尊敬的各位老师、各位评委、各位专家、各位同学，大家上午好。我是来自北京景山学校远洋分校的高中数学教师李铮铮。今天我和各位老师、各位同学分享的题目是北京卷第20题，转化与构造，多视角探究2025年北京高考导数题。导数在高中数学体系中占据核心地位，是研究函数性质证明、不等式等问题的有力工具，在高考中也是重点考察内容导入、综合应用问题，综合性强对学生的逻辑推理、数学运算、直观想象、核心素养的要求较高。北京教育考试院王雅琪老师说过，分析问题、构建函数、研究函数、解决问题是解决导数问题的重要的四个环节。经过导数学习，同学们已经清楚解决导数问题要经历上述四个环节。下面我们就以2025年北京高考导数的为例，谈谈如何利用上述四个环节解决问题，以及解决问题中的思维与方法。首先试题呈现这个题目给我们的感觉是题干当中没有给出FX的。于是这也是我们今年高考结束后网上再评议的，没有给出原函数Y等于FX而给的是导函数F1撇X的提示。这个函数的定义域是负一到正无穷。还有一些评论说F0等于零在这道题里没有用到，那是不是真没有用到呢？我们待会儿一起可以来看一下。第一问是求F1撇X的最大值，F1撇X解析式给我们了比较简单。第二问是证明除切点A以外，曲线Y等于FX在直线L一的上方。第三问给的我们是类似的一个像三元的这样一个函数电影表达式，求它的取值范围。那具体我们看一下第一问，第一问比较容易，他给了我们F1撇X的解析式，所以我们利用导数这个工具找到F1撇X的极值点，分析出F1撇X单调性，最后得到F1撇X的最值。可能有部分同学会出现这样的一个问题，在读题的时候不够认真，平常在解题的时候没有关注到数学阅读题干要求求的是F1撇X最大值而不是FX大值，有可能会误以为是求FX最值，没有注意审题，出现了错误。第一问我们具体来看一下，刚才我们说了解决导入问题要按照这样的四个环节来解决。具体解答就是首先这一步是构建一个函数，构建的就是你给的函数F1减X我们可以换一个符号GX来表示，利用导数这个工具来研究函数对它求导分析出的单调性，最终解决问题。我们经历了构建函数建函，研究函数解决问题这样的一个思维过程，这是第一问的解答过程。那这里面我们可以清晰的看到，题干当中给了我们导函数的解析式是F1X等于X加一分之ln x加1。如果我们把真数部分X加一设为T分母也就变成T了。那GT这个函数实际就是我们平常研究的函数Y等于X分之ln x的性质和图像。而这个在我们导数学习过程当中，是一个常见的超越函数。我们可以根据函数它的定义域，函数的性质画出它的草图。而且我们可以发现我们北京卷2025年的这道导题，它这个导函数它实际就是将Y等于X分之ln x向左，从一个单位之后得到的。也就是说我可以清楚的得到F1撇X的图像。有了图像之后，我们在研究函数的任何性质的时候，就非常的直观了。而后面我们几个，我们可以进一步来研究问题的时候，借助图像来解决问题。好，后面两问难度是逐渐的递增，那我们就要学会分析问题去构建函数。可能不见得像第一问似的，函数已经给我们建好了。那这里面第二问我们在解决的时候需要构建这样一个函数。因为曲线在曲线的上方，我让FX与切线去做差，让它大于零就可以了。这里头产生的定义域是大于负一，且X不等于A的。因为研究函数我们要本着定义优先的原则，那我们如何来研究这个函数的性质呢？我们做过很多导数的综合问题，他的第二问甚至第三问有时候借助到前面的问。所以我们在研究问题的时候要学会瞻前顾后。那怎么瞻前？我们在第一问其实已经得到了F1撇X位置，甚至我们刚才已经分析出来了Y等于F1撇X图像。我们的目标是要研究HX的相关性质。我们可以发现我们对它求导之后，H一撇X等于F1撇X减去F1撇A，F1撇A是个常数，它其实我们可以完全借助F1撇X的性质图像来分析H一撇X从而得到HX的那接着我们有一个直观的想象的猜想过程，题目要证明的是HX大于0。我们可以猜想HX我们画了一个草图，它在点A的两侧一定是为正的，而且图像应该是这样一个形式，这为我们后续的解题就提供了帮助。好了，我们接着来看往下的分析过程。我们借助Y等于F1撇X图像，我们要研究H一撇X的零点等等。我们可以借助F1撇X的图像和Y等于F1撇A由于A它的取值范围我们清楚，所以Y等于F1撇A在X轴下方。因为F1撇A它是负的那直线外的F1撇A和导函数F1撇X图像交点的横坐标就是A也就是A就是H一撇X零点。我们可以发现当X大于负一小于A的时候，H1撇X大于0。结合图像我们也可以发现，而当X大于零的时候，F1撇X是先增再减。但是我们通过图可以发现，如果对于Y轴左侧来说，它从AX从A到0的过程当中，显然这里的H一撇X它的符号是什么呢？F1撇X比F1撇A大，A比X大于。而当X大于零的时候，大家可以看到F1撇X它是大于零的，它是正的，而Y的F撇A是负的。这个时候A一撇一撇X它也大于0。当然了这里头就说明我们一次是说不清楚的，我们要对X分段来研究，对于X大于A的时候，我们可以选择X等于零作为分段分类来分析。我也可以选择像第一问我们研究的F1撇X极值点1减1处分类。那这里头有如下三个思路，思路一思路二本质是一样的，一个是在零处分段，一个是在1.1处分段。思路三是在分析当X大于等于0的时候，切入点不同。我们这里重点来介绍思路一。刚才我们也清楚了，借助它的图像我们给它进行分段，然后我们看一下如何来写出它的解析过程。首先我们可以找到切线方程，然后构建新函数HX，构建新函数HX也就是说我们将原问题等价于要证明HX大于零就可以了。这里的函数定义域是X大于负一，且不等于A对他求导。通过刚才图像我们已经清楚了，根据第一问的结论，这里头我们怎么来的FVPX的递增？是根据第一问詹前，然后得到了F1撇X它是单调递增。而当X属于负一到A的时候，这个HX单调递减我们刚才已经分析出来了，而当X属于A到正无穷的时候，我们需要分段。一段是A到0，HX是大于零好分析。另外一段是啊结合它的函数值分布，也就是我们研究函数求导，然后最终我们要涉及到分类。这里的X是在大于X大于等于0的时候，由于log 1加X大于等于0，X加一大于等于0。我们根据题测可以知道F1撇X大于等于0，而F1撇A是小于0。刚才那个图像Y等于F撇一撇A在X轴的下方，我可以清楚H一撇X大于0，合在一起可以清楚HX在A到正无穷上它是单调递增。而因为HA是等于0，X就不等于0，这样的话HX大于零就成立了。这样的话我们把问题就解决了。最终我们解决了问题，我们仍然经历的是分析问题，构建函数、研究函数，解决问题的这样的一个过程。我们可以关注一下我们的思路一中的解法，这里面我们构建了一个函数叫A函，这个是这道题的一个难点。因为HX我们后边对HX求导可以细心的观察，可以发现HX解析式。我们因为原题当中没有给我们FX提示，所以我们要学会如何去处理这种抽象函数，对它求导。而且HX解析式中有X有A那这里头谁是自变量呢？X是自变量，所以我们在平常研究一些比较复杂的综合问题的时候，要有变换主元的意识。而这种问题？我们其实在北京这也出现过很多次，后边我们具体去说思路二跟思路一的本质没有区别。我们这里给出解题过程，后面大家可以去看一下，思路三的切入点是不一样的。思路三其实我们就是当X大于等于0的时候，一个是要证明的是FX它是大于等于0，然后要证明这个切线就是直线。当X大于等于零时候，它是小于零就可以了。这个证明过程比较麻烦，我们就不在这里细说了。有的同学可能比较好奇，我们这个题的原函数FX能不能找到呢？有高等数学知识背景的同学感兴趣可以课后看一下。我们可以利用不定积分的知识求出FX的原函数。他我对F1撇X进行整理之后，发现它的这个原函数2分之1 log加X方加C而F0等于0。我可以把这个函数确定FX解析式就出来了。接下来可能就是我们平常做的一个，但其实我们可以发现，其实题目构思非常巧妙，真如果给了原函数让我们去做的话，计算量其实比刚才的要做的要大的多。如果用这个方法做的时候，同学们一定要小心。比如说我们还是研究H一撇X零点，那为什么说A就是H一撇X的唯10点呢？大家要需要平常我们研究超越函数的时候，零点的存在性、唯一性还是需要借助单调性进行分析。好了，接下来我们要进入的环节就是分析第三问了。有同学一直在想F0等于零有什么用？如果不求原函数怎么用？第二问没有用到，还有FX的图像到底长什么样呢？我们其实可以看到在一问二问，我们对导函数F1撇X研究的非常透彻。X大于零的时候F1撇X大于零说明FX在零到正无穷数上是单调递增。X小大于负一，小于0的时候F1比X小于0，说明FX-1到0单调D而题目当中给了F0等于0，所以我们可以初步的得到Y等于FX的图像，它是先减再增的一个情况，这是一个大致的图像。有什么好处呢？思路二、思路三就会体现的非常明显。我们先说思路一，题目怎么说我们就怎么做，开门见山直树提议。思路一它的做法就是我们根据题意要把X1X2给提出来，一个是切线与X轴交点的横坐标，一个是过点A作切线的垂线，这条直线与X交点的横坐标，这个计算并不复杂。然后我们把X1X2都用FA，F比A和小A代入到这个要求的这个式子，化简为这样一个过程。但是在化简的过程当中，我们知道涉及到了分式的化简运算。我们一定要考虑到FAFC点是不是得零，这里头就要需要用到了F0等于零这个结论。而很多同学我想他在做题的时候，他之所以说你没有用到F0等于0，他可能没有注意到要验证FAFC撇A不为零这一点。后面我们就利用一问的结论，不见得我们求这个函数的值域再次求导。因为导数是个工具，其实这里头我们只需要用到高必修模块中的研究复合函数的最值的相关方法就可以了。利用第一问中的结论，我们对它换元之后，它并不是一个非常复杂的导数题。具体的过程我们可以解答过程看一下，这是分析问题。分析问题找到X1，然后找到X2，然后我们化简之后构造的是一个新函数。这个新函数的自变量就是F1撇A我把F1撇A看成一个整体，如果你瞅着比较便捷的话，你设它为T也可以。而FDA的范围，我们在第一问得到的瞻前顾后，这样的话我们很容易得到它的取值范围。最终这个式子X2减X1分之2，A减X2减X一范围。我们清楚了这是一个常规的一个做法。那我们从图像的背后再来挖掘一下。刚才这个要注意的过程，我们刚才也说过了，我们再从图像的背后来发掘一下式子中2A减X2减X1。如果我们对它进行变形，同学们可以想一想，给它分解成A减X1减去XA2减A那我们看一看A减X1与X2减A的差代表的是什么呢？其实我们在第一问清楚，F1撇A是大于零的，而这个切线它是递增的，所以我们可以做出这个切线，就是过点A作曲线的切线，我们设它和X轴交点是B点，那那我过点A做切线的垂线和它和X轴的交点是C点。那这里头同学们就可以发现。A减X一实际是点A的横坐标与B的横坐标的差。我们把点A的横坐标怎么去直观的体现呢？过点A向X轴做线，AB垂直BC于D那我们可以发现三角形BAC是直角三角形，在RD3角形BAC中，AD又是斜边DC的高。这个图形就是我们初中平面几何里常用的双垂直基本图形。那这样的话X2减X一化成A减X1减去X2减1，是不是就可以写成这个BD和CD的差是分子的，而分母X2减X一是BC而BC的长度是不是又可以写成BD与CD的和，那这个式子是不是就化成了BD与CD的差除以BD与CD和这样一个比值的取值范围？我们是不是发现了这个第三问它的背后的几何特征，根据双生日基本图形，我们分清楚角BAC和角CAD这两个角相等，它们的正切相等。那BDCD我怎么借助一个同样的一个量学表示呢？可以借助AD因为AD比BD就是角ABC的正切值，CD比AD是角CAD的正切值。这两个角正切相等，我都用AD与这个角正切去表达，我们可以对它用它表达之后进行化解。角ABC的纵切，其实它还有一个背后的函数，直线AB倾斜角的正切，直线AB倾斜角的正切就是直线AB的斜率，也就是切线的斜率。切线的斜率实际就是F1撇A对，大家能想明白吧？它先是F1撇A那下面我们按照几何法去化简之后，其实化解完之后就和上面的是一样的。当然了我们在同时约去这个的时候，真正在卷面解答的时候，要考虑到约去那些量是不是得零，跟刚才是一样的。那接着我们看一下思路3，思路三这个方法可能积极性比较高了，我还是给他写拆成A减X1减去X2减A我分子分母同时除以2之后，这样的一个好处是什么？因为我看到了。X2负X2负X1，我刚才那种方法我想不到的话，我如果再添一个括号之后，就变成减去X2加X1。横坐标的和在哪儿用的比较多，线段中点坐标公式，这样我除以二之后就变成了A减去二分之X2加X1，分母是二分之X2减X一二分之X2加X1，我就可以联想到的是BC的中点。所以我可以做辅助线取BC的中点E跟刚才辅助线一样，我多了一条辅助线。那直角三角形ABC中，AE就是斜边的中线，斜边中线等于斜边的一半，它的好处是什么呢？上面是A减去这个二分之X加X2就是DE的长，而底下就是BC的一半，BC的一半不就是AE吗？不就是DE比AE吗？那第一笔AE就是角AED的余弦值了，而角AED和角AD妃什么关系？它是二倍的关系，因为EA等于EB这是个等腰三角形，对吧？所以我们可以清楚这个cosine角AED就是我们最后要化简的这个表达式，而cosine角AED就是cosine 2倍的角ABC。有同学学过万能公式，我可以用万能公式去表示，万能公式表示完之后，实际又是用F系列A去表示的。最后化简结果是一样的，可以构造等腰直角三角形，出现了二倍的角ABC去解决问题。具解题过程我们就不就不不看了。也就是我们抓住的核心就是切线的斜率，就是导数的几何意义。好了，我们说一说简短说一下命题的背景研究。首先刚才我们也说了，原函数可以找到，我们做出图像来可以看到非常直观。其实我想说的是第二问的背景和以后同学们到大学要学的函数的凹凸性是有关系的。如果我们不写解析式，只给了F1撇X来看全A到B递增。实际这个结论是一样的，曲线总在它的上方。证明过程大家可以看到和我们今年高考的第二问的思路基本上是一样的。当然这个问题第二问我们如果给他用他的公式去解释的话，可能站得更高，看得更远。感兴趣同学学过高等数学的同学会可以去看一下FX我给他用他的公式去表达，也可以证明出这个结论。也就这是大学数学课本上的这个相关的定理。好了，第三问我们可以用凹凸性也可以去解决。这里我稍微说一下，因为点M它的横坐标是1减1 1减X1减1实际就是曲线的拐点，就是以后大学要学的。我们可以发现如果这个动点A从O到M的过程和从M到正无穷的过程，它实际F1撇A一个是从0到1分之1的过程，角ABC从零逐渐变大。还有一个过程是从点点A从M到正无穷的时候，F1撇由1分之1又变为零。这样的话角的变化我在研究余弦的变化。其实我们可以在一开始的时候先猜出来最后的答案，后边我们解题，相当于就知道了问题答案，去证明就可以了。凹凸性实际离我们中学并不远，这几年高考出现过很多次，在我们人教B版教科书上呈现过，在我们人教A版教科书上也呈现过，同学们应该去关注一下。当然了，这个题的第三问，我们还可以用人教A版的探究中发现的牛顿迭代法去分析，这里我们不多说了。好，第三点我们说一下相关的链接。其实这几年北京高考题有好多题都是以凹凸性为背景定制过的。大家可以看到2013年的这个导数题，实际上是不是就是将它的图像左平于一个单位，得到的是今年高考的这个导题，还会导出图像。第二轮的设备其实跟他设备方式是一样的。22年的高考题在第三问也是凹凸性背景。而在运算过程中我们要学会变换主元，有组员的意识去分析它。其实和我们今年高考的第二问它的难点是一样的。如果同学们在平常的时候有意识关注北京高考，你关注的通讯方法，可能我们今年这个TDR也不至于出现这种问题。去年北京高考第二问标答给的是反证法。其实我们也可以不用反证法。不过原点实际来讲，利用凹凸性这样去建函去分析，其实这个渐渐函的过程，它其实和我们今年北京高考的第二问思路也是非常的相近的。我们也可以进一步分享时间关系我们不多说了，可以证明出，谢谢。不过原点。总之我们可以发现22年、24年北京高考命题背景和25年思路其实可以说是一样的。他都延伸到了大学的数学知识凹凸性。但其实它的发端还是在中学，说明这个题目的立意高起点低，中学完全可以有解决这个问题的办法。而北京卷的导题目的构思精巧，浑然天成，是思想性艺术性都达到一定高度的好题。好，最后说一说这个问题可能会出现的错误。第一问，有的同学有可能没有注意审题，没有注意到的，其实X会比X最值。所以需要我们教师要平常要舍得花时间让学生去读题，引导学生如何阅读。第二问一个是刚才我说的变换主人的过程，对吧？还有一个就是在解决过程中是不是有意识的和第一问进行联系。第三问我猜可能很多同学错误点就是没有考到FDA不等于0，FA不等于F0，FA不等于零没有去分析。这其实也是我们平常教学中应该引以为戒的。总之在我们解决导函数与导数问题的时候，挖掘隐含条件，合理转化，有效的构建新函数，利用导数工具来研究函数性质求解，有时也可以挖掘题目背后的几何特征，像这道题也是从另外的角度解决问题。同时我们要说不见得说我们在研究函数性的时候都要求导，比如像这道题的第三问，我们最后在分析那个函数的值域的时候，换元之后利用必修模块知识就可以了。好，谢谢各位老师各位同学的观看，谢谢。