各位专家，各位老师上午好。我们是来自陕西省榆林市定边中学的团队。我今天讲解的题目是全国乙卷第12题，我们先来看题目。好，我们先来看原题。已知圆O的半径为一，直线pa与圆O相切于点A直线PB与圆O交于BC2点D为BC的中点。若PO长为根号2，则向量PA与向量PD数量级的最大值是多少？这一题考察了向量、平面几何、解析几何以及三角函数诸多知识点，凸显了平面向量的袋鼠和几何双重特性，并且在高考当中体现了对数学学科核心素养的考察。我们从向量的术语形出发，然后有5种解题方法，接下来我们一一为大家讲述。先看解法一，解法一是直接利用平面向量数量积的定义，找到两向量的模以及夹角进行求解。根据提议我们可以做出示意图，知道PA与圆O相切，那么OA垂直于PA又因为PO等于根号2，那PA就是模长为向量PA模长就为一角，OPA为四分之派，直线PB与圆O相交，D为BC的中点，则OD垂直于PD在这个直角三角形中，我们已知边长PO那么要想表示向量PD的模长，我们就需要设角OPD为西塔，并且西塔的取值范围为负四分之派到4分之派。那有了角边的关系，我们就在这个直角三角形中表示出PD模向量PD的模长为根号二倍的cosine西塔。利用两向量数量积的定义，我们就可以将这个问题转化化为三角函数求最值问题。那么当西塔等于负八分之派时，这个数量最大值二分之根号2加1。在这个解题过程当中，我们知道点P相对于圆O的位置如果确定，那么圆O的切线PA也就确定，相对的这个向量PA也就确定。那么在PB变化的过程当中，它其实就是斜率，本质上就是斜率在改变。斜率在改变，我们是否就可以以直线PB的斜率为变量来研究这个问题，这就是我们的解法二。在解法二中我们可以以点P为原点建立平面直角坐标系。那么圆O和圆O的方程以及点P点O点A的坐标就确定了。因此我们设直线PB的方程为Y等于KXK大于负一小于一。联立圆O以与直线PB的方程消元整理，我们可以得到关于X的1元2次方程。设点B为X1Y1点，C为X2Y2。借助韦达定理我们就可以找到X1加X2，因此点D的坐标我们就可以确定出来。利用向量数量积的坐标运算，我们就得到了关于K的表达式，那我们就可以把它构造为关于K的函数。在这儿我们是利用求导，解得当K等于-1加根号二时，这个函数取得最大值，也就是两向量数量积的最大值。这个函数求最值问题，我们也可以转化为借助双钩函数，利用判别式法和基本不等式这些方法来求解。有兴趣的各位老师可以再进行研究，我们在这儿就不一一进行说明了。在这一解法当中，我们知道PB是在变化的，PB变化K在发生改变，直线方程的形式我们还知道有参数方程，参数方程我们又可以借助参数方程的几何意义来表示点D于是我就联想到可以找直线PB的参数方程。为了方便的表示直线PB的参数方程，我是以我们以点O为原点建立平面直角坐标系，取点P为一一，设直线PB的倾斜角为阿尔法。那么直线PB的参数方程我们就可以表示出来，并且阿尔法的取值范围我们可以确定是0到2分之派。设点B和点C对应的参数为T1T2，那么BC的中点，BC的中点点D的坐标我们就可以确定出来。因此这个问题我们又转化成了三角函数求最值问题。当阿尔法等于八分之派时，两向量数量级取得最大值。由这个几何条件我们知道OA垂直于PA，OD垂直于PD借助这些垂直关系我们就知道点D它应该是在圆上运动的那我们就有前面有直线的参数方程。那现在点D在圆上运动，我们是否可以借助圆的参数方程来解决这个问题？因此我们有OAPD4点共圆，我们点击就在以OP为直径的圆上运动。因此我们借助这个圆面直角坐标系，并且得到点P点A点O以及点D的坐标。点D的坐标在这个地方我们可以确定阿尔法的取值范围。因此两向量数量级的最值问题转化为三角函数求最值问题。当阿尔法等于4分之3派时，两向量取得最大，两向量的数量级取得最大值。上面四种解法我们都是从数的方向来进行研究的。那么平面向量还具有形这一特性，所以我们就在并且受解法四的启发。点D既然在这个圆周上运动，那我们只要点点点D是运动的那向量PA它是确定的。前面我们已经说明了，我们要求这个向量数量积的最大值，只要使向量PD在向量PA方向上的投影最大就可以。所以我们来看解法五是从行的方向来进行运动，来进行解决的。我们可以看图点D它在变化的运动的过程当中，我们就可以观察出来向量PD什么时候在向量PA方向上的投影最大。我们知道当点D在点E处时，向量PD在向量PA上的投影最大。并且此时我们过点E做向量PA的垂线，投影PF现在就是最大值，并且EF与圆M是相切的。借助平面几何知识以及也就是等腰直角三角形当中的这个边角关系，我们可以求出对应的投影的最大值。投影最大值得到，那向量数量积的最大值我们也就得到。好，那么这个题我们可以在课本人教A版必修第二册24页第24题找到一个关于以圆为背景求向量数量级的计算问题。还可以追溯至2010年高考数学，全国一卷文理都是在第十一题的位置。而且我们可以看到这个题跟我们今天研究的全国乙卷第十二题相似度非常高。接下来是我们配备的两个练习。这两个练习我们都是以圆为背景，对向量数量级进行计算和求最值的问题。这两个问题都可以从数和形两个方向来进行解决，在这我们就不一一赘述了。好，以上就是我们对第十二题的探究过程，谢谢各位老师。