解之得 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为．  17.【答案】解：由题意可知，椭圆的短轴长为， 所以，， 又因为离心率为， 可得， 解得， 所以椭圆的方程为 由知，椭圆，可得， 所以右焦点， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组， 整理得到， 可得， 设，， 则，， 所以， 又由点到的距离， 所以的面积， 解得或舍， 所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或．   根据题意求出，的值即可； 设的方程为，与椭圆联立，得出，结合韦达定理求解即可． 本题考查直线与椭圆方程的应用，属于中档题． 18.【答案】解：依题意，，，而，，平面， 则平面， 在平面内过点作，则直线，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则 取，得， 设平面的法向量为， 则 取，得， 因此， 所以二面角的余弦值为； 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， ，， 设，， 则， 而平面的一个法向量为， 依题意，得，解得， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时．  19.【答案】解：连接，由已知得所以． 又因为点在圆内，所以， 根据椭圆的定义，点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆． 由，，设直线的方程为，，， 联立方程得， ， 由韦达定理得，， 则 ． 设直线的方程为，，， 将椭圆方程与直线方程联立可得， 时，， ，， 所以， ，， ，整理得， 所以动点在定直线上   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $