各位专家老师，各位同学，好在刚刚过去的2023年高考中，数学全国卷充分发挥了基础学科的作用，突出了数学核心素养和对数学能力的考察，提出了思维品质，展现了思维过程。下面让我们一起走入2023年全国甲卷理科21题。本题是导数与三角函数相关的含参讨论问题。考察的必备知识有导数运算、单调性与导数、最值与导数。考试的核心素养有，数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析、数学建模。首先第一小题是一个比较常规的讨论函数单调性的问题。要讨论Y等于FX的单调性，首先应该判断Y等于FX导数的符号。那么我们。可以从两个角度进行分析。第一个角度是因式分解，第二个角度是啊换元。首先来看一下解法一，因式分解，首先对FX进行求导，然后将其通分，并将sine方X转化为一减cosine方X再进行因式分解。要判断Y等于FX单调性，只需要判断Y等于FX导数的符号即可。由于X属于0到2分之派，因此四倍的cos方X加三大于0，cosine 4次方X大于0，所以Y等于FX导数的符号即为两倍的cos方X减一的符号。那么我们画出Y等于两倍的cosine方X减一的图像。由图像可知，当FF导数等于零时，X等于四分之派，当其大于零时，X属于0到4分之派。当其小于零时，X属于四分之派到二分之派。有时可以得到答案。再来看一下解法二，换元。转化率还是。先对Y等于FX进行求导。在这里对其进行分子常数化处理，并将cosine方X分之一进行换元，令其为T由于X属于0到2分之派，T就属于一到正无穷。这样我们。就可以将FX导数转化为关于T的一个1元2次函数，然后进行讨论即可。第一小题考察了函数单调性问题，体现的数学思想有函数方程思想、数形结合思想、转化化归思想等，体现了数据分析、数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养。再来看一下第二题，第二题是一道含参讨论问题。我们可以从四个角度进行分析。首先是构造函数GX，然后可以从分类讨论、端点效应两个方面进行讨论。第二个角度是参面分离，然后进行极限分析。第三个角度是借助软件化函数Y等于FX和Y等于sine 2X图像进行比较。第四个角度是利用高观点，借助泰勒公式帕德逼近等进行放松。我们先来看第一个角度分类讨论，在这里构造函数Y等于GX由于FX小于sine 2X因此GX大于0，即GX最小值大于0。然后我们对Y等于GX进行求导，要判断Y等于GX单调性，只需要判断Y等于X导数的符号即可。由于导数含参不方便判断，因此在这里需要进行二阶求导。然后我们在这里对cos方X分之一进行换元，令其为TT属于一到正无穷。这样就可以将GX一阶导数问题转化为关于T的一个1元2次函数。然后我们再对Y等于HT进行求导，发现导数大于0，因此Y等于HD在一到正无穷上单调递增。要判断HD的符号需要判断H一的符号。因此H一等于3减A大于等于零时，Y等于HT大于0，所以A小于等于30，GX导数就要大于0，因此GX在0到2分之派上大量递增，由此可以得到答案。我们再来看一下，A大于三十有两种算法。算法一证明存在区间零到阿尔法，GX在零到阿尔法上单调递减，进而证明不成立。因为HD在一到正无穷上单调递增，H一等于3减A小于0。当T趋向于正无穷时，HT趋向于正无穷。因此Y等于HT在一到正无穷上一定存在零点。然后在这里我们对Y等于HT进行放缩。大家看由于2T方减2T加T分之4可以化为2T乘上T减1加T分之4。由于T大于一，因此这个式子大于0，所以我们可以将Y等于HT放缩大于T方减A减R又由于T方减A减2等于0的解是T等于根号下A加2，因此H根号下A加二大于0。所以利用零点存在性定理，我们可以判断出一定存在零点阿尔法属于0到根号下A加2，使得H阿尔法等于0，因此Y等于GX在零到阿尔法上单调递减，在阿尔法到正无穷时单调递增。又因为G0等于0，所以GX在零到阿尔法上小于0，不合题意。综上所述，A小于等于3。再来看算法2，利用端点效应。因为GX导数在零处的导函数值是3减A小于0，所以一定存在区间零到阿尔法，使得GX在零到阿尔法上大于递减。因此我们有GX小于G0等于0，所以GX在零到阿尔法上均为负值，不合题意。综上所述，A小于等于3。刚才我们用两种方法来求解了Y等于FX的单调性问题。这两种做法体现了数学中函数与方程思想、数形结合思想、转化化归思想等，考察了数学抽象、数据分析、数学运算、直观想象等数学核心素养。刚才我们运用到了端点效应，那么什么是端点效应呢？我们一起来看一下它的定义。对于任意的X属于B区间，A到B都有FX大于等于零恒成立FX中包含参数这里的端点AB往往是使结论成立的连接条件。这种观察区间端点值来解决问题的方法，我们称之为端点效应。那么端点效应应用的原理是什么呢？它运用了函数极限的原理。在高等数学中有邻域的概念，若不等关系在区间上恒成立，则在端点处也要成立。如果在区间B区间M到N上满足FM等于0，根据函数趋势可知，在范围B区间M到M加K内必定满足FX单调递增。当可以足够小时，这种在某个范围内导数大于等于零恒成立可以看成在M点处导函数值大于等于零恒成立。同理若FN等于0，则在B区间N减K到N内必定满足导函数小于等于0。当可以足够小时即可当成FX在N处的导函数数值小于等于0，注意这种情况的使用的前提条件。刚才我们学习了端点效应的定义以及它应用的原理，接下来我们用它解一下第二问。我们还是构造函数Y等于GX并对其进行求导，注意到G0等于0。那么由端点效应的定义可知，GX在X等于零处的导函数值大于等于零是GX大于等于零的必要条件条件。由在X等于零处的导函数值是3减A大于等于0，可得A小于等于3。接下来证明充分性讨论A大于3和A小于等于3。当A小于等于三时，对Y等于GX导数进行放缩，并将其通分对分子因式分解，可知大于0。因此GX在0到2分之派上单调递增，GX大于G0也就是0。接下来证明A大于30. A大于。三时有两种算法证明存在区间，00到阿尔法，GX在零到阿尔法上单调递减，又由于G0等于0，因此A大于三不成立。接下来我们看一下具体过程，利用HX等于GX的一阶导数，并对Y等于HX进行求导，发现导数大于0，因此可以得到答案，Y等于HX在0到2分之派上单调递增，又由于H0小于0，由解法一可知这个不等式是成立的，因此我们可以对Y等于HX进行放缩。由于cosine 4次方X分之1减A减2等于零时，cosine 4次方X等于A加2分之1，因此我们可以取cosine 4次方T等于A加2分之1，其中T属于0到2分之派，所以一定有HT大于cosine 4次方T分之一减A减2。那么利用零点存在性定理可知，Y等于HT在零到T之间一定存在零点，我设为阿尔法，因此GX在零到阿尔法上单调递减，在阿尔法到正无穷上单调递增。又因为G0等于0，所以GX在零到阿尔法上小于0，不合题算法二端点效应，因为此时GX在X等于零时的导函数值是3减A小于0，因此一定存在区间零到阿尔法，使得GX导数小于0。GX在零到阿尔法上又是单调递减的，因此GX小于G0，也就是零，所以GX在零到阿尔法上均为负值，不合题意。综上所述，A小于等于3。那么刚才。我们应用了端点效应来解决了第二问。我们来总结一下利用端点效应解决第二问的步骤。一找必要条件，考虑函数在区间端点值是否具有特殊性，缩小范围，通过不等式成立的必要条件求出参数的取值范围。二证充分条件，通过判断函数单调性求解证明必要条件以及充分条件。接下来我们看一下解法，三餐免分离极限说明。由FX小于sine 2X我们可以将A分离出来，那么只需要证sine 2X比X加sine x比上X乘cosine 3次方XY等于3即可。然后我们将两边同时乘上X并构造函数Y等于HX对其进行求导，发现导函数大于0，因此Y等于HX在0到2分之派上达到递增，所以HX大于H零也就是0，因此可以得到答案。刚才我们用了分类讨论、端点效应、擦面分离三种方法。来解决。的第二问，体现了整体代换、分类讨论、构造函数、模型化的数学策略，体现了数形结合、转化、化归、分类整合、函数方程等数学思想，也体现了数学抽象、逻辑推理、数学分析、数学运算等数学核心素养。此高考题可追溯至人教A版教材选择性必修第二册97页练习。还有2019年全国一卷理科20题，这两道题目都是导数与三角函数的结合。还可追溯至2008年全国二卷理科22题，这道题目既是导数与三角函数的结合，也是对端点效应的应用。刚才我们从三个角度对第二问进行了解答。其实这道题目我们还可以站在高观点的角度，利用泰勒公式与帕德逼近进行不等式放缩，进而得出答案。我们来看一下，由泰勒公式可得sin 2X大于2X减6分之2X的3次方。在帕德逼近中，tangent x的近似值为3X比3减X方口3X的近似值为2比2加X方。然后利用几何画板比较出它们的大小。由于X属于0到2分之派，通过图像可知tangent x大于3X比3减X方，而cos x小于2，比上2加X方。这样我们就可以将这个式子进行放缩，其中tangent x与cos方X利用帕德逼近进行放缩。而sine . 2X利用泰勒公式进行放缩，进而得出答案。这是第四个角度。除了高观点的角度，我们还可以借助信息技术分析参数范围。借助几何画板绘制Y等于FX和Y等于sine 2X图像，进而分析出参数A的取值范围。我们先来看一下A小于等于30的函数图像。通过图像可知，A小于等于30。当X属于0到2分之派时，FX小于sine 2X恒成立，因此A小于等于三是成立的。我们再来看一下A大于30的函数图像。根据图像可知，当A大于三时，在0到2分之派上一定存在X0，使得FX0大于sine 2X0，因此A大于三不成立。刚才我们利用高观点和借助了几何画板绘制函数图像，对第二问进行了分析。这两种方法可以培养学生的数学分析、数学运算、数学建模等数学核心素养。从命题的角度看，选择想要函数载体，让其满足FX在X0处的导函数值等于0，FX在X等于零处的二阶导函数值大于等于0即可。如果难度过大，可能需要给出提示性的前一问或者降低难度，如果要提高难度，可以让二阶导、三阶导等持续为零，也就是多次利用端点效应。那么与这一道高考题类似的题目有哪一些呢？2015年北京卷理科十八题，我们一起来欣赏一下这道题目。其中第三问解法一。分类讨论。这是一个比较常规的解法。第三问，我们也可以利用端点现象进行解答。我们还可以利用泰勒公式进行放缩高观点秒杀。这是2008年全国二卷理科。22题。第一问也是一个比较常规的讨论单调性的题目。第二问我们还是既可以利用分类讨论。也可以利用端点效应。最后我们一起来总结一下本节课所学到的知识，三角函数、导数、单调性、含参、讨论、最值等。学到的方法，换元、因式分解、分点效应、分离参数等。学到的数学思想有函数方程、数形结合、转化化归、分类整合等。学习到的数学策略有整体代换、分类讨论、数形结合、构造函数、模型化的。我们还理解并应用了数学六大核心素养。我们在学习的过程中需要做到，理解落实教材、理解概念与过程、理解方法与模型、理解命题意图、反思升华思维基础熟练保证量，难题思维深刻保证质，做到基础与能力并举，思想与方法通行证。以上就是我的分析，感谢各位专家老师，各位同学。