大家好，我是来自中山市的陈勇。今天我们小组要讲的是2023年新高考二卷第21题。我们先来看题目，题目告诉我们双曲线C的左焦点以及离线率。第一问让我们求方程，那题目比较简单，我们直接得出双曲线的方程。第二问TC的左右顶点分别为A1A2，过点P-4 0的直线跟C的左右两支交于MN2点，直线MA1跟A2相交于点P证明点P在定直线上。那么画出双曲线的草图，这里我们采用从特殊到一般的思想。当TMN这条直线与X轴重合的时候，P点是落在X轴上的，它的纵坐标为零。能不能发现当P在运动的过程中，它的纵坐标在变化。所以我们猜测P点的横坐标应该是一个定值。这道题辩论有以下两个思路，思路一是直接求解年龄，实现MN跟双曲线方程之后，利用韦达关系去求焦点坐标，或者利用双曲线参数方程求交点坐标，思路二是利用斜率关系求解，分别测出MA1跟NA2的直线方程解出P点的坐标。观察P点坐标，我们发现P点它的横坐标是一个其次式。如果K1和K2存在某种比例关系，比如说K一等于2倍K2，那代入之后我们发现P点的横坐标是一个定值，所以它就在定值线上。我们先来看思路仪，主要有以下几种解法，设出MN直线方程，联立双曲线跟直线之后，利用伟达电影节线解法二跟解法一类似，这里利用了平方关系去求交点坐标。解法三通过反射直线S等于MY减4，过程跟解法一一致。解法是啊设出MN2点的参数方程，利用TMN3点共线以及和他画题公式求交点坐标。我们先来看解法一，测出MN2点坐标，以及MN的直线方程，联立双曲线我得到伟大关系。这里利用MN2点的坐标，横坐标是一正一负，结束AK的取值范围，再联立NA1跟NA2 2条直线我们这里把Y给消掉，去证明S是一个定值，对它进行变形。算到这一步之后，我们可以把S1加S2，S1S2的韦达定理给它代入进去。我们发现这里是一个不对称的维达关系，是不能直接把这个韦达定理代入的。所以我们转化把S2转化成S1，利用两根之和的一个伟达关系，八点最后解出这个X是等于负一的，所以P的定值线S等于负一上，解法一的运算量是比较大的，难点在于处理中间这个不对称的维达关系利用两个之和的一个韦达定理求解。解法二跟解法一类似一开始的过程都是一样的算到这一步之后，利用平方关系去求解，对这个式子进行平方，然后利用Y1跟Y2都在双曲线上对它带入。算到这里之后，它是一个对称的维达关系，所以我们直接代入韦达定理就可以了。要开发，你结合S1S2的范围，这个是只是一个负数所以开方之后做一个负-3分之1，最后解出交点坐标，那解法二的运算量比解法一要小一些。我们再看看解法三，通过反射直线，过程跟解法一是一致的，算到这一步之后，还是利用一个维达关系，两根之和的维达关系去求解。而解法三还可以利用Y加Y2比上Y1Y2来求解，在后面的解法会有介绍。解法四我们先来证明和差化积公式，对两个式子进行展开，然后相加减就得到了我们的和差化积公式。解法是我们先设出M两点的双曲线的参数方程，然后利用PMN3点共线，得到了这一个关系对它进行变形。对，这个式子又是代入这个和差化积公式手势展开，利用二倍角公式，这样就得到了我们的关系是一。那接下来分别是出MAE跟ML的直线方程，联立交去Y这里对左右两次利用这个核桃话题公式再代入公式一变形这个40左右两边是互为相反数的，所以我们求出S等于负一，这一种解法运算量是比较大的，如果对三角恒等变换不熟悉的话，不推荐这种解法。思路二，利用两条直线的绝对关系求解。解法五，分别设出MA1跟NA2的直线方程，分别联立双曲线求出MN2点的坐标，利用PMN3点共线去求两个绝对关系。写法6射出反射直线，S等于MY减2加2，这跟解法五是一致的。解法七只用联力一遍利用这个比值关系求解，也把八定比点差法，利用MT等于landa PN引入参数landy到MN2点的一个坐标关系，再去求两直线的斜率关系。别法九合理净值利用PMN3点共线平方关系以及双曲线的方程和比出两直线的斜率关系。解法十利用检查法以及和比定理和比出两直线的斜率关系。解法一形式化解法，利用双曲线的第三定义以及手电筒模型，它的斜率之积是一个定值求解。解法十二，分别做出四条直线的方程，也和双曲线方程求解斜率关系。我来看解法五先设出LMA1的直线方程，联立双曲线就是M点的坐标。好，接下来我们可以求MT的斜率，再去求NP的斜率，利用三点共线，这样就得到K1和K2的1个关系就化简得到K一等于负三倍K2，所以两条直线都可以用K2来表示，最后求解P点的坐标，这种解法运算量是比较大的。我们再来看解法六，跟解法五类似，通过反射实现。求出M1M2的一个关系。解法。七解法七就连立一遍就可以了，直接设出MN的直线方程，然后对两个学历进行做除法，得到一个非对称的一个。伟达关系。这里写出韦达定理之后，我们对它进行除法收比，得到Y1Y2与Y1加Y2的1个关系这里就可以把它带入进去那个式子，把Y1Y2转化成Y1加Y2继续求解，最后求出两个竭力的关系，求出交点坐标。那种解法的运算量是比较小的。了解法八定比检查法，设MT等于300倍TN变形整理得到一二两组关系接下来利用点差法给N点的坐标，前面乘上一个系数拉姆达的平方，我得到一这样一个关系，可以把124给它带入进去整理得到第三个式子。那么通过123，我们就找到了S1S2与兰达之间的一个关系，那我们可以把M点或者N点，比如说把N点S2全部转化成了，再把兰达转化成S1，就把第二条直线转化成第一条直线的斜率了，我们来看这个过程，乘上下乘以一个number的，接下来把Y2S2转化成Y一跟拉姆达，再把拉达转化成S1，也就转化成第一条直线的斜率了，最后提出交点坐标。那通过引入系数兰法求解点差法可以看成成特定比点差法在拉姆达等于一的时候的特殊情形，让大等于一的时候是终点和比净值下一种解法之前，我们先来看这么一个净值，如果存在A比B等于C比D，那么保证这个式子有意义的条件下，这个是恒成立的。在高中里面我们用的比较多，在正弦定理里面使用。那这个公式。是比较简单的。我们这里不证明了，先利用三点共线得到Y一与Y2的比值关系，然后对它进行平方。以及利用。平方关系，两点都在双曲线上面，接下来我们可以合并这两个式子这个题比较简单，有些题目我们要利用这个待定系数法去荷比的，这里直接合并就可以了。因为Y1Y2是一个正数S1S21-1正，所以我们前面给它添上一个负号，使它为正数。接下来荷比一二这两个式子，我们朝着目标，这个A1A2是正负二的，所以我们把它配置成分母是加减二的形式这样一荷比左边就是一个MA一的斜率，右四是NA2的斜率所以两个直线的斜率关系也就出来了，那合理性值的运算量是比较小的。解法下一种解法也是合比性质，以及利用了这个绝对公式证明过程比较简单，利用学历相等就可以证明出来了。那通过三点贡献，我们得到了这么一组结局公式接下来利用MAE2点的一个点差法相减变形，狮子的右边是MAE的一个斜率，所以我们就得到了MA一的。一个斜率关系。同样的道理得到MA2的斜率，两个式子做除法，得到了B组关系。我们再次利用MAENA2原始的斜率公式，得到第二组这个关系通过合比性质把两个公司合并之后，再带入这个公式一直接合并出来，然后带入我们刚才的绝对公式就荷比出来两个斜率的一个关系它的运算量也是比较小的，那个人是比较推崇这种可比性值，他在解决一些定点定值的问题时候是非常方便的。解法一，利用11，利用第三定义A1A2 2点是关于原点对称的，所以A1A2M它的斜率相乘是一个定值，这里我们利用了一个隐藏的二级结论，这个MN是做定点的低了，所以MA2MA2它的实力之积是一个定值，这里我们先除以这个双曲线，平移之后A2就是双曲线C的原点了，平移之后MN还是不过这个A二点的，所以设为这一条直线方程，对它几次化联谊变形，A2M乘以AN的一个斜率之积，我们就得出来了啊啊因为MN平移之后，它是过定点这个-60的啊啊，这里容易出错。这个横坐标也跟着平移了，把它带入进去就得到A2M跟A2N的一个斜率关系。平前后斜率是不变的那再结合刚才的一个第三定义，我们就可以求出两组直线的斜率关系了。这个求出交点坐标，这里利用了一个手电筒模型过双曲线上一点点P做两条动直线，如果两条直线的斜率之积或者斜率之和是一个定值的话，那么直线M是过定点的。如果斜率之和为零的话，那么M的斜率为定值。那么这个结论在高考题里面经常考到，比如说17年的全国一卷以及2021年的新高考一建，这两道圆锥曲线题都考察了。解法十二是利用曲线系方程分别设出MA1NA2MN以及A1A24条直线方程，然后设出曲线的方程，在MN里面A1A2曲线前面给它承担一个系数，难打对它进行变形。因为这四条直线它的一个曲线系方程，这四个点的坐标都在双曲线上，那我们可以跟双曲线C进行比较，那这个点都在这四条直线上面，所以它这一个系数应该是为零的。解这一个方程我们就求解出来K1和K2的1个关系式了。解法所有的运算量是最小的，但是会有扣分的风险，要了解每一个审核的这个扣分评分标准是否会扣分。接下来我们对这道试题的背景进行探究。AB分别是双曲线的左右顶点，过QT0，与S轴不重合的直线与双曲线交于CD2点，如图，那么AC跟BD的斜率之比是一个定值，实现AC跟B的B的交点在定值变化，证明过程使用这个不对称的维达关系就可以了。在椭圆里面也是有这么一个结论椭圆的值跟双曲线的值是一样的，没有变化。在抛物线里面过QP0的直线与抛物线交于AB2点OA跟过B点在平行于X轴的直线L2交于点P，那么点P的定直线S等于负P上，证明过程也比较简单。直接证明。就可以了。最后它的一个命题背景是几点极限，这里我们介绍几点极限的几何意义。如果P是双曲线的极点的话，那个曲线就是L，当P在双曲线上时，L就是双曲线的切线。当P在双曲线以外时，L跟双曲线相交，而且是P点向双曲线所引切线的切点弦所在的直线。当P在双曲线内时，直线L与双曲线一相邻，曲线L为经过点P的弦，在两个端点处各自索引切线交点的轨迹，体现L以P为终点的咸平行，那我们简单证明第三个，分别设这个P点的直线跟双曲线的交点是AB那么AB两条做两条切线交于Q点，那由第二个结论知道，缺点前AB所在的直线方程是这一个，P点又在AB上面，把它带入进去为Q点。MN是满足这个方程的，也就是Q点在这个直线L上，那当AB的中点为P的时候，根据点差法容易证明AB跟L的斜率是相等的，所以直线AB跟直线L是平行的，自己三角形，双曲线内接四边形ABCD如果AB与CD交于点P，ADBC交于点1，然后ACBD交于点F那么PF为自己三角形，这个PF是自己三角形。如果P是极点的话，EF就是极限，E是极点，PF就是极限，F是极点的话P就是极限。那么当P点在S轴上时ABBC它是交于一点的，这个PF是自己三角形，那EF是P点的极限，那通过了我们刚才极点极限的一组公式，就可以推出P点的坐标。P0的话它的极限就是这一个，也就是ACBD的焦点在定直线上。这也是利益的立题背景，最后是一个拓展题第一道题比较简单第二题是一二年的北京卷啊啊啊这跟今年的新高考卷是基本上是一致的第三题难度比较大，是13年的江西文科压轴题，它也是一个自己三角形为命题背景。以上就是今天所讲的内容，谢谢大家。