大家好，我们来自新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州第一中学，我是王丽，我是艾文君。接下来我们一起走进2023年全国高考乙卷理科数学第12题请看题。已知圆O的半径为一，直线pa与圆O相切于点A直线PB与圆O相交于BC2点D为bc中点。若PO长度为根号2，则PA向量与PD向量的数量级的最大值。本题要求的是向量数量级的最值问题。考察目标，以单位圆为背景，考察平面向量数量级的计算与最值，涉及到数形结合分类讨论的数学思想方法，难度适中。接下来，我们将从两个视角对本命题进行探究，视角一从平面向量视角探究命题的解决方法。思路一，由题意作出示意图，确定OPA3点位置，依据A的两点位于直线PO同侧异侧进行分类，讨论探究向量点积最大值。思路二对思路一进一步分析，将依据A的两点位于直线PO同侧异侧分类讨论，进一步整合，赋予角OPC等于阿尔法，取值范围为双开负四分之派到4分之派，避免分类讨论，体现了正负角概念的妙用。思路三对思路二进一步分析，发现向量数量积计算过程中，关于三角函数根号二倍的sine阿尔法cosine阿尔法加四分之派化简过程中所采用的和差倍半公式的综合应用，可进一步利用积化和差公式进行优化，使得解题过程更加简单明了，体现了考察学生综合素养的灵活性。思路四，考虑到4点PAOD4点共圆其直径PO为根号2，将命题等价转换为三角形PAO为等腰直角三角形，其斜边PO为根号2。点D在三角形PAO的外接圆上运动，求向量PA与向量B的数量积的最大值。根据上述解题思路，我们绘制如下的思维导图。接下来我们将从四个角度来进行解读方法一通解通法。由题意可知AOA长度为一，OP长度为根号二角APO为45度，可知PA长度为一。当AD位于直线POE侧时，如图一所示，角OPC设为阿尔法取值范围，可知B的0到4分之派。则PA向量与PD向量的数量级可表示为2分之1减二分之根号二倍的sine。阿尔法减四分之派，由阿尔法范围最终可知，它的取值为小于等于一。当二阿尔法减四分之派等于负四分之派时，阿尔法为零时取得等号。当点AD位于直线PO同侧时，如图二则设角OPC为阿尔法，取值范围仍然为0到4分之派，半闭半开，则PA向量与P的向量数量积为2分之1加二分之根号2。Sine 2阿尔法加四分之派由阿尔法范围可得小于等于2分之1加二分之根号2，当且仅当阿尔法为八分之派时取得等号。综上可知，数量积最大值得解。在数学教学中，重视分类讨论思想方法的应用，有助于促进学生思维品质的优化和解题能力的提高。正是，万千世界多繁杂，分门别类穷奥秘。周密思考条理清，能力提高好。注意解法2. 结合正负角的概念进行突破。由题意可知，PA长为一，设角OPC为阿尔法，其范围为开区间负四分之派到4分之派。则向量PA与向量PD的数量积可以表示为2分之1的减去二分之根号二倍的sine 2。阿尔法减四分之派结合角阿尔法的范围该是小于等于2分之1加二分之根号2。当且仅当阿尔法等于负八分之派时，等号成立。综上可得，向量数量积的最大值为2分之1加二分之根号2。数学上正负概念的应用相当奇妙，很好的表示相反意义的量，正是东西南北原点中，逆旋顺转任君行。大千世界多奇妙，无处不寒数学情。解法三，依据题意可知，PA长度为一，仍然角OPC为阿尔法，PA与P的向量数量及表达式为根号二倍cosine阿尔法乘以cosine阿尔法加四分之派。那么由基化和差公式，我们可以直接化简为2分之1加二分之根号二倍的cosine 2阿尔法加四分之派。依据阿尔法取值范围，最终可得当阿尔法为负的八分之派时，取得最大值为2分之1加二分之根号2。细节决定成败，积化和差公式的应用，优化学生的解题过程，同时展示了学生极强的运算品质与洞察力。正是，泰山不弃细微图，博学更需勤积累。多年勤学终有成，数学思维辨是非。解法四，等价转换。将原命题等价转化为三角形PAO为等腰直角三角形，其斜边为PO为根号二点D在三角形PAO的外接圆上运动时，求向量PA与向量B的数量积的最大值。按照题意建立如图所示的平面直角坐标系，得到PA2点的坐标，而的点可以看作以E点为圆心，OP为直径上为直径的圆上的点。因此的点坐标可表示为二分之根号2 cosine西塔，二分之根号2 sine西塔。其中西塔属于左闭右开0到2分之派区间，由此得到向量PA与向量PD的数量积表示为2分之1加二分之根号二倍的sine，西塔减四分之派。结合西塔角的取值范围，当且仅当西塔等于4分之3派时，此时取到最大值为2分之1加二分之根号2。转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转换的过程，正是顺藤摸瓜多联想，机敏细微善类比，复杂问题简单化，陌生命题会分析。第二个视角，从平面直角坐标系视角探究命题的解决方法。我们将分为两个阶段，第一阶段将相关点坐标化。思路一，建立适当的平面直角坐标系，表示出各相关点的坐标，设出直线PBC的点斜式方程，利用韦达定理表示出点D坐标。思路二，建立适当平面直角坐标系，表示出各相关点的坐标，设出直线PBC的点斜式方程，利用垂径定理联立直线PBC直线OD求出点的坐标。思路三，建立适当的平面直角坐标系，表示出各相关点的坐标，利用三角函数、垂径定理、直角三角形平面向量等知识表示出点的的坐标。思路四，建立适当的平面直角坐标系，表示出各相关点的坐标。利用复数乘法的几何意义进行向量旋转变换运算，表示出点D的坐标。根据上述解题思路，绘制如下的思维导图。接下来我们先来看解法一，依据题意我们可以设P点坐标，A点坐标PB直线方程为Y等于K倍的X减根号2，其中K的取值范围为-1到1。B点C点坐标可以表示出联立直线PB与圆O的方程，可以得到关于X的1元2次方程，写出韦达定理，求出D点横坐标，代入PB方程中得到的点纵坐标。由此可得的点坐标。直线与。圆锥曲线的位置关系是解析几何命题之源，韦达定理的应用是解析几何的核心运算，繁琐的数据计算是鉴别学生运算能力的试金石。这是业余专业无界限，代数知识是伟达，从此说谁智力高，数学造诣鉴别他。解法二，利用圆的垂径定理，依据题意得出P点和A点坐标。设PB方程为Y等于K倍的X减根号2，其中K的绝对值小于一，根据题意及圆的垂径定理可知，直线OD的方程为Y等于负的K分之一X联立PB和OD的方程，由此可以得到点D的坐标。圆椭圆与弦中点有关的命题常常与圆椭圆的垂径定理共轭直径相关联。常规做法是联立方程，结合韦达定理和中点坐标公式写出中点坐标，从而解答命题。也可以利用椭圆的共轭直径来解决。正是终点，终点好神器，命题长江拟中情。本是世间对称圆，考生为一瘦身影。圆与椭圆同家族，垂径定理已变形。椭圆双曲线对偶，垂径定理更透明。解法三，依据题意可得，P点和A点的坐标小XPB设为西塔，则PB直线斜率为K等于tangent西塔，则OD和PD垂直O的长度可以表示出根号二倍的cosine西塔减二分之派。由此可以得到OD向量的坐标最终化简为二分之根号二倍的一加K方分之K方负的一加K方分之K最终得到的点坐标巧妙利用直线三角形式中三角函数正弦、余弦、正切的定义，导出目标点的向量表示，充分体现了学生思维品质的灵活性。正是，数学定义多精炼，千锤百炼成经典。深刻理解勤应用，日积月累造一边。解法四，辅助旋转。根据题意，仍然设角XPB为西塔角，则直线PB斜率为tangent ent西塔。由此表示出向量O的为指数形式。将向量OD的指数形式化，简为其三角形式，可得到O的向量为根号二倍的sine西塔乘sine西塔减二倍的cosine西塔。由此得到的点坐标利用复数乘法和复数指数式运算解决向量的旋转问题是本题的解法亮点，目的是唤醒同学们对复数的重视，认识到复数地位的回升的重要性。正是向量复数各千秋，同为工具尽风流。若论空中翻筋斗，拇指夸赞朴树牛。第二个阶段目标问题，函数化，多种方法求最值。依据第一阶段我们可知PA向量与PD向量的数量积最终表示为一加K方分之一加K则我们的目标函数设为，接下来我们主要来解决FK的取值范围。思路一，较复杂的一元函数求最值，利用导数理论处理问题是程序化的思维方法。思路二，参数K的几何意义是直线的斜率与直线倾斜角密切相关，因此令K等于tangent塔，利用众多的三角函数公式便于化解目标函数表达式，有利于求函数最值。思路三，较为简单的二次分式函数求最值问题，可转化为2次方程，恒有实数根来处理，利用2次方程的判别式迅速解答目标命题。思路四，较为简单的二次分式函数求最值问题，经过合理变形，利用均值不等式迅速解答目标命题。根据上述四个思路绘制如下的思维导图。接下来我们来分享解法一，导数法。依据题意，令K等于XX的取值范围为双开-1到1则目标函数FK表示为FX对FX进行求导，令导数导函数等于0，得X等于根号2减1或X等于负的根号2减1。由X的取值范围可知，根号2减1为符合本题的解，代入可得FX的最大值为2分之1加根号2。由于目标函数是稍稍复杂的一元函数，采用程序化的方法就是导数法，几乎能解决许许多多的最值问题。正是如今数学多精彩，犹忆当年笛卡尔。自从创立坐标系，数学初不是不富耳。牛顿发明微分学，动态效果喜人耳，状态、过程和运动函数导数说明耳。喜看万里风景画，秀山起伏生骨耳。经济竞争轮博弈，最大最小趋利耳。战场争斗利不败，周郎千程借风耳。东风快递一声笑，万里江山归君儿。解法二，三角法令K等于tangent西塔，范围为双开区间-1到1。由此写出F西塔的表达式为2分之1加二分之根号二倍的sine 2，西塔加四分之派，结合西塔的范围得到其最大值为2分之1加二分之根号2。切割化弦和差倍半的灵活应用，体现了学生熟练掌握三角函数的重要品质。正是可爱的三角函数，你来自浩瀚的天际，日月星辰按照你的意志运行，莘莘学子凭借你的智慧翱翔。解法三，判别释放。令K等于X取值范围，双开负一得到一内项乘积等于外项乘积，最终得到Y的取值范围。由题意可知，目标函数FX最大值为二分之根号2加1，将命题转化为1元2次方程，恒有实数根划归为判别式类问题处理复杂问题简单化，体现了学生非凡的探索研究能力，真是难化易识繁化简，思维策略多重要，探索研究能力高，解决问题手段好。解法四，利用均值不等式可得到FX的表达式，由单倒数可以得到FX分之一的表达式，得到FX分之一，最小值为二倍根号2减2，由此得到FX最大值为二分之根号2加1。将分式函数恒等变形，创造条件应用均值不等式，体现了学生灵活多变的思维品质，正是横看成岭侧成峰，远近高低各不同。谁到华山一条路起经黄河百汇城。相关试题连接来自2023年浙江名校联盟三模第六题，具体解法如下。第二道试题链接来自于2023届上海市闵行区上学期期末测试第十题，具体解法请看图。今天的试题讲解到此为止，感谢大家的倾听。