大家好，我们是来自北京景山学校远洋分校高一四班的左明轩。徐世然。今天我们要给大家带来的讲题是2025年北京高考第十题的平面向量选择题听起来就很高端，这道题有什么厉害的地方？厉害就厉害在表面是道选择题，实际上是道暗藏玄机的综合题。他考察了三个方向，向量的线性运算、坐标法还有几何意义。这不就是树形结合三大法宝吗？快给我们揭秘一下。好，我们来简单看一下这道题。第一种方法我们就运用线性运算法来解。你还记不记得向量加减法和数量积？当然了数学老师说过，向量不是你想加就能加得满足方向和数量都要对。这集里我们通过线性运算，把复杂的表达式拆解成熟悉的魔方和数量积的形式，非常省事，原来这样就可以化繁为简了。我们的思路一就是利用一个不等式，A点乘B的绝对值小于等于A的模长乘B的模长。思路一需要先利用线性运算分解一下，把它分解成更好计算的向量，然后建模平方直接化成数字。我首先根据AB向量等于OB向量减OA向量，知道OA向量和OB向量的夹角为二分之派。而且OA向量OB向量的模长都为根号2。我们可以进而用OA、OB、OC仨向量来表示2CA加AB向量，而OA向量加OB向量等于2，我们就可以利用这个等不等式来求解。那么夹角为二分之派的证明方式是这样的就是。将AB向量等于OB向量减OA向量同时平方我们我们再把OA模长OB模长为根号2，AB模长为二代。入进去可以知道OA向量点成OB向量为零，那么说明他们夹角的是二分之派。我们再把原向量分解，分解可以得到它等于OA向量加OB向量减2OC向量。那么OC向量的模是已知的，因为OC为34，所以它模是5。所以原向量就可以用最好用的方法建模平方把它化成把它化化简出来很多相似，进而带入数字，知道这个向量向这个向量的平方就是104减去四倍OA向量加OB向量和向量点成OC向量。后边这一部分就可以用刚才的不等式来求解，知道它是小于等于OA向量加OB向量的模长乘OC向量的模长也就是10。进而我们就可以知道这个OA向量加OB向量和向量点成OC向量取值范围就在-10到10之间。也就是说原向量的平方取值范围为64到144B区间，也就是原向量的取值范围就是8到12B区间。接下来就是坐标法登场了，但是这该怎么用呢？我们可以把向量放在坐标系里直接上公式。坐标法特别适合已知坐标的场景。像这道题中把向量表示为坐标形式，再计算夹角模长数量积就全部简单明了了。像这个思路2，我们可以知道三角形AOB为等腰直角三角形，再用诱导公式化简，最后化简成一个多项式，再用辅助角公式化简，可以得到它最简形式。我首先由向量OA的模等于OB的模等于根号2，向量AB的模等于2，就可以知道三角形AOB为等。然后直角三角形我们可以设点A的坐标为根号2 cosine阿尔法到根号2 sine阿尔法，然后再通过诱导公式可以得到点B的坐标，已知点C坐标为3到4，最后可以先表示出向量CA和AB的坐标，然后计算二向量CA加AB的坐标，可以计算模长的平方，再用诱导公式辅助角公式化简为正弦形函数，求最值。因为sine阿尔法加斐属于-1到1B区间，所以二向量CA加向量AB的模的平方属于64到144B区间。看来还真是不能小看这些公式，关键时刻他们真能送你一程等等。前面讲的是数那行方面怎么用，这你问对人了，我们还有几何法，比如利用向量的几何特征，三角形中线、斜边中线、圆形轨迹这些解题体积来处理它。看起来这个中间轨迹好像个圆。对，这就是关键点。我们要抓住单位圆的图像特征，直接找出向量长度关系，从而选出正确答案。运用几何法，我们首先还是需要将原向量进行运算化简，将二项二倍CA向量加AB向量化简为CA向量加CB向量，效果不是非常显著。因为我们要用到平行四边形法则，终点没有太多几何特征，无法确定位置。此时我们就需要将原向量除以。二化为2分之1. 向量C加向量CB这时候终点位置就可以利用三角形法则来确定，终点恰好与线段AB的中点重合，而我发现线段OA线段OB线段AB的长度都是已知的，三角形OAB可解。我们可以确定三角形OAB中的其他相关元素，也就是可以确定线段AB终点的位置。我们观察一下草图。如图，线段AB的长度为二线段，OA和OB的长度都为根号2。利用勾股定理的逆定理可以知道，角AOB为90度，OA是垂直OB的。那么取AB中点M就可以利用斜边中线等于斜边一半，OM的长度就是2分之1，AB的长度等于一。也就是说AB中点的轨迹就是一个单位圆。因为向量CA加向量CB等于二倍的向量CM我们可以知道原向量的模长就是二倍cm向量的模长。要想找最小值，我们需要先把M点放到一个离C点相对近的位置。那么。由之前已知的信息，我们再利用三角形两边之差小于第三边来确定CM的长度。CM向量CM的模长是大于等于向量OC的模长减向量OM的模长。仅当三点共线，且OM向量跟OC向量同向的时候才可以取等号。此时计算可得CM向量模长的最小值是4。同理我们去找最大值，这时候就需要利用三角形两边之和大于第三边。那么此时线段。CM的长度。是小于等于线段OM加线段OC的长度。并且当且仅当向量OM和向量OC反向的时候取等号，此时通过计算可得像4M模长的最大值是6。也就是说。向量cm模长小于等于向量OM模长，加向量OC模长大于等于向量OC模长减向量OM模长。也就是说CM模长是属于4到6B区间，原向量是等于二倍，原向量的模长是等于二倍。CM向量的模长，也就是它的取值范围是8到12B区间。原来这就是老师常说的数形结合大法。两位同学给出了三种解法。在解法一当中，由于向量OAOB夹角是二分之派，以及点C的位置是确定的。故将此问题当中向量CAAB利用向量OAOB和OC进行表示，再利用不等式向量A和B数量积的模长小于等于两向量模长的乘积来进行求解。在解法二当中，由于坐标法的核心是向量，可以用坐标表示，利用向量的坐标运算实现向量运算的代数化，从而将数与形完美结合，因此在解决平面向量问题时有重这样的方法，就是坐标法建立坐标系的做法，可以将几何问题代数化，直观地转为计算，通过坐标系将向量转化为坐标，避免了复杂的几何推理。在解法三当中，两位同学根据向量是数形结合的载体，因此利用向量及其几何意义，利用平面几何直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，抓住斜边中点轨迹，是单位员利用数形结合巧妙地解决了问题。那么我们来举一反三是一道类似的题。在三角形ABC中，AC等于3，BC等于四角，C为90度，P为三角形ABC所在平面内的一个动点，且PC长度为一，那么向量PA点乘向量PE的取值范围是什么？这道题也可以用坐标法。首先我们建立平面直角坐标系，因为我们知道点ABC的坐标，而且PC等于1，所以P在以C为圆心，一为半径的圆上运动，所以我们可以设P点坐标为cosine西的都sine西塔，这样就可以求出来向量PA向量PB的坐标。然后再用向量PA点乘向量PB再用辅助角公式进行化简，最后可以得到结果，1减5倍，sine西塔加fine。然后又因为西塔属于0到2派，所以sine set加fine大于等于负一，小于等于一，所以1减5倍。Sine x加sine大于等于-4，小于等于6，即PA点乘PB属于-4到6B区间。总结一下，解决平面平面向量问题，既要靠数代数方法的严谨推理，也要靠形图形直观的几何视角。一个动脑一个动眼脑眼合一妙解难题。希望大家可以用好这三招，在考试中遇向量不慌，迎选择而上，谢谢大家。同学们用轻松活泼的对话，把一道看似复杂的向量题讲的明明白白，有三个地方特别亮眼，首先，思路清晰，紧扣核心。从代数运算到几何意义三种方法，始终围绕数形结合这一核心思想，把向量的数与形讲透了。第二个，形式生动，互动感强。用对话的方式引导听众的思考，像在和大家一起解题，而不是单方面讲题，让人听得进去，记得住。最后细节到位，展现素养。作为高一学生，能够熟练的运用诱导公式、辅助角公式，甚至注意到了一些几何性质，对知识的掌握和灵活运用让人惊喜，把抽象的销量问题变得具体又好懂。接下来让我们来听听指导教师的专业点评。从数的角度，代数方法的应用。代数方法侧重于将向量问题转化为坐标运算或向量运算，通过严谨的代数推理解决问题。坐标运算建立平面直角坐标系，将向量用坐标形式表示，利用坐标的加减数乘数量积运算处理模长、夹角、垂直、平行的问题，尤其适用于规则几何图形或给出坐标的场景。向量运算，借助向量的线性运算，加减数乘与向量数量积的运算代数性质，通过建立方程和等式关的关系，分析向量间的数量关系和位置关系。通过数量积为零判定垂直，通过共线向量基本定理判定平行，进而求解向量长度角度问题。从形的角度几何意义数形结合几何视角强调利用向量的几何直观，结合图形性质简化问题。向量的几何意义是通过向量加减法的三角形法则、平行四边形法则以及竖成的缩放与反向性质，将抽象的向量运算转化为直观的图形操作，帮助理解向量间的合成、分解与共线的关系。借助几何图形将相的问题与平面几何的性质，例如三角形的中线、角平分线、圆的半径等相结合。利用图形的对称性、相似性等特征，通过几何直观分析快速定位解题方向，实现代数关系与几何关系的相互转化。总之，解决平面向量问题要从数与形两个角度切入。大家在解决平面向量问题，既要善于运用坐标运算或向量运算等代数方法解决问题，又要善于运用向量的几何意义，抓住几何图形，借助数形结合思想方法解决问题。高考数学北京卷的很多利用属性、结合思想解决的试题，要求学生把灵活的几何问题转化为代数问题来计算，利用形象生动的几何模型帮助理解，关注对运算对象的观察使精密的数学思想，随风潜入夜，让强大的数学方法润物细无声，使得貌似困难问题迎刃而解，让学生体会数学学科的神韵。好，感谢各位老师各位同学的聆听，谢谢大家。