接下来由我分享第二题的命制过程。这是一道圆锥曲线的改编题，设计为双控的形式。该试题来源于上海市2014年中考卷第24题。在该题中是平面与圆锥侧面的交线为抛物线的一部分，求该抛物线的交点到圆锥顶点的距离。我们改编的试题如下，古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了三种圆锥曲线。其中的一种如图所示，用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥，得到双曲线的一部分。已知高PO等于2，底面圆的半径为四，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF垂直于AB则截得双曲线的实轴长为双曲线，两渐近线夹角的余弦值为第一空。解题思路为求得双曲线的实轴长，有十轴的定义，我们需要确定双曲线的顶点。据此我们在截面处将立体图形平面化，确定顶点M和M1撇的位置，从而求得双曲线的实轴长。其思维导图如下，首先在经过M点并与AB垂直的平面内建立平面直角坐标系，将空间问题平面化。接下来在这个平面内确定双曲线的两顶点M和M1撇的位置，从而求得十周长MM1撇的长度。第二空解题思路为求得双曲线两渐近线夹角的余弦值，我们需要确定两渐进线所在的直线方程，所以我们通过特殊点确定双曲线方程。其思维导图如下，首先在经过M点并与AB垂直的平面内，利用E点和F点坐标确定双曲线方程。接下来利用双曲线方程求出其渐进线方程，然后借助tangent a西塔等于K1减K2除以1加K1乘K2的绝对值，或cosine西塔等于向量N1乘以向量N2除以向量N一的模乘以向量N2的模的绝对值这两个夹角公式，求出渐近线夹角的正切或余弦，从而求得两渐近线夹角的余弦值。该试题需要将立体问题平面化以及几何问题代数化，渗透了转化与化归方程思想、数形结合等数学思想，落实了逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养。具体解题过程如下，一、建立如图所示的平面平平面直角坐标系，借助PO的长度求得KM的长度为一，从而得到双曲线的实轴长为22。解法一，设双曲线的标准方程为Y方除以A方减去X方除以B方等于一，然后利用F点的坐标以及实轴的长度，借助待定系数法求得双曲线方程为Y方减去四分之X方等于一，得到其渐近线方程为Y等于正-2分之1X从而求得两渐近线的法向量。利用两渐近线夹角的余弦值公式求得其值为5分之3。解法二，根据刚才所求得的渐进性方程，可以确定其斜率分别为2分之1或-2分之1。利用夹角的正切值公式求得正切值为3分之4，再由夹角的范围转化为其余弦值为5分之3。该试题的初稿如下。本试题在高三学生中测试，第一次学生的主要困难在于如何将空间问题有效准确的转化为平面问题，其分值五分，区分度0.45，难度0.3，六年级均分1.8。根据测得的数据，我们对初稿进行修改，修改思路如下，一、加入数学史的内容，交代了题目设计的背景，传播了数学文化，也可以激发学生的学习兴趣。2、通过修改为双控题，将学生思维过程化，体现问题设计的层次性。3、将所求夹角的正切值修改为余弦值，与新教材夹角公式只有余弦的形式相呼应。修改完成后，我们在高二的期中考试当中正式使用，分值五分，区分度0.97，难度0.2。六年级均分1.32。通过卷面分析及学生访问学生存在的困难，整理如下，一、无法顺利将空间问题平面化。二无法正确写出M点坐标。三渐进线方程求错。四夹角公式错误。五夹角范围不清。该题辨识链接一。此题将平面与圆锥曲线的截面完整化，涉及到了圆、椭圆、双曲线及抛物线。选项中涉及到圆的面积、椭圆的长轴、双曲线两见证线夹角的正切值，抛物线中焦点到准线的距离。通过这个链接可以使学生更加全面的理解平面与圆锥曲线截面的形状。辨识链接2，这是一道原创题，一对对顶圆锥中各有一球与圆锥内表面相切。现用一不平行于母线，且不经过顶点的平面去截圆锥，且平面与两球分别相切于点F和F1撇。点P是捷德曲线上的一点，求证点P的轨迹是以F和F1撇为焦点的双曲线。该题来源于但德林双球模型，在空间想象力和逻辑推理上都要求更高。但德林双球模型不仅直观展示了用平面截取圆锥所得截线的圆锥曲线的定义，更重要的是实现了这一原始定义下到两个定点距离之和为定值的平面轨迹定义的自然过渡。他将三维空间问题转化为二维平面问题，对同学们进一步深入学习解析几何的后续内容有很大的促进作用。以上是我分享的第二题的编制过程。