尊敬的各位专家，各位老师和同学，大家好。我们是来自北京景山学校远洋分校的高中数学教师李铮铮。李文秀。我们这一次参赛的指导教师是北京教育学院石景山分院数学教研员焦坤老师。今天我们为大家讲解2025年北京卷第十九题，几何转化不联立，一道解析几何综合题的多解分析。解析几何是数学发展史上的重大突破，它架起了代数与几何的桥梁。通过坐标系，我们将几何形式的已知条件转化为有关代数方程的已知条件，将方程形式的所求目标转化为代数形式的所求目标，再用代数方法解决问题后回归到几何结论，这就是解析几何的精髓。数形结合北京教育学院。的王雅琪老师曾经说过，我们在解决解析几何的问题时，一般要经历下面四个步骤，首先要搞清楚试题要解决的是一个什么样的几何问题。其次要弄清楚解决这个几何问题需要用到哪些代数条件，再把几何问题代数化。第三步是利用已知的题设条件，分析这些条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题。最后要返回去解决几何问题。而2025年北京卷的第十九题，恰恰是对这一逻辑的完美考察。下面我们一起来看一下这道题，原题呈现为已知椭圆方程A方分之X方加B方分之Y方等于1，其中A大于B大于零的离心率为二分之根号2。如果椭圆上的任意点到2个焦点的距离之和为四，那么解决以下两个问题。第一问求椭圆E的方程，该问考察椭圆的核心几何特征，详细步骤在此省略。我们可以得到椭圆的方程为四分之X方加上二分之Y方等于一。下面重点详解第二问的解题步骤。首先我们要明确解决的是什么样的几何问题。我有问题要问了文秋老师，你说我能不能先把问题的结论给猜测出来呢？也就是说当M在一个特殊位置值的时候，我们可以得到当M是左右顶点的时候，根据椭圆的对称性，因为三角形OAM和3角形OBM是全等的。所以说在这两种情况下，S1比S2是等于OABOB的那猜想一般情况下是否也有这样的结论成立？其次可以将这个几何问题直接代数化，或者转化为另一个几何问题再代数化。那你能具体说一说我如何将这道几何问题如何进行代数化吗？以下我们有这么多种代数化的方法。那我们得先做出图来，利用你给出来的这么多的方法，我们可以去实践一下。第三步是利用已知的题设条件，分析这些条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题。通过分析该题目是一个非常经典的单动点M的问题，我们可以直接将M点的坐标进行求解。所以说本题有如下的几个思路，可以通过几何转化和直接计算面积来求解。思路一，利用平面几何中到角两边距离相等的点，在角平分线上来证明。要证明S1比S2等于OA比OB的话，转化为证明角AOM和角BOM的正弦相等，因为这两个角均为三角形的内角，所以说我们只需要证明两角相等即可。如图，只要证明M到OA直线和OB直线的距离相等，就可以证明这两角相等。在具体的计算过程中，我们首先要清楚点M是椭圆上的点，所以它满足椭圆方程X平方加2Y0方等于4。如下的过程就是我用X0Y0去表示点A的坐标和点B的坐标。在开始的几步，同学们不要着急将X0Y0消元，因为在消元过程中一定要消的是二次项，用X平方加2的平方等于四对它整体消元算到最后我们把X平方2Y0方，比如说把X平方消掉了，利用的是X平方加2Y平方等于四代入之后得到了只剩Y0的表达式，最终算出来点M到OA的距离与到OB的距离都是根号2，从而得到了问题的答案。所以我们在解决单动点问题设点法，我们也要注意最后消元的过程，要注意的相关的策略，具体的计算过程如下。思路二是利用公式直接证明这两个角的正切是相等的。思路一是证明这两角正弦相等，而通过正切相等也可以得到这两角相等。要表示这两角的正切，我们可以借助OA、OM和OB这三条直线的斜率来看。建议大家可以补充一下倒角公式。具体的计算过程如下，我们只要把OAOB的斜率用X0Y0去表示出来，得到了角AOM和角BOM的正切值，最终还是跟刚才思路方法是一样，可以给它进行消掉。除了正弦和正切之外，其实我们还可以从余弦的角度来考虑。我们是不是学过向量这个工具？其实我们清楚在学向量的时候，老师一定跟大家说过，向量是我们解决数学问题的一个非常重要的工具。老师也经常说有向量用向量，无向量也向量。我在求证角AOM与角BOM相等的时候，我们可以借助向量夹角的工具来解决计算向量OA与向量OM的夹角，它的余弦值等于向量OB与向量OM的夹角与限制。具体的解题过程如下，当然了，跟前面的解题方法完全类似，我们还是用X0Y0去表示。在化简的过程中，同学们要注意OM的长度是不需要知道的。在这里要以有意识的给它化简。我们能否进一步将他的问题给他形象的借助向量来解决呢？这个问题我们想如果要证明OM是角AOB的平分线，我们可以想办法来构造角AOB的平分线。同学们在学向量的时候一定清楚，向量OA的膜分之OA代表的是与向量OA同向的单位向量。大家可以看一下屏幕，我在计算OA的模分之OA加OB的模分之OB的过程中，实际我们做的就是与以这个OAOB这两个向量都是起点为O那这个两向量的和它的终点，如果O是起点的话，终点一定是在角AOB的平分线上。因为OA模分之OA，OB模分之OB他们在计算的时候利用向量加法的平行四边形法则。这个平行四边形是特殊的菱形。菱形的性质告诉我们，菱形的对角线平分一组对角。我只要证明向量OM和这两个向量共线平行就可以了。那具体的计算过程同学们可以看一下，还是用X0Y0去表示。最终我们可以得到S1比S2等于OA与OB的长度比。好了，以上我们是将这个问题转化成了证明角AOM等于角BOM. 我们还可以直接来计算三角形的面积。思路五我们把S1比S2转化为2分之1MA乘以O点到AB之间的距离比上2分之1MB乘以O点到AB的距离，那也就化简之后就等于MA的长度比上MB的长度。那此时要证明S1比S2等于OA比OB的话，那其实就只要证明MA比MB等于OA比OB即可。而MA和MB作为斜着的线段的话，那我们此时考虑的是化协为直过点M分别作Y轴的平行线，交Y等于2和Y等于-2与GH2点。那根据平行线分线段成比例可以得到MA比MB就等于GM比上MH。那只需要证明GMBMH等于OABOB这样横平竖直的线段的比值即可。具体同学们看一下我们给出的计算过程。我们还是设点，然后算出点A的坐标，点B的坐标，最后得到了问题的答案。细心的同学们观察一下这个计算过程有没有问题呢？我们发现其实在这个计算过程当中，我们少了一步，少了一步什么呢？题干上并没有叙述说。AMB3点在一条直线上。也就是说题干叙述的是给出了点M是腿上的一点，然后描述的是直线L分别与这两条直线交于点A点B而我们刚才解决问题的时候就默认了DM在直线上。所以我们是不是要验证点M在这条直线上的？而验证的方法并不难。我把X0Y0带入之后，发现正好是椭圆方程，X平方加2，Y平方等于4。所以这一点同学们一定要小心一下。我们解决的是几何问题，从逻辑上要进行相关的问题的验证。所以我们评价一下这个问题的解法。首先同学们的易错点就是利用几何转化解决本题的时候，特别容易忽视验证点M在直线L上，我们一定要需要计算它，满足这条直线方程。除此以外有的同学在用这个方法做的时候，他没有化简为直的意识，因为我只要转化成了长度比就行了，直接计算MA与MB的长度，计算量非常大，这是同学们一定要小心的那除此以外我们再看一看另外的转化方法。在初中平面几何我们学过平线间的距离处处相等。比如说我们以三角形OM为例，如果我直接计算三角形AOOM它的面积的话，这个三角形OAM3条边没有一条边是与坐标轴平行。很多同学在初中学坐标系中的三角形面积问题的时候，老师其实讲过，我们在解决问题喜欢贴轴找底，找什么样的底与坐标轴平行或垂直的底，我们的转化方法是什么呢？我们过点A作OM的平行线，交Y轴于A撇。同学们观察可以发现，由于AA撇与OM平行，所以A到OM的距离等于A撇到OM的距离。那三角形AOM的面积自然就等于三角形A撇OM的面积。这样的话我们可以看，在计算三角形OMA撇面积的时候，我只需要计算OA撇与M到OA撇的距离就行了。同理我将三角形MOB这个三角形的面积可以转化成三角形B撇OM的面积。而这两个三角形它们的高都是点M到Y轴的距离，而它们的底是OA撇与OB撇。这样这两个三角形的面积比是不是就是所求的S一与S2的比，而它们的比值我又转化成了OA撇与OB撇的比那我怎么来算OA撇与OB撇呢？我们抓住的是AAP与OM平行，那它们的斜率相等，OM的斜率我可以用点M的坐标X0Y0去表示，这样我们看一下是不是就可以得到。OA撇的长度与OB撇的长度。也就是说我算出A一撇这条直线的方程令X等于0，求YA撇的纵坐标就算出来了。同理B撇的纵坐标出来了，这样我们算出了OA撇与OB撇的长度比，从而就得到了它们的面积比，最后得到了问题的答案。这个方法同学们可以总结一下我们的目的，就将不规则的三角形转化成了底与坐标轴平行的三角形。除此以外我们还按照这个想法，刚才文秀老师在介绍我们猜想这个问题答案的时候，在这种特殊位置情况，这个图形非常好算面积，为什么呢？OM这条边正好落在了X轴上，故此我们可以轻松的计算S1与S2的比例，因为OM这条边就落在X轴上，A点到X轴的距离，B点到X轴距离我可以算出来。那除此以外点M它就不是落在X轴上了，怎么办呢？我们可以对点M与X轴的相对位置关系进行分类，其中我们以点M在X轴上为例。这样的话我们可以将三角形AMO转化为三角形ANO与三角形这个NMO2个三角面积差就是三角形AMO的面积。同理S2就转化成三角形MNO与三角形ONB的面积和，而转化之后的三角形都是以ON为底，那它们的高分别是点M到X轴的距离，点A到X轴的距离。这样我们看下解题过程如下，跟刚才有的思路是类似，同学们底下看一下就行。老师我们是不是还可以找到一种直接计算三角形面积的方法呢？其实我们使得教科书课本上的拓展阅读材料，有时也是我们解决问题的一个非常有用的工具。是的，我们思路八这种直接计算面积的方法来自于我们课本人教B版教材的拓展阅读部分。以这个图表示的三角形OAB为例的话，我们给定点A点B的坐标。如果OAB3个点不在同一条直线上的话，那么这个三角形AOB的面积我们可以用AB2点的坐标表示，表示为2分之1乘以X1Y2减X2Y1的差的绝对值，即可表示这个三角形AOB的面积。也就是说我们通过这种计算面积的方式，我们可以表示出来题目中的S1和S2如上，也就只需要证明这两个比值等于OABOB即可。这是课本的相关材料具体的证明过程。同学们可以阅读人教B版课本，这是必修教材的88页。好了，这个拓展阅读实际上有竞赛基础的同学可以发现，实际上就是我们以后到大学要学的两个向量差乘运算的几何意义。感兴趣同学可以看一下，按照这样的思路，我们可以直接的进行计算。解法九实际上和我们刚才的以上面几个解法没有本质的区别。以上的解法是我们抓住点M在满足椭圆方程，而一个点如果在椭圆E的方程上，它一定能得到A方分之X平方加B方分之Y平方等于一，利用这个等量关系最后化简消元。而我们也可以利用参数方程，以思路五为例，我们还是把点A点B的坐标表出来，然后利用参数方程把点M的坐标转化成了2 cosine西塔根号2 sine c带入解题过程中，最后将它消元。而相应的过程我们利用的是sine方西塔加cosine方西塔等于一。其实它和我们刚才的直接设点法的本质是一样的，二者是本质完全相同，都是在后面进行化简利用，一个利用的是同角三角函数基本关系，sine方西塔加cosine方等于1。一个利用的是X平方加2Y平方等于4。化解校园。以上我们介绍了这个问题的一些解法，同学们肯定也非常关心这个问题的溯源与推广。首先我们可以把它推广为一般的直线与椭圆相切的情况。只要上面那个直线Y等于2，Y等于负二改成Y等于C分之AB，Y等于负三分之负的三分之AB结论是一模一样的。有说现在基础的同学可以看一下，我们可以给出调和点列的定义，利用调和点列的来分析。我们这里头看一下，首先如果我们做出三角形ROS内角外角的平分线，我们可以得到PQRS构成的是一组调和点列，利用正弦定理可以给出他的证明。当然了作为这个问题来说，我可以过点O做它的OM的垂线，也是利用调和点列当中的一个性质。OM瞥乘OG撇等于B撇O的平方，可以进一步论证ABMG是一组调和点列。由调和线路的性质可以知道，OM是角AOB的平分线。至此我们可以认为这个Y等于正负A分之AB这条直线的条件保证了ABMD是调和点列，从而OM平分角AB如果我们利用极限，极限也可以证明上述结论。这里给出了两个非常常用的性质，一个是性质一刚才我们探究的角平分线的问题，一个是我们讲的极点极限的性质。性质我们知道过两个从这个曲线外一点作曲线的两条切线，切点弦所在的直线就是这个点所对应的极限。那我们利用配给原则可以看一下，我们也一样可以构造调和线束，找到调和点列。GBMA是一组调和点列结合性质一可以证明给出相关的结论。这个问题我如果推广到直线和椭圆相交的情况，需要我们看一下的就是等角线定理。折角线定理老师给出了利用平面几何割线定理的证明情况，感兴趣同学可以看一下，我做辅助线证明出了这个等角线定理。作为这个问题来说，我们可以利用直取联力的方式，设直线X等于MY加N与椭圆联立相交，最后我们通过化简可以得到。这个计算过程比较麻烦，为了计算简单，我们也可以巧用二次函数。双根式。由于C分之AB减Y1，C分之AB减Y2，它可以看成是二次函数，自变量为C分之AB时的函数值，只不过它少了一个二次项系数来化简，计算量能简单很多，这就是问题的推广。相关链接如下，老师找到了一些和他从设计策略上类似的问题，以及几何转化化学为止相关类似的问题，以及也可以用顶角线定理证明解决了相关问题。顶角定理计算过程类似的问题，巧用双根式也有利用角平分线的性质调和点列来解决过的问题。包括利用向量差乘计算，可以证明计算面积几何好懂不好算，代数好算不好懂。而坐标法把二者很好的结合起来了。但在平面直角坐标系中点的坐标是由几何作图得到的，因而将各种几何性质翻译成坐标运算需要求求助于几何定理。这里就体现了数形结合的数学思想方法，这就是解析几何这门学科的精髓。北高考数学北京卷中的解析几何试题考察解析几何的本质特点，一要求学生把灵活的几何问题转化为代数问题来计算，利用形象生动的几何模型帮助理解关注对数学运算对象的观察，是精辟的数学思想。随风潜入夜，让强大的数学方法润物细无声，使得貌似困难的问题迎刃而解，让学生体会数学学科的神韵。以上是我们对2025年北京卷第十九题的分析，不当之处，恳请各位老师和专家批评指正，谢谢大家。