各位评委老师、同学们，大家好。我是来自山东省胶州市第一中学的李丹。今天我分析的题目是全国乙卷第21题，话不多说，来看试题。本题以函数导数为背景，考察了函数在某点处的切线方程，利用函数的对称性求参数取值，利用函数的极值点求参数的取值范围，考察了同学们数形结合、函数与方程、转化与化归分类讨论的思想方法，以及数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养。下面来看学情分析21题，综合性较强。第一二问是长链题型，多数同学能轻松应对。第三问，思维灵活的同学通过观察导数式会考虑对数单身来处理式子，部分学生也会直接求导讨论。首先讨论的标准对部分同学来说是一个难点，其次后期利用零点存在定理时如何取点是一个更大的难点。我们来看具体题目，第一问考察了导数的运算及几何意义，不做赘述。来看第二问，利用函数的对称性求参数取值，考察了同学们函数与方程的思想以及抽象、概括、分析和解决问题的能力。解题的关键在于将题干信息翻译成数学语言。我们来看令FX分之一等于landa x函数关于直线X等于B对称，马上想到其定义域也关于直线X等于B对称。其次函数向左平移B个单位长度后，得到londa x加B为偶函数，即使不做平移，兰达X也具有landa x等于lda 2B减X的性质。有了思路我们来看具体解题过程。首先求得lda x的定义为负穷到负一并上零到正穷，其定义域关于直线X等于B对称得到B等于-2分之1。找两个关于-2分之1对称的数值带入到Linda x中，解得A等于2分之1，将A和B代入到函数中，检验其对称性即可。来看思路2，londa x加B为偶函数，令其为缪X求得其定义域。因为定义域关于原点对称可得B等于-2分之1，又有其对称性，缪X等于缪负X对于相等可得A等于2分之1，求得AB的数值。再来看思路，3 londa x等于lada 2B减X代入到方程中，比较对数等式中的系数和帧数，可以得到如下等式，对应相等可得B等于-2分之1，A等于2分之1，求得AB数值。来回顾三条思路，思路一和思路二利用了定义域，指向了本题的数学本质函数问题优先考虑定义。本题考察了同学们数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养。来看第三问，导函数有零点求参数范围，将导函数求出后，观察导函数，发现分母恒大于零问题，即转化成分子在零到正琼内有编号零点求A的取值范围。本题考察了同学们转化与化归数形结合分类讨论的思想方法。那我们可以从哪些方面来解决这个问题呢？首先观察式子，为了求导不超越化，很多同学采用对数单身来处理，也可以直接对式子进行讨论。当然函数的零点问题往往可以转化成两个函数图像的交点问题，也可以考虑利用餐便分离。有了思路，我们来看具体解题过程。思路一，对数单身将函数中的X加一提出后，令HX等于X加一分之AX方加X减去ln x加一为讨论其单调性，讨论导函数的正负，发现导函数的分母恒大于0，分子中的X平方X恒大于0，我们考虑其最简单的情况，即导函数恒大于0或恒小于0，即让A与2A减1同时大于零或小于0，得到A小于等于零时，导函数小于0，HX无极值。A大于等于2分之1时，导函数大于0，HX也无极值。经过讨论，将A的范围缩小至0到2分之1。根据二次函数的单调性，HX在零到A分之1减2上单调递减，在A分之1减2到正无穷上单调递增。又注意到H零等于0，HX在零到A分之1减2上单调递减，所以HA分之1减2小于0。我们要利用零点存在定理证明HX在零到中穷内有编号，零点就需要在A分之1减2到中穷内找到1点X0，使得HX0大于0。观察式子，发现式子结构过于复杂。我们可以利用取点策略，一，利用部分有界取最值或极限值，对式子进行放缩，使其化简到最简形式。因为A大于0小于2分之1，所以HX大于AX减去ln NX加1。我只需要找1点X0，使得这个式子恒大于零即可。我们来看一下具体算法，预找X0大于A分之1减2，使得AX0减去ln 1加X0大于0。同学们马上会想到根据给我的值，我们可以去找A分之一、A方分之一，A的3次方分之一。当然为了使结构更加简单，我们探究A分之1减1，A方分之一减一等等，将其带入式子中，代入A分之1减1，得到一减A加上洛NA它是恒小于零的。代入A方分之1减1，得到A分之一减A减两倍的ln a分之一它是恒大于零的吗？如果说熟悉对手放松的同学可以发现，它实际上是对数对飘带函数的放缩不熟悉也没有关系。我们来证明一下令T等于A分之一，因为A大于0小于2分之1，所以T大于2，构造函数HT证明HT大于0。在T大于二时恒成立对基金求导，求单调性，找特殊值，发现T大于20，HT恒大于0。好，我们来看一下具体过程，以证明HT在T大于二时恒大于0。所以代入HA方分之1减1，得到A分之一减A减两倍的ln a分之一恒大于零即可存在一个阿尔法属于A分之一减2到A方分之1减1，使得H阿尔法等于0，证明了FX在零到正无穷上存在几小时。右侧是我们具体的解题思路。这一算法用到了取点策略。2、取特殊值。当然也要具体问题具体分析。我们来看一下算法2，阈值预取X0，使得AX0减去ln 1加X0大于0。很多同学想到了对ln 1加X放缩，马上想到ln 1加X小于等于X代入后发现AX减去ln 1加X大于A减一的差乘X因为A减一小于0，所以无论X在零到正无穷内取何值此值都小于0，没有办法找到。究其原因发现ln 1加X与X在X趋向于无穷时差距越来越大。我们可不可以找一个函数更能贴近于ln 1加X的走向呢？同学们马上会想到根号X我们来探究ln 1加X小于M倍的根号X能否找到一个M值使得不等式成立呢？构造函数发现M等于一时，ln 1加X小于根号X找到了放松的函数。我们带入式子中HX大于AX减去根号X我们令放缩后的式子为零，可以得到X等于A方分之一，可以得到HA方分之一大于0，所以存在阿尔法属于A分之一减2到A方分之一，使得H阿尔法等于0，即用零点存在性定理证明了FX存在极小值。这里面用到了取点策略三放缩取点可以利用切线放缩，也可以利用曲线放缩，还是要具体题目具体分析。再来看算法3，很多同学并未取得合适的点，于是采用了X趋向于正无穷，HX大于零则存在阿尔法，属于A分之一减2到正无穷，使得H阿尔法等于零也能证明FX存在极小值。但由于高考中并未对极限的使用范围做出明确的规定，所以不建议大家使用算法3，下面来看思路2，令HX等于AX方加X减去X加一的和乘ln x加一对祈求导我们发现当A小于等于零时，导函数很小于0，HX无极值。下面我们对导函数中的ln NX加一进行放缩，发现导函数X恒大于等于2，A减一的差乘X所以当A大于等于2分之1时，导函数恒大于0，HX也无极值。我们将A的范围缩小至了零到2分之1，对函数进行二次求导，得到导函数在0到2A分之一减一上单调递减，在2A分之一减1到中穷上单调递增。通过观察发现零处的导函数值为零，则2A分之一减一处的导函数值小于0。要想HX不单调，必然要在2A分之一减一到中穷上找一点，使得其导函数值大于0。找点的方式与前面法一中的算法一致，不再赘述。可以找到H导函数A方分之一减一恒大于0，所以存在阿尔法属于2A分之一减一到A方分之1减1，使得A阿尔法处的导函数值等于0。所以HX在零到阿尔法上单调递减，在阿尔法到正无穷上单调递增。我们注意到H零等于0，则H阿尔法小于0。我们需要在阿尔法到正无穷上找一点，使得这一点处的函数值大于0。我们对HX进行简化，利用的还是我们的放松策略，一A的有界性得到HX大于X加一的和乘AX减去ln NX加1。因为X大于0，所以我们直接考虑式子的后半部分，令GX等于AX减去ln x加1。大家发现了吗？JX与法一中我们放缩的式子是相同的，所以后面的算法123与法一相同，我不再赘述。再来看思路，三参变分离函数的零点问题可以转化成直线与另一图像的交点问题，所以求A的取值范围，即求GX在零到正无穷上的值域。我们来看具体解题过程。首先参变分离，令GX等于X平方分之X加一乘上ln x加一减X对GX进行求导，讨论其单调性，发现它在零到中穷上单调递减，但GX取不到G0。利用导函数的定义得到X趋向于零时，GX趋向于2分之1。再利用极限X趋向于正无穷，GX趋向于0，可以求得GX值域为零到2分之1，从而得到A的取值范围。该解法绕开了洛必达法则，利用导数定义求得GX在零处的极限值，比较巧妙，不易想到。我们来看三种解法，思路一和思路二基本一致，通过一定标准对A进行讨论，缩小A的范围，利用零点存在定理说明零点情况。不同的是思路一利用对数单身简化了式子结构，减少了讨论。思路三参变分离减少了参数对式子的影响，但利用到了极限值，不建议使用。在做题过程中，算法一和算法二还给我们提供了两个不等关系。第三问考察了同学们数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养，利用极值点和零点求参数的取值范围在课本和历年高考中都有出现。下面给同学们提供两道真题及我改编的两道题以做练习。近几年函数值点存在性问题是高考考查的热点，本质即为导函数编号零点存在性问题，其中取点是一难点，在解法中给出了三种取点策略。为此，平时学习中，我们要用直观的眼光观察世界，学会数形结合，用逻辑的思维分析世界，学会转化与划归，用抽象的语言描述世界，能够将文字语言和图形语言转化成数学语言。当然，在做题过程中，我们更要知其然，知其所以然。以上就是我所有的解题过程，感谢大家的聆听。