各位老师，各位同学们，大家好。我们是来自新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校的赵新颖老师和吴越老师。今天我们要讲的题目是2023年全国乙卷第19题。接下来我们一起来看一下具体题目。如图，在三棱锥P杠ABC中，AB垂直于BCAB等于2，BC等于二倍根号2，PB等于PC等于根号6BPAPBC的中点分别为DEO，AD等于根号五倍的DO点F在ac上，BF垂直于AO第一问证明EF平行于平面ADO第二问证明平面ADO垂直于平面BEF第三问求二面角D杠AO杠C的正弦值。本题以三棱锥为背景，考察线面平行面面垂直及二面角三角函数值的计算难度适中。接下来看第一小题详解。思路一，根据已知条件证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答。思路二，对思路一进一步修改，利用平行公理证明EF平行于DO再利用线面平行的判定推理作答。思路三，利用已知条件众多的终点关系及空间向量知识，证明向量EF等于向量DO即可证明EF平行于DO再利用线面平行的判定推理作答。思路四，建立空间直角坐标系，利用空间向量的计算证明向量EF等于向量DO即可证明EF平行于DO再利用线面平行的判定推理作答。根据上述解题思路，绘制如下思维导图。接下来请吴玥老师为我们分享方法一和方法2。先来看解析，一如图一，连接DEOF构造四边形DEFO这里的证明思路主要是证明F是AC的中点，因为BF垂直于AO的条件，F的位置是由这个垂直条件唯一确定的。这里主要先利用平面向量三点共线定理，用一组基底BA向量和BC向量线性表示向量BF再利用BF垂直于AO这个条件列方程，进而解得lambda a等于2分之1，从而证明了AF等于2分之1的AC即F点是AC的中点。终点条件得到后，再利用DEOF分别是PBPABCAC的终点，结合三角形中位线定理，使用两次三角形中位线定理就可以证明在四边形DEFO中，DE和OF是一组平行且相等的对边。从而利用平行四边形的判定定理证明了四边形DEFO为平行四边形，再结合平行四边形的性质证明了EF平行于DO最后利用线面平行的判定定理证得EF平行于平面ADO第一。问的关键是证明F是ac的中点。利用平面向量三点共线定理，即平面内3点PAB共线的充要条件是向量OP等于拉姆达倍的向量OA加一减兰姆达倍的向量OB兰姆达属于RO式平面内任意一点，既可以推出向量BP等于兰姆达倍的向量BA，由BF垂直于AO列方程，正得F是AC的中点，充分利用了向量兼具数和形的特征，简化了解题过程。好。接下来我们来看一下解析二、解析二和解析一他的思路是相似的。前面都是要首先证明点F为ac的中点，唯一的区别就在于证明EF平行于DO的时候。解析一是利用了平行四边形DEFO的性质，而解析二主要是利用了平行公理，分别利用了两次三角形中位线定理，在三角形PBC中证明了DO平行且等于2分之1的PC，在三角形PAC中证明了EF也平行且等于2分之1的PC进而得到EF平行于DO后面使用的依然是线面平行的判定定理。平行公理是指在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行，即A平行于CB平行于C则A平行于B平行公理是证明两条直线平行的基本公理。本文求证的切入点是利用三角形中位线定理证明两条直线平行于同一条直线。接下来我们一起看方法三向量法如图一。首先可以利用解法一证明F为ac的中点，则向量EF等于向量EA加向量AF进而可以得到等于2分之1倍的向量PC等于2分之1倍的向量PB加向量BC通过整理即可得到向量EF等于向量DO从而推出直线EF平行于直线的O又因为DO包含于平面ADO，EF不包含于平面ADO从而得到直线EF平行于平面ADO证明直线。与直线平行。除了几何方法，还有向量方法。向量具有术语型的双重身份，是沟通代数与与几何的重要桥梁。利用向量法证明，立体几何中的线线平行本质上是共线向量定理的运用，可以用数形为一体，巧妙的将空间位置关系转化为数量关系，从而降低求证问题的难度。接下来由我为同学们继续讲解方法四解析四是坐标法如图2所示，利用AB垂直于BC的条件，以点B为原点BABC以及过点B垂直于平面ABC的垂线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。利用已知线段ABBCPBPC的长度，易得点A点C点O的坐标。因为坐标法的关键是利用平面向量共线定理证明向量EF等于向量DO所以需要求出点E点F点D点O的坐标。点O坐标已知点E点D的坐标又与点P的坐标息息相关，根据点D点E是PBPA的中点，应用中点坐标公式以求得。所以我们先来解决点F的坐标，这里依旧是利用平面向量三点共线定理，设向量BF等于兰姆达倍的向量BA加一减兰姆达倍的向量BC由于点A点B点C的坐标已知，所以可用实数兰姆达表示向量BF的坐标。利用BF垂直于AO的条件转化为数量积等于0，再利用数量积的坐标表示可列关于兰姆达的1元1次方程，进而解得兰姆达等于2分之1，从而求出点F的坐标为一逗根号2逗0点P的坐标。因为有三个未知数ABC，所以需要用三个方程来解。这里的三个方程主要是利用题目中已知的PBPC以及ADDO线段长及其关系列出的三个方程。这三个方程的求解容易求得，这里就不赘述。解出来ABC的值后，就求得了点P的坐标，进而求得点D点E的坐标，再利用两点的向量坐标公式，从而证明了向量EF等于向量DO最后结合线面平行的判定定理，证明直线EF平行于平面ADO. 坐标法体现了行道数的转化思想，将几何特征转化到数学运算上，可以降低思维难度，达到解题的目的，也是大部分学生选择的方法。当同学们不熟悉立体几何的几何性质，或者无法快速找到解题切入点，坐标法是一种很好的选择。第二小题详解该题有两个思路，思路一，利用勾股定理的逆定理证明OD垂直于AO从而证明AO垂直于平面BEF最后运用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直。思路二，建立空间直角坐标系，计算两个平面的法向量之积，从而证明两个平面垂直。依据上述解题思路绘制如下思维导图，下面由赵老师为同学们讲解方法一。接下来由我来给大家介绍解析一通法如图，由第一问可知，EF平行于OD在三角形行ADO中，AO等于根号6，DO等于二分之根号6，AD等于二分之根号30。所以OD方加AO方等于A的方，则根据勾股定理的逆定理知OD垂直于AO有EF垂直于AO又因为AO垂直于BF，BF加EF等于FBFEF包含于平面BEF，则有AO垂直于平面BEF，用AO包含于平面ADO所以平面ADO垂直于平面BEF。勾股定理的逆定理是研究特殊三角形、直角三角形的一种判定方法，由数量关系确定位置关系。由于题目中已知众多三角形的边长或三角形内部的线段长，所以容易想到利用勾股定理和中位线定理求出所需边长，再结合勾股定理的逆定理即可证得线线垂直。下面由我为同学们讲解方法二解析二坐标法。该法与第一问的解法四类似，为了证明平面BEF垂直于平面ADO，需要通过间隙求出两个平面的法向量。通过证明两个平面的法向量垂直，进而证明这两个平面垂直。计算平面的法向量的方法类似。下面以计算其中一个平面BEF的法向量为例，其中方法一是方程组法，设平面BEF的一个法向量为N该法主要原理是线面垂直的判定定理以及两条相交直线确定唯一一个平面。所以需要在平面BEF中求出两条相交直线所对应的向量，通过数量积等于零联立方程组对法向量的某一个坐标进行赋值，只要不-0，即可得到平面BEF的这个法向量。通过解方程组求平面的法向量是常规方法，原理是公理二的推论2，经过两条相交直线有且只有一个平面以及线面垂直的判定定理易于理解，但是计算繁琐易出错。法二，向量差积法，该法主要利用的是两个向量的差积，是垂直于这两个向量所在平面的法向量。这个运算涉及到了行列式，一会儿由赵老师为同学们做详细的讲解，该法能直接得到平面BEF的法向量。N我们知道向量的点积叫做向量的数量积，也就是两个向量点击后的结果是一个数。而向量的差积叫做向量的向量积，也就是两个向量叉积后的结果是一个向量。这个向量指的是两个叉积向量所在平面的法向量，所以向量的差积可用于求平面的法向量。该法是高等数学的解法，不能直接呈现在解答题中，需要把列方程组求法向量的过程体现出来。计算差值的方法如下。例如平面ABC内的两个向量坐标分别为向量AB231，向量ac 10-3。我们利用这个方法可以求出平面ABC的一个法向量为向量N等于-9 7-3法三。平面方程法。该法也是高等数学的方法，主要利用平面BEF的一般方程，即AX加BY加CZ加D等于0，利用待定系数法求得XYZ的系数，此系数对应的正是该平面的法向量，因为点B的坐标为零，逗零，逗零，代入到方程得都等于0。又因为法向量不能是零向量，所以不妨设大A等于1，由此得到平面BEF的方程为X加BY加CZ等于0，再将点EF的坐标代入，得到关于BC的二元一次方程组。通过计算可得平面BEF的法向量N等于根号2，逗负一逗零。利用平面方程法求平面的法向量也是高等数学的方法，优点是步骤简洁，计算量小其原理如下，假设平面派过点M0，X0，Y0，Z0，且垂直于向量NABC，则平面的法向量是向量NABC从而平面上任意一个向量都垂直于向量N现设平面上任意1点MXYZ，则向量M0，M垂直于向量N则数量积等于0。由此可得，平面派的点法式方程A倍的X减X0加B倍的Y减Y0加C倍的Z减Z0等于0。通过整理可得平面派的一般方程AX加BY加CZ加D等于0。特别的，如果已知不共线的3点M1、M2、M3，那么还可以得到通过这三点的平面派的三点式方程。如果已知三点为平面派与三坐标轴的交点，那么平面派的截距式方程为A分之X加B分之Y加C分之Z等于一。对于平面派的一般式方程，即AX加BY加CZ加D等于0，有以下几种特殊情况，掌握这几种特殊情况可以更加快捷方便的解决平面方程。由上述三种方法，我们得到了平面BEF的一个法向量为N等于根号2，逗负一逗零。同理可得平面ADO的一个法向量为M向量等于一度根号2的根号三经计算可得向量M点积向量N等于0，所以平面ADO就垂直于平面BEF好，我们接下来看一下第三小题的详解。第三小题总共有三个思路。思路一在前面证明了DO垂直于AO以及已知条件BF垂直于AO的条件下，做辅助线OH平行于BF则可计算出三角形DOH的三边长，利用余弦定理求出二面角的平面角的余弦值即可。思路二，在二面角棱上任取两点，分别在两个半平面内引两条垂直于棱的射线，这两条射线所形成异面直线夹角同样等于二面角的平面角大小。思路三，建立空间直角坐标系，计算两条异面直线对应的向量的夹角，是解决二面角问题的程序化思维方法。依据上述解题思路，绘制如下思维导图。好，以下由赵老师为同学们讲解方法。一解析一通法如图，过点O作OH平行于BF交ac于点H设A的交BE等于G由AO垂直于BF得HO垂直于AO且FH等于3分之1倍的AH又有第二问，可知OD垂直于AO所以角DOH为二面角D杠AO杠C的平面角。因为DE分别为PBPA的中点，故G为三角形PAB的重心。既有DG等于3分之1倍的ADGE等于3分之1倍的BE又FH等于3分之1倍的AH既有DH等于2分之3倍的GF在三角形DBA和三角形PAB中，应用余弦定理可得关于PA的方程，通过计算得PA等于根号14，同理得BE等于二分之根号6。在三角形BEF中，BE方加EF方等于BF方，由勾股定理逆定理可得BE垂直于EF则GF的平方等于3分之5，从而GF等于三分之根号15，DH等于二分之根号15。在三角形DOH中，OH二分之根号3，OD等于二分之根号6，DH等于二分之根号15。于是cosine角DOH等于负的二分之根号2，sine角DOH等于二分之根号2。综上，二面角D杠AO杠C的正弦值为二分之根号2。利用定义法能直接找到二面角的平面角解法，简洁明快，返璞归真。但是因为平面角的顶点在棱上没有固定位置，具有开放性，导致同学们不够重视。通过做辅助线确定平面角后，难点就在于求出线段DH的长度，利用三角形重心的性质和三相似三角形，将求DH的长度问题转化为求GF的长度求解，关键是证明三角形GEF是直角三角形。下面由我为同学们讲解方法二解析二向量法，设二面角D杠AO杠C的平面角为西塔，由解析已知AO垂直于ODAO垂直于BF从而利用异面直线所成角的定义以及二面角的平面角的定义，将求解西塔的问题转化为求解向量OD与向量BF的夹角问题。然后利用向量的夹角公式转化为求解向量OD与BF的数量积以及它们的模长。求解向量OD的模长可以放在三角形PBC中，利用三角形中位线定理进行求解。求解BBBF向量的模长可以放在直角三角形ABC中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解。这里的难点主要在于分子上数量积的计算，用向量法计算数量积主要利用数量积的定义，也就是转换成模长以及夹角已知的向量。这里与向量O的夹角已知，且模长已知的向量是向量BO和OA。其中向量BO与向量OD的模长是一求的它们的夹角可以放在三角形BDO中，利用余弦定理求得。而向量OD与向量OA是前面已经证得是垂直的，所以最后就可以用向量OA向量BO去表示向量BF进而求得cosine西塔等于负的二分之根号2。由此得到二面角D杠AO杠C的平面角是一个钝角4分之3派，最后经计算得到二面角D杠AO杠C的正弦值为二分之根号2。向量法是利用垂直于棱的两异面直线所对应的向量，避免了定义法寻找平面角的顶点的不变。向量的运算兼具术语形的特征，简化了计算，但需注意向量的方向，两向量的夹角与二面角或是相等或是互补，壳取绝对值，再结合图形判断二面角是锐角、直角还是钝角。接下来我为大家分享解析三坐标法。由解析已知二面角D杠AO杠C的平面角为BF与OD所成角的补角，即向量BF与向量OD的夹角。由一可知，向量BF1根号20向量O的-2分之1，负二分之根号2，二分之根号3。因此可得向量BF与向量O的夹角余弦值为负的二分之根号2。综上，二面角D杠AO杠C的正弦值为二分之根号2。坐标法也是利用垂直于棱的两异面直线所对应的向量，将求二面角转化为求两个向量所成的角。若这两个向量的坐标一求，则此法简单易行。针对2023年全国一卷第19题这道立体几何，我们也为同学们准备了两个链接。链接一。以上就是链接一的解法。和过程。链接2。具体解法和过程已经给出，感兴趣的老师和同学们可以继续观看，感谢大家倾听。