好，各位老师，各位同学大家好。今天我们给大家带来这个全国甲卷21题的这个试卷的一个分析。前面有很多老师已经对这个问题的处理方式有了很多的讲解。接下来我们也主要会从一些怎么样更好的去寻找这个问题的突破点，来对此做一个细致的一个处理。接下来由陈霞老师给大家带来我们的第一问的讲解，然后由周老师给大家带来我们第二问的第一种解法。我们的最常规的怎么样直接达到我们的最终结果的一个方向。最后由我给大家带来后续的一些处理。好，下面有请陈老师。这个。专业。皮。好，首先我们来看到第一小问当A等于8讨论FX的单调性。这是一个讨论具体函数单调性的问题。我们很容易想到直接对它求导，只是这个结构稍显复杂，所以我们求导的时候同学们要稍微耐心一些。好，我们得到导函数的结构如下。接下来我们的重点就是要研究导函数的正负。对这个式子而言并不能够很直观的得到它的正负，所以我们可以稍做一些处理。我们观察一下结构，它里面含有正弦、余弦，且都是二次或者是四次，也就是偶数次。那么我们可以考虑用到同角三角函数的基本关系，将其转换为只含正弦或只含余弦的结构。所以这里我们可以考虑将sine x的平方替换成一减cosine x的平方，那么此时式子里面只含还有余弦结构。好，那我们接下来继续对它进行通分，发现分母部分恒为正只需要研究分子的正负。所以我们可以继续构造新的函数GX。GX可以因式分解，再根据X的范围是0到2分之派，其中只有根号二倍cosine x减一需要讨论正负。好，这就是我们思路一的一个过程。以下是思路一的具体解法。其实我们在研究导数问题的时候，往往更愿意去研究一些整式结构。而这个原函数本身就出现了分式结构，那么能不能对函数本身先进行一些处理呢？我们看到这里出现了sine x除以sine x的结构，我们可以先转换为painter x好，再看这个式子里面有正切和余弦，而我们本身真有正切和余弦的一个这样的公式。就是我们在讲双曲线的时候也提到过这样一个公式，就是他直接建立了cosine x方和tangent x方之间的关系，所以我们可以将这里的cosine x方分之一直接进行替换。好，那接下来原函数就可以转换为这样的形式。接下来我们对变形以后的函数再进行求导，这里就会涉及到对正切的求导。我们知道正切的导函数是X方分之一，用以上的公式我们可以转换为T的X方加1，也就是说用正切直接来表达它的导函数。那么导函数求出来以后，结构是这样子的，再因式分解，其中X的范围是0到2分之派，只有一减T的X需要讨论正负。好，以下是我们思路二的具体过程。刚才讲到的思路一和思路二本质上都是用导数来研究函数的单调性。只是说在对这一类含有三角和导数的综合问题中，他可能会遇到一种困难。就是我们无论求多少次导数都会出现三角的结构。所以可能要用到一些三角的公式进行化解，使得它的结构稍微简洁一些。好，但是最终都是回归到我们的用导数确定单调性的具体操作。上好，以上是我们对第一小题的一个分解，接下来有请周老师给大家分享第二小问。好的，下面我们来看第二小问。这个第二小问它是一个不等式的问题。首先我们把这个不等式给它具体的展开，它可以写成这个样子，这是我们所熟知的一类问题，也就是恒成立求参数的取值范围。根据这样的一个问题，我们会有两个大的方向。我们的第一个策略是直接去讨论，我们的第二个策略是参变分离。下面我就来讲解一下第一个直接讨论中的最常规的那种思路。好，我们先把不等式的所有内容给它挪到一边去做成一个函数。我们把这个函数设为GX那么我们现在目标就变为了求解这个GX大于零恒成立的问题。而恒成立问题我们可以转化为最值问题，也就是我们红色的这一部分。好，我们现在就对这个GX进行求导，并且通分它长这个样子。那么求导以后我们发现它的形式非常的复杂，于是我们就想关注它的分子部分，因为分子就是这个导函数的正负的符号。好，所以我们把它框出来，我们把整个分子设为HX那么它的正负是什么样的呢？我们由第一问的启发可以先进行一个换元，这样使得结构更加的简洁。在进行换元以后，T等于cosine x的平方，我们就把目标函数的导函数的分子变为了斐T这样一个简洁的结构。它是一个三次函数，我们要研究这个三次函数的正负，那么我们就要分析这个三次函数。好，我们具体来看分析。首先这个三次函数我们想到的是算一算它的端点，比如说Y0、Y一它的两个端点，我们发现左端点是固定的一个值，而右端点随着参数的变化在变化。接下来我们对这个fighting再进行一次求导，我们再看一看它的内部结构。那么fight t求导以后是一个二次函数，这个二次函数左端点也是固定的，是一个负的值。而右端点很有意思，它和斐一和我们原函数它的一处的这个端点值是同负的，它是一个成倍数的结构。那么这个端点它们俩之间有什么样的关系呢？我们可以想到三次函数的图像我们是比较清楚的，而它的图像具体什么样和它的导函数这个二次函数又有关系。他们的端点既然又是同正同负的，于是我们就想到我们的分类的依据，就从这个端点的正负出发进行一个研究。我们从这个局部去反推我们的这个三次函数到底长什么样。所以我们分为以下两种情况进行分类讨论。第一个是负一小于0，第二个是斐一大于等于0。当然等于零是非常好算的，所以我们把它归纳入大于零这个情况。好，接下来我们看第一种情形。假如我们的翡的右端点它是小于零的，也就是A大于3。那么于是我们的这个二次函数，也就是匪的导函数，它开口向上，它的对称轴是大于零的。而它的左端点我们知道是固定的，是负的，右端点也是负的。你看同负就是用到了这样的一个东西。于是我们可以把匪气的导函数FT飘画出来，如左边的这个棕色的函数图所示，那么它都是负的，于是我们的fact就是单调递减的。既然单调递减，我们就可以把3T的左右端点连起来。好，然后我们再回到我们目标函数的导函数。因为我们目标函数导函数的分子它是一个复合的函数，它由YT和T等于cosine x平方复合而成，而T等于cosine x的平方是一个递减的函数。所以复合以后我们知道HX实际上是递增的。HX是我们目标函数导函数的分子，所以我们目标函数GX的导函数它也是递增的。HX的图像如图，而我们GPX先负后正，所以GX是先减后增的。这个时候我们回到我们的目标函数G0等于0，我们算一算左端点的值，而GX先减后增就意味着GX在从左端点出发的一小段路程之中，它小于零了，它和我们目标不一致，如我们框出来的部分。所以这个情况就不能取会得到矛盾。那么我们再来看第二个情况，第二个情况就是右端点大于等于0。那么我们像第一个情况一样，先去计算一下fighting，我们会发现FT开口向上，对称轴就在0到1之间，且左端点固定为负，右端点为正。所以斐T1飘，它的导函数是可以画出来的，如棕色的图像所示。于是我们反推回five t它是先解后增的，并且我们的左右端点它都是非负的。好，现在我们就想象，我们这个YT它到底是一直在T轴的上方，还是说会有一部分掉到了T轴的下方呢？这个时候我们就会想到它的导函数有一个引领点，这个引领点实际上就是我们fight t的最小值。好，所以我们来求一求这个引零点。我们首先设篚T等于0，引零点我们设为T0，我们会得到这样一个式子。处理引领点的标准方法是我们把含有我们要求的那个未知的参数A的那一部分，我们把它给代换掉，我们把这一部分给它代替代换掉。于是我们会发现其实这一部分和原来的IT这个函数里面的一部分结构上保持了一致，所以我们可以把这一部分给它替换掉。于是我们回到YT我们会发现替换掉以后的这个结构，它还是一个三次函数，也就如图所示，负二倍的T0的3次方减T0加上三这个东西，由于T0属于0到1，所以我们这个东西整体是大于等于零的这也就意味着我们的这个YT它一直就在T轴上方，或者正好等于0。于是我们的由情形一，我们就知道我们的目标函数，即它的导函数是在是一直是第三的，所以我们的GX是第三的，于是从G的左端点出发，它一定会大于0，这就是我我们的详细的解法。那么我们把解法呈现如下。好，这是我们第一种通法的一个思维导图。接下来就请杨老师为我们讲解余下的各种方法。好，谢谢大家。其实刚才在我们这个过程中，大家也看到，我们在处理我们这个函数的时候，最后发现始终是走到了我们的一个在考虑端点的情况。所以回到我们前面来说，在直接讨论过程我们本身来讲，也可以直接考虑函数的端点来加以处理。我们将GX得到这个32X减FX之后，目标其实就是要找我们的X在0到2分之派的时候，GX要恒大于0。对于这一问题来讲，直接考虑我们的函数端点值之后，得到G0是等于零的。稍微处理一下，发现在X处趋于我们的二分之派的时候，第一个式子是等于零的。第二个式子是上边是一下是接近0，所以整个是趋于无穷大。所以我们大概想得到它应该来说端点是可能可行的。因为端点效应往往来说用起来是比较担忧的对这样找到一个，这时候我们不妨把我们的端点设函数的时候处理一下，把零代入我们的函数当中，因为整个函数应该是一直连续的。接下来我们就来画图，在零的时候为零，函数又要横为正。那一画出来它只能是这样不断往上走的一个结构。这就告诉我们函数的导函数在零这一点，应该来说要是一个单调，要是一个为正的情况。这就得到了我们的第一个我们的一个范围，得到A小于等于0的时候应该是必须的。但是这样一个说明过程，并不能够让我们很好的在试卷当中去呈现它。所以我们还需要通过一定的严格的论述来证明这一结论。特别是这里用到了我们G导X在区间0到2分之派上是连续的。所以它应该在我们大家知道的一个保号性原理，它会使得在一部分区域内都是恒为，这个都是恒为我们都是负的，这样就会导致我们的函数在X0处必然是小于0，这是导致矛盾的一个必要环节，所以这是我们得到我们的必要性。那接下来有了这个必要性当然是不够的，因为我们知道函数依旧可以有这两种变化形式，怎么样来处理它呢？我们其实要做的就是去尝试证明这个充分性条件一也就是说当A小于等于三的时候，对任意的X在这个范围都有我们的不等式是大于等于0。好，这样一转换之后，问题就变得简单多了。首先我们注意到这儿是一个独立的双变量。既然是独立双变量，我们就应该考虑的是我们的主元法消元。而这一个不等式本身来讲，A是只是一个依次为一次函数的形式。所以就可以让它直接大于等于我们的这个32X加3X除以cosine立方，再减去一个3X然后只要证明这个不等式大于0，那么方向就是可以做的了。而这个不等式的证明本身就是一个非常有难度的问题。接下来我们从两个角度来考虑这个单变量不等式的一个证明。第一个构造函数，这一点在其他的前面的一些队伍，当他们也提到了这个方法，我们这里就简单说明一下。直接将GX设出来之后，对G0等于零之后，对它进行一个求导分析。那么后面通过对上面式子的一个变形，就可以得到我们三次函数的一个形状。整体结构就很简单。好，就可以得到我们的整个一个归路归纳整个一个过程。这个过程应该来说是比较容易想到的，直接构造式的一个函数单变量的一个处理。这是我们的一个解答过程。第二个问题，对于这个问题，其实刚才在我们的陈老师那边已经提到了，我们可以将函数做一个很有意思的变形，也就是不等式放缩之后把它转化为正切。为什么我们这里会想到要把我们的两个式子转化为正切？其核心在于我们的昨天其实也有老师提到我们使用万能公式处理的时候，我不知道同学们有没有感觉到很奇怪。我们万能公式是在高中涨了，但是基本上很少用到它。因为这个公式基本上是在我们大学的时候解决不定积分里面非常常用的一种方式，可以把三角函数转化为一个最为简单的一个线性的一个有理函数结构。这里也是我们通过我们的变形，把我们的分式结构转化为我们的tangent的一个线性结构。那接下来就可以联想我们的切线不等式，而切线不等式这里它的核心背景就是一个泰勒展开。我们可以看到尝试如果我们用32X小于X3X小于X这个地方方向是不对的。我们的目标是要证明右边的这个式子是大于0。所以必须要考虑利用我们的泰勒的第二节展开，得到32X大于2X减去6分之2X的立方，利用这个方向来做。接下来我们再来看tent x怎么样去放。第一个想法自然是把tangent x直接利用tangent x大于X来做，那么tangent立方就大于X立方旁边的tangent x也就直接大于X代入原式一尝试发现得到我们这一大堆对它进行运算之后，发现是一个负的3分之1X立方，我们并不能得到它是一个大于零的式子，所以这里告诉放缩应该是有点过头了。那什么原因会过头？注意观察到这儿，其实最后这个结构刚好是一个负的3分之1X立方，而tangent x的泰勒展开结构就有一个三分之X立方。所以我们告诉我们，应该来讲在我们的tangent的X这一块，应该可以把它放的多一下，这样就可以使我们最后的式子直接放成一个零，这一个过程其实是我们对泰勒展开的一个熟悉的应用。但也告诉我们在使用泰勒展开。如果我们对泰勒展开是不够熟悉，甚至对天津X的展开是如果不是很清晰的话，那么很有可能在这个题上面会遇到极大的阻碍。因为会发现前面怎么放缩都得不到最后的结果。当然泰勒展开的意义，并不是说让我们在解答过程中直接用，而在于让我们可以去构造证明的不等式。于是有了这个想法之后，我们只要证明32X大于2X减43分之4X立方，并且证明tangent的立方X大于X立方，tangent的X大于X加上三分之X立方这三个不等式之后，就可以直接得到我们的充分性结果。好，所以这是我们对于第二个必要性。探路这一块儿其实在整个后面的这个不等式的证明上是有比较大的困难的。第这是我们的这种方法。接下来我们看一下策略二，参变分离。这个题用参变分离其实确实是比较麻烦，但是通过结合我们的参面分离，可以找到我们很好的一个思路。我们来看一下，首先全分餐，对原函数进行全分餐之后，我们得到要证明A是小于右边这一大块式子。对这个式子来讲，我们要求它的最小值心中是肯定很忐忑的，包括这个式子的单调性并不是我们想要去做的。于是我们可以转一条路使用半分餐来使。在半分餐过程中我们知道是要证明AX小于这一大堆。那么第一个想法就是求切线。切线在这里可以看到左边的这个式子的切线是极其难以处理的，所以并不是我们愿意去考虑的一个事情。那么我们考虑什么呢？放松，线性化。同样的我们把左边的这一个复杂的有理式结构，把它转化成我们的一个还有tangent和32X的一个三角函数结构。这里就继续用到我们上面说到的泰勒展开的这一种性质来熟悉。可以把前面的这一大堆式子进行一个放缩，得到我们的sine x要我们的32X加3的立方，再加天天大于等于3X的。那么这个就告诉我们，如果说我们的A是小于三的，小于等于三的那不等式它一定会成立。那这就得到了我们的一个充分性条件。同样B必要性怎么考虑是否A大于三是我们充A小于等于三是充分的。我们就要看A小于三的时候，但小于三并不好验证怎么办呢？我们注意到刚刚在分析全分餐的时候，其实我们这里可以使用洛必达来考虑一下我们的端点情况。于是我可以把当X趋于零的时候，HX的极限值，以及X趋于二分之派的时候HX极限值做一个研究。我们会很快发现使用洛必达法则，HX是在X趋于0的时候是等于三的那这就意味着如果我们的A是大于3，我必然不可能得到A是小于HX恒成立这样就结合着全分餐和半分餐两种途径，找到了我们的这一个分界点。当然最后的证明过程，我们依旧是需要通过我们严格的证明必要性策略的方法来对他进行处理。好，这就是我们在这一个地方提到的这几种方法。但其实我们这里可以看到，在我们使用的探索的过程中，发现是经常使用到我们的这一个cosine方X等于tent方X加1。这个过程其实是我们在大学里面处理三角函数的原函数的时候经常用到的一个方法。结合我们其实现在很多高考的出题老师，他也是大学老师。所以我觉得我们其实有必要在日常的学习过程中，去熟悉一些这种大学的一些知识方法、技巧。这样对我们在进行一些问题的思考和探索过程中是会很有帮助的。好，这就是我们的一个分享，谢谢大家。