各位专家，各位同仁，大家好，我是天津市滨海新区塘沽第一中学的宋亚楠。我是韩亚宁。大家好，我是天津市第七中学李奥鹏。我们发言的题目是深研教材内涵，聚焦核心素养，提升思维品质，指导教师是天津市滨海新区塘沽第一中学肖伟华。我们将从题目呈现、试题分析、思维导图、解答过程、命制过程、实测分析、参赛体会七个方面进行阐述。一、题目呈现改编题。由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的特征三角形。如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是相似椭圆。中国空间站的运行轨道是以地球为一个焦点的椭圆。人教版数学教材选择性必修第二册的封面即为中国空间站在太空中围绕地球运行的示意图。已知椭圆CA方分之X方加上B方分之Y方等于1，与某飞行器的运行轨道是相似椭圆，若椭圆C的特征三角形是等腰直角三角形，点P01在椭圆C上，第一问求椭圆C方程。第二问直线LY等于KX加MM不等于1，与椭圆C交于AB2点，直线PAPB的斜率分别记为K1K2。第一小问，若K1K2等于1，求证直线L过定点，并求出该定点的坐标。第二小问，若直线L的斜率K等于3，直线PAPB分别交直线X等于二于MN2点。当M大于等于4分之1，小于等于3分之1时，求三角形PMN面积S的最小值。该题来源于2022年浙江高考卷的第21题。2、试题分析，本题新定义多，阅读量大。抓住椭圆C的特征，三角形是等腰直角三角形这一几何特征，建立基本量ABC关系，从而解得椭圆的标准方程。改编题第二问的第一小问，本题当中出现了三条直线与浙江高考题给出图形不同，需要同学们做出椭圆和直线的位置关系，由K1K2等于1，得到关于M的方程，从而求得直线过定点及定点的坐标。第二种想法，直线PA和PB分别与椭圆方程联立，求出A点和B点的坐标，由K1K2等于1，将B点的坐标进行代换，把A点和B点由两点式得到直线方程Y等于KX减3。改编题第二问中的第二小问，首先将K等于三进行赋值，直线L只含有单参数，本题出现了四条直线，需要同学们做出图形，发现三角形面积的最小值由线段MN的长度所确定，结合弦弦长公式得到关于M的解析式，利用二次函数单调性得到三角形面积的最小值。这种想法是通性通法，蕴含了数形结合的思想，考察了数学运算核心素养。第二种想法由二级结论和题目当中的已知结合，可以得到K1K2的关系式，代入三角形PMN的面积表达式当中求导可以求得最小值。三思维导图改编题第二问的第一小问，实际上我们可以将直线和椭圆方程联立。第一种想法，将直线L和椭圆方程联立，由韦达定理得到关系式，代入已知得到关于M的方程解得M等于-3。第二种想法，直线PA和直线PB与椭圆方程联立，分别解出AB2点的坐标，把已知进行代换，也可以求出直线AB的两点式方程。两种方法都可以达成目标。发现直线L横过定点第二问的第二小问，经过分析得到三角形面积的最值，由线段MN的长度最小值所确定。第一种想法由韦达定理把弦长MN的表达式进行代换，得到关于M的解析式。等价换元之后，利用二次函数的单调性可以达成目标，这种想法是通性通法。第二种想法由二级结论和题目当中的已知可以得到K1乘K2的表达式，把它们都代入三角形PMN的面积表达式当中，得到关于M的解析式，利用求导法研究函数在给定区间上的单调性，进而达成目标，求出面积的最小值。下面我们来看这道题的详细解答过程。本题是以飞行器的运行轨道为背景出的一道椭圆解答题，题目中干扰因素比较多，想要正确解决这道题的第一问，我们首先需要从背景条件中提炼出有效条件。通关背景条件，我们可以获得三组有效条件，分别是由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形，称为该椭圆的特征三角形。椭圆C的特征三角形是等腰直角三角形，即点P01。在椭圆C上，结合前两个条件，我们首先来分析椭圆图形，可以发现在椭圆C中短轴的一个顶点和椭圆C的两个交点组成的三角形是等腰直角三角形，这样我们就可以得到ABC之间的关系。再由第三个条件点P01，在椭圆C上可以发现点P其实是椭圆的一个短轴顶点，这样我们就可以得到B等于一。由此我们可以建立起和ABC有关的三元方程组，从中解出ABC的取值，进而得到椭圆C的方程是二分之X方加上Y方等于一再来看这道题的第二问，直线L与椭圆C交于AB2点，直线PAPB的斜率分别记为K1K2。若K1K2等于1，求证直线L过定点，并求出该定点的坐标。分析背景条件，我们可以发现，其中我们一共出现了三条动直线，直线L也就是直线AB直线PA和PB以及两个动点AB4个参数分别是KMK1K2，即一组定值K1乘K2等于一。想要正确解决第一问，那么我们首先就要分析直线ABPAPB这三条直线之间的相互关系。由于这三条直线是动直线，不要我们就去想哪条直线的运动引起了其他两条直线的运动呢？观察图形我们可以发现线AB的运动会引起了AB两个点的运动，再将定点P和AB2点分别连接起来，即可得到第二条动直线PA和第三条动直线PB由此我们可以产生解决这一小问的第一种思考方式。我们能不能首先解决动直线AB和椭圆的交点AB2个动点的问题呢？如果再来分析三条直线的运动情况，我们可以发现由题干条件中的K1K2等于1，其实可以把动直线PAPB2者联系起来。也就是说我们可以假设PA的运动可以引起PB这条直线的运动，这样的话我们就会形成了图中的两个动点A和B再将两个动点AB连起来就可以得到动直线AB由此我们可以产生解决这道题的第二个思路，能不能以直线PA为基础来研究动点A的问题，再有动直线PA获得动直线PB与图的交点B进而研究动直线AB的问题。下面我们从两个不同方向来对第二问进行分析。首先看第一小问，若K1K2等于1，求证直线L过定点，并求出该定点的坐标。其实在这一小问所要证明的结论中，已经给我们进行了提示。我们要证的是直线L过定点。背景条件中直线L方程给的是Y等于KX加M这一形式。那直线的方程满足什么样的条件可能使得该直线过定点呢？思考一下，可能M没定值，那这时候直线L会经过一个定点，坐标是0M也有可能变量KM之间存在一阶线性关系式，那其中一个变量可能用另一个变量来表示。这样我们就可以将直线的方程从斜斜式转化为点斜式，从而推断出直线可能经过的定点。那到底是M为定值还是变量KM之间存在一阶线性关系式呢？我们尝试从两个不同的角度来进行分析。第一个角度，我们以动直线AB为研究对象，将直线AB和椭圆方程联立方程组，消元韦达定理。我们可以得出AB2点的横坐标X1X2所满足的条件。是时候我们要将它和K1K2等于一这个条件结合起来，K一等于X1分之Y1减1，K2等于X2分之Y2减1。那么我们就可以将K1K2等于一这个条件转化成X1X2，Y1Y2之间的条件。但由于AB2点都在直线Y等于KX加M上，所以Y一等于KX1加MY2等于KX2加M这样的话我们就可以将上述条件由X1、Y1、X2、Y2这4个变量之间的条件是转化为X1X2之间的关系式。对该条件式进行变形整理，我们可以发现它最终会落到和X1乘X2，即X1加X2有关的一个形式上将韦达定理的结论带入，我们可以得到一组K和M之间的关系式。那这组K和M之间的关系是最后是KM之间的关系，还是M为定值呢？我们要对它进行化简处理。由于条件中给出M等于一，所以最终化简我们得到关于M的一个1元2次方程。M方加2M减3等于零解出我们可以得到M等于-3或1，其中一舍去。因此直线AB的方程为Y等于KX减3，这样我们就可以推断出直线过定点0负散。下面我们从第二个角度来对圈一这一小问进行分析。这时我们以动直线PA为主要研究对象，首先写出直线PA和PB的方程，将其中的直线PA和椭圆联立方程组消Y可以得关于X的1元2次方程，该方程中不含有常数项，因此X两个值可以解出。其实这时候X两个值应该是直线PA和屯的两个交点的横坐标。由于其中一个焦点P坐标已知，所以X另一个值一定是第二个焦点A的横坐标，也就是X1。可以用参数K一来表示，将X一的表达式带入到直线PA的方程中，可以得到A点的纵坐标万一如何用参数K一来表示，对于直线PB与直线PA从结构形式上完全保持一致。因此我们只需要将X1、Y一表达式中写参数K的地方，用参数K2进行替换，就可以得到直线PB和椭圆交点B的坐标，达到减少运算量的目的。但这时候X1、Y1、X2、Y2是分别用参数K1K2来表示的，那么参数个数比较多，所以我们可以思考一下，能不能减少一下参数的个数呢？结合题干条件中的K1K2等于1，我们可以将参数K2用K1分之1来替换表示，代入到X2Y2的表达式中。这样的话X2Y2也可以用K一来表示。这样做的目的，我们就可以达到减少参数个数这个目的了。由于我们现在已知的是直线AB2点，所以直线AB的方程我们只能用两点式来表示。但很显然两点是这种书写形式，不能推断出直线L所经过的定点坐标。因此我们需要对它进行变形处理，将直线AB的方程中的Y为变量，我们将X1Y1X2Y全部看成参数，所以我们将直线AB的方程转化为斜截式形式。所以前面我们已经将X1、Y1、X2、Y2分别用参数K一表示清楚了。所以我们只要将上述四个表达式带入到整理后的斜截式方程中，就可以对该方程进行化简处理。我们可以发现化简后的方程其实与参数K一无关，最终的形式应该是Y等于KX减三这种形式。也就是说直线AB的方程只与K有关，现在应该是Y等于KX减3，从而可以获得直线AB过定点0-3。接下来我们一起来研究第二问中的第二小问，与第一小问相比较，有哪些条件发生了改变呢？首先是直线L的斜率K等于定值3，其次是参数M给的一个范围。通关第二小问的所有给定条件，依然还是出现了三条动直线，ABPAPB及由此产生的两个动点M和N参数有三个，MK1K2，其中M给了范围，除此之外还给出了第四条直线X等于2，这是一条定直线。上述条件与我们所要研究的三角形PMN的面积S的最小值有什么关系呢？观察发现参数M给了范围，所以这里面我们就会疑问，这个三角形PMN的面积和M这个参数会不会有什么关系呢？我们来分析相关图形，想要正确求解出最小值值为多少，首先我们要把三角形PMN的面积S写清楚才可以。所以观看图中的三角形PMN面积的变化方式，我们可以发现，无论三角形PMN如何变化，P点始终是一个定点。无论MN2点如何变化，这两点始终是在同一条直线X等于二上的。也就是说P点到直线MN的距离现在是一个定值，会在表示三角形面积的时候，我们可以选择以MN这条线段为底边，以点P到直线MN的距离为高，表示三角形的面积。那这时候的问题就转化到如何来表示MN这条线段的长度呢？事实上我们可以将直线PA的方程与直线X等于二联立方程组，即可求出点M的坐标。同理我们也可以得到点N的坐标。由于MN2点的横坐标是同一场数，所以线段MN的长度就是这两个点的纵坐标差的绝对值。这样的话三角形PMN的面积S就可以用K1K2这两个字母来表示。也就是说S等于二倍的绝对值，K1减K2。表示清楚S以后，那么我们再来解决S的最小值问题。想要正确写出S与M之间的关系式，可以采用第一种方法，是将K1、K2用斜率公式来表示。带入到上述结论式中，可以得到S与X1、X2之间的关系式。借助前面的韦达定理，我们可以将X2减X一的绝对值用根号下X1加X2的完全平方减去四倍的X1X2来替换表示，这样就可以得到面积S与参数M之间的关系式。由于该关系式中带有根号，解决起来并不方便，所以我们可以两边同时取平方并进行化简整理，得到8分之S方等于M加一的完全平方分之19减M方这个关系式。所以这时候想要求出X的最小值，只要把上述关系式的最小值求出就可以了。那除此之外，我们还可以结合前面已经给出的二级结论，结合前面二级结论中的第二个结论，代入本题中已知的K等于3和B得一茎化简整理可以得到K1加K2等于M加1分之6后，由第二问中的圈一这一小问可以得到K1乘K2应该等于2M加二分之M减1。所以我们可以把面积S的表达式中K1减K2的绝对值这一部分用根号下K1加K2和的完全平方减四倍的K1K2来表示，偶尔得到4分之X方也可以用参数M来表示。所以无论是八分之S方还是四分之X方都可以用变量M来表示。因此求面积的最小值问题就转化成了求八分之X方整体的最小值或者是去求四分之X方整体的最小值问题，也就是上述两个用M来表示的关系式的最小值问题。如何来求S的最小值，或者说如何来求上述关系式的最小值呢？我们以八分之S方为例，其中八分之S方有两种表达方式，一种是M加一的平方分之19减M方，另外一种是负一加上M加1分之2，再加上M加一的完全平方分之18。其中参数M属于B区间4分之1到3分之1。针对这两种不同的表达形式，我们可以采用不同的方法。其中第二个表达式我们可以把它看成以M加1分之1为主体的一个二次型的问题。所以我们可以采用等价换元法，将M加1分之1这个分式设成新变量T其中变量M属于4分之1到3分之1，所以这时候八分之S方可以用新变量T来表示，还有八分之S方等于18T方加2T再减1，其中新参数T属于B区间4分之3到5分之4。这时我们可以将右式18T方加2T减一拿出来，看成一个以变量T为自变量的函数，我们起名叫FT那么FT这个函数是一个开口向上的二次函数，其对称轴直线的方程是T等于-18分之1。所以结合图像的开口方向、对称轴及定义区间和对称轴的位置关系，可以判断出函数FT在B区间4分之3到5分之4上单调递增。所以当T等于4分之3时，函数FT会取得最小值8分之85，也就是八分之S方整体的最小值是8分之85，这样就可以求出S最小值是根号85。针对八分之S方的第二种表达形式，M加一的平方分之19减M方，我们可以采取另外一种方法，导数法。这里面我们将是I函数设成FX等于X加一的平方分之19减X方，其中X属于B区间4分之1到3分之1，我们可以利用公式求出FX的导数应该等于X加一的3次方分之负二倍的括号。X加19可以判断出当X属于给定区间时，函数FX的导数是恒小于零的。因此函数FX在B区间4分之1到3分之1上单调递减。所以X等于3分之1时，函数FX有最小值8分之85，也就是八分之S方的最小值是8分之85，那么三角形的面积S的最小值就是根号下85。无论上述哪种方法，都属于通行。通法五命制过程。中国高考评价体系中的考察要求是通过生活实践情境与学习探索情境两类来实现的正可谓无价值不入题，无思维不命题，无情境不成题。那么，怎样创设合适的情境与解析几何问题相结合呢？我们打开课本，深研教材，这是教材第115页的第七题，这是教科书第145页的第一题。于是，我们将目光望向太空，得到了试题一问的第一稿。第一稿当中有两幅图片，第二幅图片是飞行器的运行轨迹，这个轨迹容易联想到正弦函数，并且图片下方的数据非常杂乱，重点不突出。为此，我们进行了改进，得到了第二稿。第二稿经过研究发现实际问题数据后面应该加单位，与教科书的习题类似，只能求轨道方程与直线方程很难结合，考察的知识点单一，于是得到了试题的第三稿。第三稿的特征三角形来源于课本的思考，发现椭圆基本量之间的关系，从而构建方程相似椭椭圆考察的是对新定义的理解。课本的封面是中国的空间站，帮助同学树立中国梦、航天梦的伟大理想，实现教科书封面图的育人功能。试题第二问的第一小问第一稿直线AB是Y等于X加M这样已知斜率K等于一，减少运算量，通过K1K2等于1，我们求得M等于-3。这个值不满足该直线与椭圆方程联立求得的判别式范围。所以在此基础之上，我们进行了修改，得到了第二个。第二个来自于椭圆的二级结论试题第二问中的第二小问来自于教科书第145页的第七题，两者都是关于三角形的面积的问题。纵观整个试题的命制过程，我们用到了教科书的思考问题，用到了课本的习题，用到了复习参考题的第一题以及复习参考题的第七题。正可谓追本溯源研教材，通性通法宜先行。我们在一所市级重点中学高三年级随机选取了231名同学，限时25分钟进行了实测。我们按第一问三分，第二问五分、七分，满分15分设置了分值。实际检测结果，第一问均分2.97分，第二问分别为4.41分和2.95分，总体平均分10.33分。第一问，我们将太空空间站的运行轨迹设置为问题情境，与相似椭圆联系起来，将特征三角形与基本量ABC建立关系，考察了数学抽象核心素养。从学生答题情况看，学生对于基本概念和基本运算的掌握情况非常到位，对于新定义的理解也非常出色。在第二问中，第一小问同学从掌握的基本通法出发，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和K1乘K2等于一计算，算出参数M的值得出直线过定点的结论。当然也有部分同学对于含参的计算存在一定问题，出现了计算的错误。在第二小问中学生能够分析出三角形的面积问题等价于弦长问题。但是在列式当中不敢大胆的带入变量去表示直线的斜率来描述直线方程，数学计算能力也有待提高。总体来说表现为就是时间不够，运算不熟练，对解析式的处理方法有限。通过此次参加比赛，我们在情境设置、结构设计能力考察、对标高考以及课程思政方面有所体会。首先，情境设置我们从教科书封面出发，结合中国航天梦，使同学在审题过程感到陌生。在结构上，我们既有考察椭圆方程直线过定点3角面积最值问题，卡的相对比较全面，而且层次由易到难查，我们既考察了新定义的理解，又考察了数学思想以及我们相关的核心素养。对标高考我们要领悟通信，掌握通法，考察全面。在课程思政方面，我们通过试题能让学生了解到生活中处处有数学，激发学生的学习热情。总体来说，我们要深入研究高考试题，聚焦命题方向，注重能力利益的考察，注重通性通法的应用。扎根于教材，深挖每一道例题、习题，重视前沿探究与发现的内容和图表，研究解析几何二级结论，精准理解解析几何数与形的几关系。在编制试题的过程中，我们反复修改，将合适的情境融入解析几何题目中，进行学科思政教育，对试题进行实测分析，找出学生的薄弱环节，有效的指导我们的课堂教学之比赛只是平台思想的交流与碰撞，激发的思考涟漪，必将影响我们未来的教学实践，指导我们的教学。谢谢大家。