各位老师、同学们，大家好，我是来自山东省胶州市第三中学的胡晓杰。接下来我带来的是上海卷第21题的解题分析。首先来看题目，本题是一道以数列为背景的综合性题目，实际考察的是导数的应用，这也是这道题命题的创新点所在。本题考察了数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，运用了函数方程化归等数学思想方法。本题是上海卷的压轴题，对学生的思维能力有较高的要求。本题的难点在于透过现象看本质，对于学生来说，这些多种知识结合的题目难在知识的融合使用上，理解题意转化问题是较为困难的部分。接下来我们一起来分析如何转化问题，发现本质。第一问，若正整数M大于等于2，证明AM等于log，AM减一再减1。要证AM和AM减一的递推关系，自然要从题干当中给出的数列的递推方式入手。不难发现，这种地推方式与牛顿法类似，过曲线上的一点作曲线的切线与Y轴相交，交点的纵坐标即为AN因此要得到AM和AM减一之间的递推关系，就要写出曲线的切线方程。作为本题的本质，实际在考察函数的切线方程，低温的详解如下，不多做解释。第二问，若正整数M大于等于二是比较AM与AM减一再减二的大小。提到比较大小自然会想到做差法。那么本题可以从判断AM减AM减一再减二的差的正负入手，结合第一问的结论进行消元，将问题转化为判断log AM减1减AM减一再加一的正负。观察这个式子的结构，容易联想到ln x小于等于X减一这个常用不等式，要证明这个不等式成立，可以构造函数证明GX等于ln x减X加一小于等于0。通过分析，第二问的题干是要比较大小，最终我们把问题转化为了证明函数小于等于0，也就是本题实际考查的是用导数来证明不等式。题目的详解如下，当M大于等于20，AM减一大于0，令X等于AM减1，可构造新函数GX等于ln x减X加一对JX进行求导，判断单调性。当X大于0小于一时导数为正，GX单调递增。当X大于一时导数为负，GX单调递减。所以GX的最大值在X等于一处，取到G一等于0，所以GX小于等于零恒成立，也就是AM小于等于AM减1再减2。第三问是整道题当中思维含量最高的题目，也是数列与导数结合最密切的题目。第三问的设问也不像寻长的题目，那么这样的题目如何形成解题思路呢？我们可以从题干入手，结合已知结论，从概念出发来寻找它的本质。若正整数K大于等于3，是否存在K使得A1A2一直到AK依次成等差数列？若存在，求出K的所有取值。若不存在，试说明理由。问题当中的关键点在于等差数列，同时问K的取值实际上就在问等差数列的项数。所以从等差数列出发，首先想到的就是项数的问题。我们知道至少三项才能形成等差数列，也就是如果存在KK必然大于等于3。因此我可以先尝试验证K等于3，尝试发现规律。同等差数列数列出发，可以再想到的就是它的性质。性质又分两个，一个是公差，一个是等差中项。也就是我在验证K等于三这个规律的时候，A1、A2、A三是要满足公差和等差中项这样两条性质的。第一个思路是从公差入手，列出以下的方程。公差D等于A2减A1，等于ln a1减A1减1。一直列到公差D等于AK减AK减1，等于ln AK减1减AK减一再减1。观察这些式子不难发现，AK减一是方程D等于ln x减X减一的根。那么方程的根的问题，我们通常可以转化为对应函数零点的问题。也就是AK减一是函数HX等于ln x减X减一减D的零点，在这里是函数方程思想的一个体现。题目题干问的是数列的项数，我们最终将这一问题转化为零点的个数，问题在这里体现了化归的思想。那么要求函数零点的个数这种解题思路一般来说结合函数的单调性，应用函数零点存在性定理，使函数出现异号函数值。难点在于找到能出现一号函数值的点，那么观察到函数Y等于ln x减X减一与第二问中的JX单调性相同，因此可以做出Y等于ln x减X减一的图像。通过观察图像可以发现函数HX至多有2个0点，也就是对应的方程D等于ln x减X减一至多有两个根。在至多有两个根的情况下，这两根只能是A1A2，也就是K只能等于3。所以说明K大于等于四时一定不成立，只需要验证K等于三的情况。通过以上的分析，这样有第一个解法，列举K的值。首先证明K大于等于四不成立，再验证K等于30HX有2个0点，也就是K等于30成立。方法一，列举式解题。假设存在K符合题意，即A1A2一直到AK依次成等差数列。设公差为D当K大于等于四时，公差D小于等于-2，此时D等于AK减AK减1一直等于A3减A2等于A2减A1小于等于-2。结合第一问当中AM等于log AM减一再减1，所以log AK减1比上AK减2一直等于ln a2比A一等于ln a1减1减A1，ln a1减1减A一是一个常数，也就是AK减1比AK减二是一个常数。这说明AK是一个等比数列。AK既是等比又是等差数列，说明AK是一个常数列，而常数列显然与第二问的结论AM小于等于AM减一再减二是矛盾的。因此先用反证法来说明K大于等于四不成立。接下来要验证K等于三时成立，K等于三时，A1、A2、A3为等差数列。设公差为D所以D等于A3减A二等于A2，减A1小于等于-2。当D等于-2的时候，A一等于一，A二等于负一，此时不存在A3，所以公差D一定是小于负二的。只需要证明A2减A一等于DA3减A二等于D也就是log a1减1减A一等于d log a2减1减A二等于D也就是函数HX等于log x减X减1减D对于任意的D小于-2。有2个0点。刚刚我们说证明函数零点的思路是结合函数的单调性与函数零点存在性定理。HX与GX的单调性是相同的。由第二问已知GX单调性，因此HX在0到1上单调递增，一到正无穷上单调递减。所以HX小于等于H一等于-2减D因为D小于-2，所以H一等于-2减D是大于零的。通过前面对函数图像的分析，如果HX有2个0点，这2个0点一定分别在0到1和1到正无穷这两个区间上。因此在确定了H一大于零的情况下，接下来我要在0到1和1到正无穷之间各找一个负函数值。那么在这里找到了HE的D次方小于0和H-2D大于0，其中H-2D等于ln-2D加D减1。在这里进行换元令，T等于-2D大于4斐T就等于ln t减二分之T再减一对斐T进行求导，能够判断出斐T是一个单调递减的函数。所以斐T小于斐四小于0，所以得到了H-2T是小于零的。那么通过一号函数值证明了HX等于ln x减X减1减D对任意的D小于负二都存在2个0点，X1X2，并且可写出它们的范围。所以K等于三是成立的，能够证明HX存在这2个0点，寻找一号函数值是至关重要的。接下来给出如何寻找这样的函数值。首先来看函数的形式，HX等于ln x减X减一减D这个函数当中有对数的部分。那么在0到1上去寻找函数值的时候，可以取E的D次方，D是小于负二的，E的D次方大于0小于一，并且可以消除HX中的对数部分，也能够判断HE的D次方的正负。要在一到正无穷上找一负的函数值时，可以借助负D大于二这一范围来尝试找点。这两个函数值的寻找主要依靠观察式子的结构来尝试找点。刚刚的解法是先证K大于等于40不成立，再证K等于30成立。第二种方法是渐进式分析，在假设K存在的情况下，先来证K等于30成立。在解法一当中我们已经证明了K等于30是成立的。观察到HX的2个0点，一个属于0到1，一个属于一到正琼可以推测出A3是小于零的。根据题意A3小于零时，AN停止了递推，从而得到了K只能为3。解法二，假设存在K符合题意，设公差为D当K等于三时，要验证HX有2个0点与法医的证明过程相同。HX等于ln x减X减1减D对于任意的D小于负二是存在2个0点，A1A2的，且A二属于0到1，A一属于一到正无穷。由第二问知道AM小于等于AM减1减2，所以A3小于等于A2减2小于0。由题目知道A3小于零时数列停止递推，所以K的取值只能为三法一和法二都是在明确K的取值的情况下进行验证的。那么解法三是从整体上进行分析，D等于负二时，我们已经验证出不符合题意。那么D小于-20，HX应该有K减一个零点，因此问题转化为求HX0点的个数，把三整体分析式解题，假设存在K符合题意，设公差为DD等于-20不成立，证明过程与法医相同。D等于AK减AK减一等于ln AK减1减AK减一再减1，那么A1A2一直到AK减一都是方程ln x减X减1减D等于零的解。所以函数HX有K减一个零点，接下来的问题就是求HX0点的个数。求HX0点个数，与法医的过程也是相同的。HX有2个0点，所以K只能为3。以上三种做法是基于公差这一性质入手。第二个思路就是从等差中项入手，列出以下式子，A1加A3等于2倍的A2，一直到AK加AK减2，等于两倍的AK减1。观察这些式子，结合第一问的结论得到AK减一是方程一的AK减一再加1次方加ln AK减1减1等于两倍的AK减一的根。同样的，根据函数方程的思想，我们把它转化成了对应函数零点的问题。虽然入手的角度不同，但题干当中数列的项数问题依然把它转化成了求函数零点个数的问题。不管是哪一个思路，都用到了函数方程的思想与化归的思想。那么求函数零点个数的解题思路与前面的解题思路是一致的，从而有解法四消元来构造函数零点假设存在K符合题意，即A1A2一直到AK依次成等差数列，所以AK加AK减二等于2倍的AK减1。因为AK等于ln AK减1减1，AK减一等于ln AK减2减1，因此AK减一是方程E的X加1次方加ln x减一等于2X的解，也就是函数FX等于E的X加1次方加ln x减1减2X的零点对函数FX进行求导，导数是E的X加1次方加X分之1减2，当X大于零的时候，E的X加1次方大于E也就是FX的导数大于一减二是大于零的。所以FX导数在零到正无穷上恒大于0，也就是FX在零到正无穷上单调递增，那么又有FE的10次方分之一小于0，F1大于0，所以FX在E的10次方分之1到1上存在唯10点X等于AK减1，也就是FX在零到正无穷上存在唯10点X等于AK减1，而AK等于ln AK减一再减1，AK减二等于E的，AK减一再加一。也就是说按从大到小的顺序，只有一组数，AK减2，AK减1，AK满足AK加AK减2，等于两倍的AK减1，也就是等差中项。所以等差数列只有三项，A1、A2、A3，所以K等于3。本题的关键就是在找到一号的函数值，证明了FX有唯一的零点。对于这个函数寻找F1是自然的，F1等于一的平方减三大于0。又因为函数是单调递增的，所以如果存在零点，零点一定位于0到1之间，要在0到1上找一点，使FT小于0，且FX同时包含指数和对数的结构，可以取T等于E的A次方，A小于0。这样E的A次方属于0到1，可以消去对数的结构。所以FE的A次方小于E的平方加A减1小于0，方便计算，可以取A小于等于负七的整数，即T小于等于E的负7次方即可。这种找点的方法运用了不等式放缩找点1。2023年上海卷的21题为接下来的教学提供了建议和方向，首先要培养学生知识迁移的能力。第二就是要重视基础知识和解题能力。早在2010年江苏高考当中就出现过类似的题目，同样也是写出切线，得到数列之间的递推关系。最后在这里提供两道练习题，第一个是2015年江苏卷20题，其中第二问和第三问可以将数列问题转化为方程有解或函数有零点的问题。第二题为一道原创命题，其中第三问可以通过放缩证明不等式，其中第三问可以将数列的问题转化为通过放缩来证明不等式。以上是我的解题分析，谢谢大家。