各位老师下午好，我们来自双流中学，要评析的是北京卷第20题逆向破局数形互通，我们将围绕这六个方面进行讲述。试题呈现。本题将函数的核心知识串联成问题序列，体现出梯度和综合。考察函数与导数相关知识以及直线与方程相关知识和转化化归数形结合分类讨论的数学思想，直接逻辑推理，直观想象数学运算的核心素养。接下来我们看试题解答，阅读题目可知本题导函数已知，而原函数未知。第一问，求导函数的最大值，导函数也是函数，所以可以用函数法求解。解法一，直接求导，判断单调性，求出最大值。我们发现导函数可看作一个复合函数，因此可以采用换元法转化为熟悉的超越函数求导，判断单调性，求出最大值。又因为这里出现了一加X与ln 1加X可以尝试切线不等式求解最大值。首先证明在经过两次代换的关键不等式，进而求出最大值。求导函数的最大值，我们运用了两类思路，三种解法。这三种方法都会用导数判断单调性求最大值。这里优选解法一，简单直接，也为后续的问题作出铺垫。而解法三三更适用于小题。第二问，证明函数图像的几何特征。我们将图像的位置关系转化为代数式的大小关系，即将几何结论代数化转化为不等式的恒成立证明问题。我们把不等式的右端化为零，构造出差函数HX接下来利用导数与单调性完成证明这里HX与FX解析式相关。事实上我们有导函数求出原函数代入HX就可以求出其导函数H1撇X等于F撇X减F撇A。要证HX大于HA我们大胆猜想HX在负一到A单减在A到正无穷单增，即证X小于A时F撇X小于F撇A而X大于A时F撇X大于F撇A如果F撇X是单增的，那么容易证明。而因为FPX是先增后减，所以这里需要做细分讨论。在FPX的减区间内，即X大于1减1时，有FPX的解析式及其单调性可以说明F撇X大于0，而F撇A小于0，进而说明HX单调递增。命题可证。在上述的证明过程当中，如果我们敢于抽象化的表达出差函数，既不求原函数从具体到抽象逆向反常规，又简化计算过程，优化正法一就可以得到正法2，后续的证明过程将同正法一。那么在这构造出差函数的基础上，我们变形出HX减HA大于0。那么联系平均变化率与瞬时变化率的关系，应用拉格朗日中值定理还可以加以证明。将函数的差值转化为某点处的导数值与自变量差值的乘积，将差值符号的判定转化为导数符号判定的问题，后续的判断证明的过程与正法一类似。如果我们在不等式变形这一步采用半分离，右端保留FA减F撇A倍的A那么就可以构造出部分含参的辅助函数H0X对比前面构造的差函数HX它们形式虽然不同，但其差函数但其函数的导函数是相同的。所以后续证明是类似的。我们进一步的分析。第二问实际上证明的是曲线与切线的位置关系。联想到我们还可以采用凹凸性完成证明。因为导函数F1撇X是又增先增后减，所以这个函数FX既凹又突。这里要证明需要分为两段，下突和上凸部分进行证明。我们先分析函数FX单调性及其凹凸性。在下凸区间上结论显然，而在上凸区间上凸区间部分，也就是说X大于1减1时。这里我们利用FX的单调性。凹凸性以及其切线的单调性和不等式的传递性，直接比较出大小关系。回避构造函数的步骤直接证明曲线在切线的上方。证明第二问，我们放思路一当中回归基本方法，构造函数利用单调性完成。证明思路2，利用凹凸性我们。需要大胆猜想，小心求证，数形结合分类讨论。无论采用何种方法，都得进行严密的逻辑推理。及以上一二小问的分析。下面我将代表我们小组分享第三小问的解题思路和方法。首先明确题干条件，已知切线L一及其垂线L2，它们与X轴交点的横坐标需要求解的目标问题是含多变量代数式的取值范围。对于多变量问题，为了简化研究，我们将其转化为单变量问题。结合题干条件显现的解析几何背景，我们考虑从数和形两个角度切入求解。对于此题而言，我们最容易想到的就是代换消元的方法，也就是解决此题的通性通法。为了实现消元的目的，我们需要解出X1、X2，由于它们是直线与X轴交点的横坐标，所以我们需要事先写出直线方程。已知斜率和点A坐标可以写出直线的点斜式方程。由于斜率和点A纵坐标有不同的表达形式，根据代换的不同，我们可以得到以下三种解法。对于解法一，全代换销员，根据前面的分析，我们可以构建以下解题路径。首先写出直线方程。值得注意的是，为了保证直线L2的斜率有意义，我们需要提前论述FEPA恒大于0。接下来令Y等于零解出X1X2，带入到目标式当中，实现代换消元整理化解，实现将多变量转化为单变量，即要求解目标式的取值范围，转化求解对应函数的值域问题。由一可知FEPA的取值范围，通过计算可以解决目标范围问题。下面提供两种计算方法。方法一，比较常规的分离常数法，通过整体配凑分离常数运算。方法2，反函数法，通过整体换元反解出F1撇A的平方，根据其范围，由此可以解出T的范围，从而解决目标问题。类比解法一的解题路径，将解法二的解题过程呈现如下，不同的是我们将斜率FEPA带入到了FEPX解析式中进行表示代换销元。值得注意的是，如果我们有整体认识到一加A分之ln 1加A它的整体性取值，接下来计算过程同解法一。然而在化解的过程当中，我们往往会忽视它的整体形式，从而得到一个新的表达式。通过构造函数研究其值域问题。首先通过换元，利用分离常数进行化简，然后构造函数求导研究单调性，从而去明确它的值域。这里可以借助图像直观进行理解，下面通过计算由此解决目标问题。与解法一二不同的是，我们需要事先根据导函数的解析式逆向求解出原函数解析式解直线方程。不同点就在于此时我们将导数F1撇A和纵坐标FA带入到了相应解释式中进行表示。接下来运算过程同解法2，通过以上分析，我们构建出以下思维导图思路。以下的三种解法是解决此题的通信通法。通过代换销员实现将多变量问题转化为单变量问题，即将目标问题转化为求解复合函数值域问题。不同之处在于代换程度的不同。法二、法三将FEPA带入到了原解析式当中，忽视了一小问带来的便携性结论，从而额外增大了计算量。相比较而言，法医想法更直接，计算更简单，故优选法医。再次回到我们的目标式当中，认真观察式子的结构特点，发现均为横坐标的差是对其进行初步变形。我们可以得到两点横坐标之差，结合题干显现的解析几何背景，由此我们联想到直线的斜率，所以我们需要去构造纵坐标的差值，通过斜率公式进行代换求解。此方法的一个难点所在就在于如何去构造纵坐标的差值，并且能够保证分式的取值不发生改变。所以我们需要分子分母同时除以FA解法一当中已经保证FA是大于零的，紧扣题干条件，FX一等于FX2等于0，从而构造纵坐标的差，是利用斜率公式进行代换整理化解。接下来运算过程同解法一。代数法下的思路二构造法借助于横坐标的差是联想直线的斜率实现，将目标问题转化为斜率问题进行求解。法一直接代换销元，思路清晰，易于理解。法四是紧扣式子差值的结构特点，联想到直线的斜率，思维能力要求较高。以上四种方法都是从代数的角度切入求解，那么是否存在其他的解法呢？我们再次认真回到题干条件，从中可以提取出一些几何要素，由此我们想到可以利用其几何意义进行求解。根据题干条件我们可以构建一下几何模型，需要注意此时碳西塔的范围，从而可以确定点C在点B的右侧。由于BC同时在X轴上面，那么目标是出现的X2减X1，刚好就刻画的是BC的线段长度。此解法的关键所在就在在于将横坐标的差是转化为对应线段关系。基于这一要点，我们将目标是进行初步变形，转化为横坐标的差是。为了将横坐标的差是转化为线段关系，所以我们需要将点都同时转移到横坐标之上。所以过点A做BC的垂线，垂足记为点大，由此就可以将目标式的横坐标的差是转化为对应线段关系，构造出线段和差。其次是接下来我们就借助于直角三角形分析其边角关系进行求解。除了上述变形之外，我们还可以对目标是进行以下变形，得到X1加X2。在几何关系当中我们会联想到几何要素线段的终点。由此我们取BC的中点E连接AE可以将横坐标的差是转化为对应线段关系。此时注意的是由于西塔的范围必然点大，在点一的右侧，所以实现对应关系的转化。同样的借助于直角三角形分析其边角关系进行求解，可得目标是等于cos 2西塔。那么接下来我们可以根据西塔和tangent t的取值，利用三角函数的知识进行求解。或者我们也可以利用简单三角恒等变形进行转化。接下来运算过程同解法一。当然我们也可以聚焦目标是首先利用分离常数的方法对他进行化解处理，然后再建立起与对应线段之间的关系。由图像直观可知，此处我们做了一个探索性的定性临界分析。假设C的长度保持不变，我们增大倾斜角，西塔可以发现C大的长度增大。我们可以做一个GGB的动画展示。由此可得目标式的取值随倾斜角西塔的增大而减小。已知碳西塔的取值范围做临界分析，当碳西塔趋于零时，我们可以得到目标式的取值趋于一。当碳西塔等于1分之1时，我们在直角三角形当中，为了简化运算，我们可以将线段付一些特殊值代入进行计算求解。基于以上几何法的分析，我们构建以下思维导图思路。三下的3种方法均利用的是数形结合异形注塑，巧妙以题干中涉及到的几何要素为载体，灵活将目标式中横坐标的差是等价转化为线段关系进行求解。其中解法5直接借助于横坐标的差是来表示线段长度构造和的线段和差。其次是解法六，是由X1加X2联想到终点这一要素进行构造转化。解法七是做的一个探索性的临界定性分析。此解法几何解法有助于培养学生的数学抽象转化化归和数形结合的思维和能力。根据二十题三小问的整体分析，我们从两大视角切入，构建三类思路，从中解析出7种方法。无论是代数还是几何的方法，都有利于培养学生数学推理、数学运算、直观想象等能力素养。渗透数形结合的思想，帮助学生在解决问题方面最终实现以数定型。乙型注塑。好，第四部第三部分学生解答分析。本题设计题型新颖巧妙，学生在面对这类原函数未知导函数已知的情况，可能会出现思维阻塞、焦虑的情况。在思维方向上的选择上是否需要求出原函数，再结合具体问题进行分析。其次，求产产求范围时，是代数的角度还是几何的角度，方法不一，过程也繁简有益。在对学生的解答进行整理分析的过程中，我们发现在第一问中学生整体完成较好，第二问中学大部分学生通过构造差函数的方法进行证明，但也有同学通过函数的图像的几何特征进行证明，但多出现证明不充分的同情情况，比如利用凹凸性进行证明。但是本道题中的函数它属于既凹釉凸函数切线只在局部满足这个结论，那在全局我们还需要进行再次的论述。在第三问中也有同学采用几何的方法进行证明，但是这个解答的过程十分的繁琐，会出现计算失误。第四部分试题溯源，溯源的第一个角度就是题干中的设计。已知导函数去求研究原函数，可以溯源到人教B版，选B3 91页的两第一题和第二题的练习，其中都是给出导函数的解析式和正负来研究原函数的结果。在解具体的解答过程中，也可以溯源到22年北京卷的第三问。在这个过程解答过程中，我们可以带入原代入导函数而不带入原函数，进而来抽象化表来简化我们的计算过程。我们溯源的第二个角度就是函数图像之间的位置关系。可以溯源到人教A版选择性必修二第89页的例4，考察两个函数图像的位置关系。对于其中的第二题的函数和切线的位置，在近两年各地的模拟卷中也有所体现。其中函数与解析式的位置关系，我们可以延伸到函数的凹凸性进行研究，这是函数的凹凸性的概念，这个是函数凹凸性的描述性概念。从这两个定义出发，我们可以得知函数在定义在区间内属于下凸函数。那它的导函数在区间内就是单调递增的二阶导函数，就是大于等于零的那我们可以得到除切点外，原函数的图像在切线的上方。但值得注意的是，本题中的函数导函数在定义域内并不单调，也就是说原函数在定义域内属于既凸又凹函数。对于这类既凸又凹函数，我们没有办法从凹凸性直接得到，因此我们给出这个既对于既凸凹又凹函数的一个充分条件推论。如果函数在区间内连续，在某一个子区间内单调递增，我们只要求函数在定义域内的子区间的左侧的导函数的最大值仍小于在M处的导函数，在子区间右侧定义域内导函数的最小值仍大于在N处的导函数，那么我们就可以得到原函数的图像在这个区间内的切点的上方，其中不包括切点。具体的证明我们可以利用构造差函数的方法进行代数证明，这个我们就不论述了。那基于我们对凹凸性的分析，我们可以给出这两个变式。第一个我们很明显发现E的X方，它的二阶导它的一阶导函数是单调递增的，所以它是一个向下凸的函数。那么很明显满足结论，其中当这个切点是等于零点的时候，这也是我们的切点不等式。对于第二个便是这个导函数是一个三次函数，并且它在定义域内并不是单调的。所以我们利用我们的推论二发现它满足我们的结论。所以说除了切点外，满足函数的图像在切线的上方。好，这是我们的第三部分。第五部分对比分析。下面我们对比25年高考数学北京卷新高考一二卷在导数大题方面的共性和差异，及他们的共同命题趋势整体呈现。聚焦以下几个维度进行比对比分析。通过分析，我们可以发现，他们的差异性具体表现在函数背景的差异。北京卷侧重分式函数与几何应用，一卷侧重三角函数与代数，二卷侧重含参多项式与函数性质的分析。其中北京卷明确要求切线、焦点等几何问题，而一卷、二卷无显性几何背景，聚焦代数分析，难度侧重全国。一、二卷侧重模块的横向结合，北京卷则侧重纵向的深度挖掘，如函数性质的逆向证明。那由此凸显的命题性差异就是全国卷以计算复杂度和逻辑推理严谨性为核心区分点，而北京卷则以逆向构造和思维开放为特色，几何直观性更强。他们的共性具体体现如下，三卷均采用三问式，难度层层递进，均考察的模块的综合知识，均以导数为核心探究，体现我们导数在函数应用中的基础性作用。在题型方面，均包含证明的问题和参数分析问题，强调逻辑推理能力和考察参数处理能力。均注重数形结合、转化化归等思想。由此凸显的共同命题趋势，强调综合运用，强化问题解决，增加开放性与创新性，突出核心素养，强化数学思想方法。基于以上分析，我们给出以下教学建议，从教学策略方面，要重视刺激，提升数学核心素养为目标。回归教材，避免机械刷题与记忆。增加基础性、创新性与综合性，注重数学本质的理解。强化思维训练，淡化解题技巧。恰时恰点引入一题多解，一题多变，培养高阶思维。从教学内容方面，引导学生深入理解到术语、函数的整体知识体系之间的联系，培养全局观，强调抽象化表达、调解问题，灵活运用数学语言，深入理解并落实以形助数、以数解形、数学数形结合的数学思想。下面一首打油诗送给大家，函数倒数父如子，切线为耻定高低。抽象表达来帮忙，数形结合破密障。谢谢观看，欢迎批评指正。