大家好，很荣幸今天能与大家分享2023年全国甲卷理科第20题、文科第二十一题的相关解法及我的一些思考。我将从以下四个方面展开说起。首先试题在线，题目是直线与抛物线交于AB2点，已知弦长AB等于四倍根号15 1，求P的值。2、若F为抛物线的焦点，那么N为抛物线上两点，且满足MF向量与NF向量数量积等于0，求三角形MNF面积的最小值。2、试题解答，对于第一小题，已知直线方程和抛物线弦长，求参数片，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式列方程求解即可。具体解法如下设AB2点坐标，联立直线和抛物线方程。为了后面的计算方便，我们消去参数X得到Y的1元2次方程，由韦达定理求出两根之和和两根之积，然后利用弦长公式求出关于P的方程。这里需要注意，弦长公式前面的一个根号里面是一加K平方分之一，求出P有两个值，根据已知条件P大于0，所以P等于2。对于第二小题，该题考察的是圆锥曲线中求三角形面积的最值，问题是近几年解析几何的热点问题，通常以求最大值居多，重点考察学生的几何直观、逻辑推理、数学运算素养。此题是以交点为顶点的直角三角形面积最小值问题，已知条件是MF向量与NF向量数量积等于0，要求的是三角形面积的最小值。那么如何有条件推出结论呢？对于条件我们可以进行如下转化，角度一，直角坐标法，在直角坐标系下将向量数量积等于零转化成坐标的形式。角图2，极坐标法，在极坐标系下设N点，坐标是揉一西塔，则M点是柔R西塔加二分之派。而对于三角形的面积，我们也可以得出相应的转化。在极坐标系下三角形的面积等于2分之1Z1乘以Z2。而在直角坐标系下，三角形的面积又有不同的形式。一可以表示成2分之1FM乘以FN2先求弦长MN再求点F到MN的距离D然后求出三角形的面积。三用向量的坐标来进行表示。由此我们就得出了本题的不同解法。首先角度一直角坐标法，根据三角形面积等于2分之1FM的长度乘以FN的长度，有第一小题求出抛物线方程。根据抛物线的定义不难得到FM和FN的坐标表示。那么如何设直线方程？又引出了两种不同的解法。若设为斜结社，我们可以得到解法一，同样反射直线方程我们可以得到解法二。接下来是具体的求解过程，解法一，设MN2点坐标，根据顶角等于90度，三角形的面积等于2分之1MF乘以NF这样用坐标表示。那么把直线设为斜截式，首先需要讨论的就是斜率不存在的情况。通过观察图不难发现，当MN斜率不存在，M与N关于X轴对称，此时也不难分析，当直线在F点左侧的时候，三角形面积最小，因为夹角等于90度，所以MF与NEF的斜率一个是一，一个是负一，不绑定直线。MF的斜率为一则MF为Y等于X减1。联立直线和抛物线，我们可以求出M点的坐标。我们发现有两个原因是直线与抛物线有两个交点，同理我们可以求出X4。根据刚才的分析。当X3和X4等于3减2倍根号二时，三角形的面积最小为12减8倍根号2。紧接着我们来看斜率存在的情况。当斜率存在，我们设MN为Y等于KX加M联立直线和抛物线得到关于X的1元2次方程。利用韦达定理可以得到两根之和和两根之积带入到直线，我们求出Y3乘以Y4，由已知条件下降的数量积等于0，我们将这里的X3X4，Y3Y4全部消掉，可以得到关于K与M的一个关系，进一步化简可以得到M平方加K平方加6KM等于4，同时三角形的面积我们也可以转化成K和M的关系。那么接下来如何来求面积的最小值问题呢？这是该解法的难点所在。对于最值问题，通常我们是转化成函数问题，或者借助基本不等式来进行求解，而本题用不等式很难奏效。进一步化解，我们可以发现三角形的面积可以化成这样其次的形式。进一步化简，我们可以得到面积等于K分之M的平方加二倍的K分之M再加一令T等于K分之M3角形的面积就可以表示成T的函数关系式。只要求出T的范围，既可以求出面积的取值范围，再由已知条件将等式两边同时除以K平方，我们可以得到关于T的不等式，由此得到T的取值范围，然后带入到面积，可以得到面积的取值范围是大于12减去八倍根号，所以三角形的面积最小值为12减去八倍根号2。解法一，计算量较大，对学生的数学运算、逻辑推理等素养要求较高，但这也是几题几何常用的一种解法。接下来我们来看解法二，反射直线方程。有几壳的直线MN的斜率不可能为零，所以可以设直线MN的方程为X等于MY加上N设MN2点坐标，联立直线和抛物线，消去X得到Y的1元2次方程，然后利用韦达定理得到两根之和和两根之积。那么接下来把条件进一步的进行转化，由于我们得到的是Y3和Y4的关系，所以我们消掉X3和X4带入到直线。我们可以将条件转化成Y3Y4的方程，利用韦达定理我们可以找到MNMN所满足的关系。同样三角形的面积等于二分之1MFNF等于2分之1X3加1乘以X4加1。同样我们消掉X3和X4，用Y3和Y4来表示，进一步的化简可得三角形的面积等于N减一的平方。那么N的范围又是多少呢？由新式可得N平方减去6N再加一大于等于0，也就求得N的取值范围，进而求出面积的最小值为12减去八倍根号。通过求解可以发现该解法大大简化了计算。接下来我们来看解法三，先求弦长，再求点到直线距离，用三角形的面积2分之1MND来进行求解，方程还是设为X等于MY加上N从解法二我们可以得到MN所满足的关系，然后求出N的取值范围，然后借助点到直线的距离得到D等于根号下一加M平方分之N减一的绝对值。接下来我们来求弦长MN消掉Y3和Y4得到弦长MN用小M小N表示如下，再借助刚才的等式，4M平方等于N平方减去4N加1，将第二个根号里边4M平方划掉就可以得到MN可以化简为二倍根号下一加M平方乘以N减一的绝对值。然后三角形的面积化简可得N减一的平方。以下同解法2，该解法也是圆锥曲线当中求三角形面积常用的一种解法。特别的当夹角不是90度的时候，我们通常采用该解法，解法是通过三角形面积坐标表示。首先我们来考虑一般性，在三角形ABC中，若AB向量和ac向量，则三角形的面积可以表示为2分之1。AB长度乘以AC长度，再乘以sine a将正弦转化成余弦，再将前面两个边长画到根号里面，就可以表示成向量的形式。这样用坐标表示为二分之1X1Y2减去X2Y1的绝对值，我们把它称作叫面积的坐标表示法。设M和N点坐标及直线方程，然后得到MFM向量和FN向量。用刚才的公式可以将三角形面积表示为这样，消掉横坐标X3和X4，面积可化为2分之1N减一的绝对值乘以Y3减Y4的绝对值。再利用韦达定理可将三角形的面积化为二倍的N减一的绝对值乘以根号下M平方加4。同样从解法二我们有条件得到M与N所满足的关系，消掉M平方我们可以得到三角形的面积是N减一的平方以下同解法2。接下来角度二极坐标法，以F为极点，以X轴为极轴，建立极坐标系。设抛物线上任意点N是柔西塔，由抛物线的定义可得柔倍的cosine西塔加上P等于柔，因此抛物线C的极坐标方程可以表示为柔等于一减cosine西塔分之2。设N点坐标为ROE seta因为夹角等于90度，所以M点为UR西塔加二分之派，带入到抛物线的极坐标方程，得到Z柔一和柔二的表达式，所以三角形的面积可以表示为，一减cosine西塔乘以1，加sine西塔分之2。去掉括号等于一，加sine西塔减去cosine西塔，减去sine西塔cosine西塔分之2。如何来求面积的取值范围呢？我们可以令T等于sine西塔减去cosine西塔，然后两边平方即可得到sine西塔乘以cosine西塔等于2分之1减T平方。所以三角形的面积可以用T来表示，化简为T加一的平方分之4。那如何来求T的范围？我们不否定西塔属于零到派，则T的取值范围也就是负一的根号2，所以三角形的面积大于等于12减去八倍根号。由此可见，接法五大大简化了计算，是为妙解二限制推广。推广一，将真题当中的抛物线换成一般形式，我们同样可以得到类似的结论。该证明过程与解法五类似，这里不再赘述。推广2，将抛物线换成椭圆，我们也可以得到类似的结论，求得三角形面积最小值为一平方加上二倍根号2，一加2分之1平方P平方。其中E是椭圆的离心率，P是右交点到右准线的距离。具体的证明过程与抛物线大致相同。需要说明的是椭圆的极坐标方程。这里有椭圆的DR定义，可得抛物线上的点到焦点的距离fn与到准线的距离D之比等于离心率E这里我们设焦点F到准线的距离PF等于小P索引D等于P减去U倍的cosine西塔。所以我们可以得到P减去UB的cosine西塔分之柔等于E化解得柔等于一加一倍的cosine西塔分子EP这是椭圆上任意一点的极坐标方程。接下来具体的证明过程如下。由于整个过程与抛线大致相同，所以不再详细说明。推论三，将抛物线换成双曲线，同样也有类似的结论。而且这里三角形面积的最小值与椭圆面积的最小值结构基本相同。证明过程同推广2。4、电视练习。我的说题到此结束，谢谢。