各位老师同学们。大家好。我们来自上海市晋元高级中学，我是陈艳娟，我是邵夏燕。接下来我们将分享两道我们命制的圆锥曲线的试题。目前有很多研究倡导从高观点或者是单元视角大概念来研究解析几何问题。因此，本次命题也希望从单元视角出发研究圆锥曲线的统一性，从一个主题的角度来设计问题，通过对一个主题的研究揭示知识之间的内在联系，这样的题目也有了更深的教育意义。这是本次的第一道原创题，首先给出了一个椭圆规的情境。第一小问要求点E的轨迹方程。第二小问给出过焦点的直线，给出一个定点M要求直线MA和直线MB斜率和为定值。第三小问求三条直线的斜率成等差数列。首先我们来看一下第一小问，我们需要从数学史的情境当中抽象出数学模型，识别出这是椭圆。利用椭圆定义得到伽马的轨迹方程，伽马的轨迹方程为二分之X方加Y方等于一。第二小问，过焦点的直线L与伽马交于AB2点，直线MA和MB的斜率分别记为K1K2，要求K1加K2为定值。首先我们可以通过特殊情况，L一垂直于X轴的时候，发现这个定值是0，从而将问题转化为求证K1加K2等于0。这里有两种思路，代数法或者是几何法。我们来看看代数的思路，当得到K1加K2等于零时好，我们首先将直线和椭圆联立。接下来把Y一和Y2利用L一的解析式，二元化语言，利用韦达定理得到K的式子。最终我们化简为零，得到K1加K2等于0。第二种是几何法，也就是将这里的K1加K2转化为证明角AMF2和角BMF2相等。在这里利用圆锥曲线的统一定义得到比例关系，从而证得直角三角形AAM和BBEM是相似的，从而得到角相等，得到K1加K2等于0，这是两种方法的思维导图。下面看第三小问过这里的定点M做一条直线L2垂直于X轴，在L2上任取一点N要求这里的三条蓝色线NANF2和NB的斜率成等差数列。首先我们要转化为证明KNA加KMB等于两倍的KNF2，然后用代数式分别表示这些斜率，得到相等关系。看一下具体的解答过程。首先分别求解KNF2等于T再求KNA加KNB等于一个式子。利用LE的方程二元化一元，利用韦达定理化简式子，从而得到两倍的KNF2等于KNA加KNB。因为在二元化一元的过程当中用到了L一的解析式，所以还要考虑一下L一斜率不存在的情况。下面看解法2。解法二是利用二中的结论，K1加K2等于0，把直线AM和直线BM的方程设出来，从而得到点A和点B的坐标，分别求出KNA、KNB和KNF2的表达式，化简KNA加KNB减去两倍的KNF2。利用二中已经得到的过程性结论，我们也可以得到这个式子等于0，从而证得结论。这两种方法都是代数法，它们的区别在于，第一种方法利用了L一的直线二元化语言。第二种方法利用了第二问当中的结论。在第二问的几何法当中，我们用到了数形结合的数学思想。再将斜率问题转化为求角，将求证等差数列转化为求证斜率之间的关系，运用了转化与化归的数学思想。对斜率是否存在的讨论运用了分类讨论的数学思想。摄影几何的发展给圆锥曲线的研究带来了方法上的创新。对投影变换而言，只有一种圆锥曲线，任何两种圆锥曲线都可以变换成一个圆，从而可以彼此互相转换。德萨格在试论锥面截一平面所得结果的初稿中将圆锥曲线直观定义为圆在平面上的投影，由此将圆的性质推广到任意类圆锥曲线上。利用圆的性质可以得到圆锥曲线的交比定理，在直角坐标平面内设P是不在二次曲线伽马上的一点直线，P是点P的极限，那么点P也就是直线P的极点，E是直线P上的任意一点，那么就有直线EAEBEP和直线P的斜率。有这样一种关系，如果将点P特殊化为X轴上的一点，这个时候极限P垂直于X轴，我们可以得到2倍的K3等于K1加K2。有的老师称之为等差定理，这也是我们这道题当中第三小问的来源。下面来看第一稿，第一稿从圆出发，因为圆是平面几何当中的基础图形，在逻辑上圆和圆锥曲线有着内在关联。以圆为认知工具，可以把直线、圆、圆锥曲线一线串起来。因此第一小问设计了一个消参法求轨迹方程，由圆生成双曲线。第二小问求几点坐标，第三小问证明双曲线当中的等差定理。但是考虑到一二小问难度还是过大，所以我们修改了第二稿，将第一小问改为求双曲线的方程。原来的第一小问改到了第二小问，但是在实际测试当中，我们发现消参法求轨迹方程对于学生来说难度还是过大了。并且这稿当中的第一小问也过于平淡，因此设计了第三稿。第一小问给出了一个创新情境，求椭圆的方程。第二小问给出极限上的一个特殊点，证明斜率和为零。第三问证明椭圆当中的等差定理。另外这稿当中还修改了一些表述不规范，表述有歧义的问题，最终得到了我们的这道原创题。我们这个题目当中的二三问解法相对还是比较常规，其中第二问是第三问的一种特殊情况，而第三问又是圆锥曲线交比定理的一种特殊情况。这道题从极限极点的角度设计问题，用适应几何的思想研究圆锥曲线，从投影变换的角度揭示圆锥曲线内在统一性，从高观点设计问题，让这道题有了很多辨识的可能。首先可以把等差定理拓展到一般的椭圆和双曲线，直线AB是过椭圆内的P点的一条直线。做它的一条极线，M是极线上的任意一点。那么我们有MAMPMB的斜率成等差数列。同样的在抛物线当中，P是抛物线内的一点，AB是过P点的直线，M是极限上的任意一点，有MA、MP和MB的斜率成等差数列。最一般的情况我们可以拓展到圆锥曲线当中的交比定理。关于极限和极点，有的老师还发现了一个等角定理，比如说这是圆锥曲线内的1点M点，P是极限与X轴的交点，过点P有一道直线，那么我们有MA和MB与X轴所成的角是相等的。在抛物线当中也有类似的等角定理，M是抛物线内的一点，P是M点的极限与X轴的交点。过P的一条直线交抛物线于AB2点。那我们有MA和MB与X轴所成的角是相等的。命题完成以后，我们在高二年级进行了统一测试。以下是极客系统给出来的数据。我们可以看到区分度还是不错的，难度的梯度也较好是一种比较理想的情况。其中第一问，学生存在的困难是不能从新的情境中抽象出数学问题，知识的迁移应用能力还比较弱。第二问，学生没有办法顺利地转化为求K1加K2等于0。第二点，在二元转一元时还存在着一些困难。另外也会忘记斜率不存在的情况。从即刻系统中的图片可以看到，高二学生在二元化一元当中还是有一些问题的。第三问，约有一半的同学没有思路，有的同学计算能力不够，在得到KNA加KMB的式子之后，没有办法顺利的化解这一问。也有不少同学漏掉考虑L一斜率不存在的情况。好了，第一题我们就分享到这里。以上是我们分享的两道试题的命制过程。命制一道好题需要反复打磨多次检测语言格式是否规范，试题理解是否有歧义，试题难度是否适应我们的学生等等，都是需要考量的因素。教师的命题能力体现了教师对知识的理解水平，对知识有更高层次的理解，也会让教师更好的驾驭课堂。教师对试题的理解不能仅仅停留在解题层面，命题的过程可以让老师从出题者的角度看，一道题为老师看待问题提供了一个新的视角，编制试题也给老师多角度讲评试题提供了思路，从而促进学生更深层次的理解，也能够让学生从多个角度讲一个数学问题。本次命制的两道题都尝试了将数学史融入数学试题中。在命制试题的过程中，我们对相关数学史进行了研究，结合数学问题提出的策略，对数学史料进行加工，最终编制成适合学生解答的试题。以上就是我们本次的参赛体会，谢谢聆听。