大家好，我们是来自江苏省沭阳高级中学代表队。我是孙爱文，我是张凡。今天我们讲题的主题是直觉引领运算探究模型回归。以2023年全国一卷理科20题为例。我们将从以下五个方面进行展开，请看题。这是近几年最为风靡的其次化联立模型，背景是几点极限，考察了解析几何的基本思想和基本方法，对学生的运算能力要求很高。本题是压轴题中常考的定点定值题型，比较常见，但是整道题下来思考量和计算量较大。这也提示我们，新高考正在以一种全新的模式考察和选拔国家需要的优秀人才。高中数学提出六大核心素养，本题考查了逻辑推理、数学建模、数学运算。再看题。第一问，求曲线C的方程。从题中所给方程形式不难发现，该曲线为椭圆。已知椭圆的离心率顶点坐标，我们很容易求出曲线C的方程。再来看第二小问题中的已知条件是动直线PQ结论是求证MN的中点为定点，由动到定，意思是指MN的终点不会受PQ的位置变化而引而改变。那么。我们不妨从PQ直线过原点来入手。当PQ直线过原点时，此时我们可以求出P点、Q点、M点、N点的具体坐标，从而得到MN的中点为03。当然我们还可以从极限思想来看，当PQ2点无限趋近于一点时，此时的M点、N点、P点Q点将四点合一，它们的终点还是03。那我们能否来猜想，当PQ直线无论运动到什么位置时，MN的终点仍为03呢？下面我们通过动画演示来验证刚刚张老师的猜想是否正确。从动图中我们可以发现，无论PQ直线它运动到何种位置，此时MN点的终点都是03。当从特殊位置猜出定点以后，接下来我们该怎么处理呢？有了这样的结果，我们将寻找怎样的直线PQ能满足这样的结果。此时我的解题策略是通过计算直线PT和QT的斜率相等来证明。详解如下，接上述的猜想结果，此时可设M点的坐标为03加MN点的坐标为03减M此时再将AM直线和椭圆直线联立，通过韦达定理以及A点的坐标已知求出P点坐标，此时我们只需要通过轮换可得出Q点坐标，再将其带入斜率公式，可得PT直线。QT直线的斜率均为负的12分之M方得证PQ直线过T点。既然要寻求PQ直线过定点P那我们不妨通过双变量射线将PQ方程设为Y等于KX加M的形式。通常对于含有双变量的动直线，我们又是如何证明此条动直线过定点的呢？那我们就要来寻求变量间的关系，将双变量问题转变为单变量问题。此时只需将PQ直线与椭圆方程联立，通过韦达心理代入已知关系式，此时得到M和K的关系，再将其回代入PQ方程，此时方程变为Y等于kx加2加3。我们很容易得出PQ或定点T. 思路一当中我们是从必要条件出发，先拆除了定点，然后再给出详细的证明。那我们能否还有其他。方法呢？当然可以，我们可以直接设出PQ直线，P点Q点、M点和N点的坐标。将利用P点Q点的坐标来表示MIN点的中点坐标。此时需要将PQ直线方程与椭圆方程联立，通过韦达定理代入化简消元得到定值。大家从形式上不难看出，这个想要化简的式子相对要复杂一点。那怎样能够将这种化简得到简化呢？我们先来观察PQAPAQ直线方程的形式，我们不难发现其中都含有X加二项。我们不妨将X加二看做整体，与椭圆方程联立，构造关于X加2的1元2次方程，此时利用整体韦达定理实现计算的简化。从代数的角度来看是整体代入，从几何的角度来看，实则是将坐标系进行了平移。因此我们有了思路三将T点坐标平移到坐标原点处，那么此时直线PQ和椭圆的方程形式随之改变，此时不妨将变化后的直线方程和椭圆方程再次联立，仍然是通过韦达定理代入得到中点坐标。但是此时需要提醒的是，我们要回到原坐标系下，写出MN点的准确的终点坐标。此种方法相对于解法二来说，平移的坐标是确实是将解坐标关系之间的问题相对简化。根据以上的解法，我们得到以下的等量关系，MMN的中点纵坐标恰为IMIN的斜率和，也就是将MN的终点为定点问题转化为斜率和为定值问题。在圆锥曲线中解决双斜率定值问题，我们多用其次化，此时只需将pq方程设为MX加2加3分之Y等于一的形式，再将其代入椭圆方程，通过一的代换实现椭圆方程其次化，此时只需将方程两边同除以X加2的平方，我们就容易找到IM和I的斜率和为定值。刚刚在张老师的其次化的这种思想下，我想到既然平移坐标系可以将运算得到简化，那么我们在方程齐次化的同时，同样可以将整个图向右平移两个单位形式上得出关于斜率的方程。较之简单，由于平移不会改变直线的斜率，所以原两条直线的斜率的和与平移后的直线的斜率和还是相等的。双斜率模型在高考中比较常见，方程其次化是解决该类问题的一道利器。既然提到双斜率问题，我们还可以用同构思想将ap方程与椭圆方程联立解出P点坐标，再将P点坐标带回PQ方程，得到关于PQ斜率的1元2次方程。此时我们发现AP斜率具有相同的形式。那我们可以知道APAQ的斜率即为2次方程36X加36T加27等于0的2个根。再利用这个方程求韦达定理得到定值更为简化。以上几种思路均是通过设直线与椭圆方程联立，再代入化简，利用韦达定理寻求定值。那我们还可以从别的思路出发吗？接下来我们尝试从设点的角度来解决定点定值问题。大家请看思路6，通过设点建立点坐标之间的关系，也就是我们常说的设点之不联立设出P点、Q点、M点和N点坐标。利用PQ点坐标来表示MN点的中点得到新式，新式中含有变量较多，化简较为复杂。此时需将P点和Q点坐标在次代入椭圆方程，将其中的Y1平方和Y2平方以整体的形式代换进入形式，将形式化简，最终得到定值。既然孙老师提到设点，那我们不妨利用PQ和QT向量共线引入参数兰姆达来寻求坐标间的关系，再将P点与Q点带回椭圆方程。此时只需将两式做差，用坐标来表示表示参数，兰姆达再将回代入二式，消去参数，也可以得出定值。刚刚张老师阐述的方法，其实也是我们在圆锥曲线当中经常使用到的点差法。但是点插法它的使用的前提，同学们要引起注意。在直角坐标系中我们可以通过设点，在极坐标系中我们也来尝试设点，将P点和Q点坐标设成如下形式，再通过万能公式代换得到新的P点和Q点坐标，以及直线APAQ和PQ的参数方程。再将P点带回PQ参数方程，得出两个参数，T1和T2的和为二，再带回M点和N点的终点运算得出定值此方法化简形式上较为巧妙，但是对公式的记忆要求很高。在平时的解题当中我们用之较少以上。无论通过是射线还是射点，都是通过引入参数，构造参数有关的函数问题，消去参数得到定值。我们还可以从方程的角度出发，利用曲线系方程对应系数相等，构造关于直线斜率的等式。此时射出APAQPQ的直线。其中已知椭圆在点A处的切线为X加二等等于0，此时过APQ的二次曲线系方程即为如下形式。我们再利用待定系数法对应系数相等全球变量间的关系，再带回终点坐标，消去变量即可得到定值。以上的八条思路当中，无论是从函数的角度还是方程的角度，究其本质都为极点极限。其中T点的极限与Y轴的交点是03，图中PQKT成调和点列直线APAQAKAT成调和线束。又由于TA直线与Y轴平行，根据调和线束的斜率关系可知，直线AM和AN的斜率之和为直线AB斜率的2倍，所以线段被点B平分，即MN的终点为定点03。关于调和线束的斜率性质下，附小视频供大家赛后参阅。圆锥曲线定点定值问题在往年高考题中也有所体现，2017年全国一卷理科的第二十题就证明了直线过定点问题。在解析几何中解决定点定理问题，我们主要的主要策略是在变化中寻求它的不变性。通常是引入变量，将变量转化为函数，把得到的函数化简，消去变量得到定值。当然也会采取将变量化为方程，得到的方程对于变量恒成立再得到定值。下附几道练习供大家参考。基于对本题的研究，我们给出以下推广。结论，一。结论2。结论三。这里对结论的证明将不做赘述。解析几何相关问题对学生的基础能力、运算求解能力及应变能力要求较高，需要学生在平时的学习中学会归纳整理，构建知识网络。同时要注重思维拓展，一题多解，多题一解，提升解题能力。解析几何的相关问题，还有更多更优的解法，希望在以后的教学过程中能有机会与各位同仁探讨。最后用一首小诗来结束本次的讲题，联立方程设交点韦达定理来帮忙。变量范围判别式，曲线定义不能忘，弦携中点点差法设而不求计算，差数形结合记心间，向量参数用恰的。谢谢大家。