大家好，我是山东省胶州市第二中学的赵磊老师，讲解的题目是2023年全国甲卷第20题。该题已知抛物线Y方等于2PX与直线交于AB2点，弦长AB等于四倍的根下15，第一问求P的值，第二问F为抛物线的交点，MN为抛物线上两点向量，MF与NF的数量积等于0，求三角形MNF面积的最小值。同学们看到这道题可能会有所放松，其中涉及到弦长数量积等于0，三角形面积的最值都是较为常规较好翻译的问题。我们更多的精力就需要放在合适方法的选择上，以及其中的运算问题。下面我们对该题进行解析，第一问之前延长求P可迅速选择常规思路，联立韦达定理弦长公式。当然，我们知道直线与开口向右的抛物线联立时，消X留Y可简化运算。第二问我们最常规的思路是设动直线MN直取联力设动点MN的坐标。当然本题是面积问题，涉及到MF与NF的长度，也可用极坐标方程或敲半径公式来解决问题。下面对这4种思路进行一一展示。射线由于直线MN与X轴可垂直，但与Y轴不垂直，可设直线的横截距表达形式，即X等于MY加N避免讨论联立韦达接下来用向量的坐标运算处理数量级消X留Y此时消元可采用抛物线消元，较直线消元可简化运算，是而不求韦达定理整体代换可得到MN的关系。之后就是面积的处理环节，常用的三角形面积处理方式都可以解决问题。方式一，以弦长MN为底点，F到MN的距离设为D面积表达为2分之1MN乘地MN用弦长公式求解，考虑到D的分子出现了N减一的绝对值，对于MN式子当中的第二个根式进行处理，将其中的M方根据MN的关系进行消元，可整理出N减一差的绝对值，此时面积就是N减1X的平方。也可采用割补法求三角形面积，无论MN在X轴同侧还是异侧，面积都可表达为2分之1KF的长度，也就是N减一差的绝对值乘MN2点纵坐标差的绝对值，进而求出面积。方式3，可用两条直角边表达三角形面积，其中MF和NF的长度需用抛物线定义，转化为横坐标加二分之P继而沿用之前式子的处理方式，消X留Y维达代换消M方留N当然面积的向量公式也可以解决此题。经对比会发现，割补法表达在减轻计算量上更有优势。式子处理主要采用的是而不求思想和消炎法，面积等于N减一差的平方。最后一步就是求这个二次函数的最小值，这里我们先求定义域，同学们第一想到的应该是只取廉吏的方程，德耳塔大于0，保证直线MN与抛线交于不同的两点。但是从几何图形上看，N取任何值都会存在直线MN与剖线交于不同的两点。真正约束N的是向量MF与NF的数量积为零，也就是N方减6N加一等于4M方这个式子M方大于等于0。解N的1元2次不等式可求出N的范围，最终求出最值思路二设点，此时抛物线Y方等于4X通常可设点的坐标为四分之Y方Y采用整式设法可设为Y方2Y。这种思路与采用抛物线的参数方程是异曲同工的。接下来是向量的坐标表达，得到MN的关系式。此时面积的表示可以选第三种方式。面积式子当中出现了M方乘M方，M方加N方，根据MN的关系消元最终可以得到面积是关于M乘N的1元2次方程下求其最值同思路一，我们需要根据MN的关系找出M乘N的范围。有同学可能会思考将M方加N方用重要不等式M方加N方大于等于2MN转化就可以得到M乘N的范围吗？也有同学会思考，两侧同减2MN右侧配方为M减N差的平方大于等于0，不也可以解出M乘N吗？这两种方式是不可行的，因为这里MN是MN2点纵坐标的一半儿，M不等于N实际上M减N的差不等于0，但是M加N可以为零。我们可以将右侧配方为M加N和的平方即可，之后我们就可以求出M乘N或者直接求出M乘N加一的范围。思路三，借助抛物线的极坐标方程，我们以F为极点，X轴非负半轴为极轴，抛物线上的点到焦点的距离为柔，与X轴非负半轴的夹角为C塔。此时抛线上点可以表示为柔cosine西塔加一肉身西塔，代入抛物线方程，可得到柔和西塔的关系式，该式需要化简处理。我们观察到式子当中有四方西塔和cosine西塔，可将西方西塔转化为一，减去sine方西塔化为关于柔的1元2次方程，用十字相乘法可得其因式左侧因式为零，即可得到极坐标方程。此时M的极径柔一，也就是MF的长度等于2，比上一减cosine西塔，根据夹角二分之派，NF的长度可表示为二比上1加4西塔面积就可以求出。下面求该面积式子的最小值。方式一，观察分母中有sin西塔减cos西塔、森西塔、重口三西塔，我们可以利用sine方西塔加cosine方西塔等于一建立起联系，将其还原为二次函数，即令三西塔减cos西塔等于T此时三西塔乘cos西塔是2分之1减T方面积化为关于T的函数，即可求出最值。也可以用方式二分母一减cosine西塔乘1加sine西塔这种积的形式，借助基本不等式转化为和的形式之后就是三角求最值。方式三可观察式子，将分子分母同乘二分母中的二拆成一加sine方西塔，加cosine方西塔，此时分母就出现了六项，这六项可整理成一个二次三项式，再结合三角求最值。除此之外，也可以采用更为复杂的求导找最值。无论哪种方式都可以得到西塔等于4分之3派时，面积取到最小值。与极坐标方程异曲同工的是，使用二级结论抛物线的交半径公式来解决问题。先结合几何图形简单证明，将MF用抛物线的定义转化为MJ的长度，再转化为HE最终表达成P加MF乘cos西ta求出MF之后的求解思路与思路三是相同的，本题运用解析几何的常用方法坐标法解决问题。解法一，射线需精力，只取联力向量坐标运算求面积最值。解法二，设点只需经历向量坐标运算，求面积最值。解法34，极坐标搅拌经公式是直接求面积，但求解最值的难度依次增加，需对式子构成进行分析，结合换元、二次函数、基本不等式、三角函数、导数等解决最值问题。此题无所谓，虽有解，均需基础知识扎实且运算能力过关，对于这道题目，我们可以做进一步思考。思路三中，我们知道西塔等于4分之3派时，面积取到了最小值，这时候MN垂直于X轴，即叫MFN被X轴平分。是否对于抛物线而言均是角MFN被X轴平分时达到面积的最小值呢？我们设角MFN等于阿尔法，沿用思路三建立极坐标系。抛物线的极坐标方程可以设为柔等于P比上一减cosine西塔。此时MF和NF的长度均可以表示。面积的表达式中我们会发现要求面积的最小值，即求分母的最大值，对于分母积的形式，可用基本不等式化为和的形式，再对其中的cosine西塔加cosine西塔加阿尔法求最小值。对于这种同名三角函数相加，我们能想到和差化积公式转化为相乘的形式，进而求出最小值。我们会发现当西塔加二分之阿尔法等于派时，也就是阿尔法被焦点所在的对称轴平分时，面积是取到最小值。我们知道圆锥曲线有高度的统一性，也有统一的极坐标方程。沿用抛物线的证明思路，我们会发现该结论可由抛线推广到圆锥曲线，这是对本题的揭示。本题考察基本功，需平日教师与学生一同夯实基础知识基本问题，对基本考察点做分析梳理，对每一种处理方式的优劣之处有所比较，训练迅速提取信息、分析问题，锁定做题思路的能力，并通过动手实践掌握运算技巧，优化运算过程，提高运算效率。以上是我对该题的解析，谢谢观看，欢迎指正。