各位专家，各位老师，各位同学，大家上午好。我们是四川省双流中学代表队。我们讲解的题目是2023年全国甲卷21题。下面有请陆老师给大家带来前半部分的讲解。好，我们首先先来看一下真题。这是一道以三角函数为背景，导数与其积相结合，主要考察函数的单调性以及其不等式恒成立的一个相关问题。此类问题具有一个综合性强、难度大且解其思路广的特点。好，此类问题深入考察了一个分类讨论化归与转化的一个思想，对于学生思维的一个条理性以及严谨性具有较高的一个要求。我们下面将从以下四个视角7种思路对本题进行一个解析。首先先来看一下第一小问，第一小问是当A等于80求函数的一个单调性，直接对原函数进行一个求导，然后代入参数A等于80即可求得。主要考察一个导数的一个基本运算，难度不大好。接下来是第二问的一个思维导图，原函数的一个恒成立问题。我们将可以从以下四个视角进行一个解析。首先是分类讨论，必要性探路以及统一函数名称及其参变分离等四个视角。首先先来看0.41元的一个分类讨论视角，我们可以将原问题进行一个等价转化讨论，其导函数的一个单调性及其取值范围随之确定一个分类讨论的一个标准，即当A小于等于三时和当A大于三时。接下来是一个必要性探路，我们可以从端点效应、不等式、放缩以及重要极限三个处理方面进行一个思考。然后首先是端点效应，我们观察到原函数G0等于0。如果说要使GX在0到2分之派上恒为正的话，我们必定当X小于等于0的时候的导数值3减A大于等于0，即可将参数A的范围进行进一步缩小。接下来是啊不等式方说我们观察到当X在0到2分之派时，有一个重要不等式sin x小于X恒成立。然后对原不等式进行一个适当的一个化简，然后化简成不等号，右边是含有cos x的一个函数，也可以得到原问题成立的一个必要性条件。好，第三个是一个重要极限，我们观察对原不等式进行一个适当的一个等价变形，然后利用函数的一个连续性，对不等式的两边同时取重要极限，也可以得到原问题成立的一个必要性条件。但是以上的三个是三个处理方法都还需要验证企业充分性。好，接下来是一个视角，三统一函数名称的一个视角，处理方法可以从思路四和思路一好。最后一个是参变分离的一个视角，我们将原问题进行一个等价变形过后，可以观察其不等号右侧的函数的一个性质，得到其的一个几何背景。即HX在0到2分之派上是单调递增，是一个下凸函数，也可以得到参数A的一个范围。除此之外我们还可以进行一个参变分离，讨论A小于X分之HX也就是转化为一个恒成立问题，讨论HX分之HX的一个最值问题。然后再利用导数的一个定义，然后求得其参数A的范围。好，综上问题得到一个解决。首先先来看第一个讨论视角，直接分类讨论的视角。好，我们对原函数jx进行一个求导，然后换元求导，换元T等于cosine x平方，然后再将企业原函数转化为一个多项式函数ST然后接下来再对ST判断其一个单调性及其取值范围，得出ST是属于3减A到正无穷。然后随之得到一个分类讨论的标准，即当A小于等于三时，GX的导数也就是ST是大于零的，GX大于G0等于0，符合题意。当A大于三时，我们判断出S1小于0，SA分之一大于0。那根据函数零点存在定理，那必定存在一个T0是属于A分之1到1，使得ST0是等于零的。那么T0也就是一个以零点然后随之对随着对函数GX进行一个讨论，其单调性，然后判断其GX在零到X0上是单调递减。GX小于G0等于零与条件是矛盾的，不符合题意，综上所述，我们得到了一个实数A的一个取值范围，是A小于等于3。此种解法我们进行一个简单总结的话，此种解法中的一个分类讨论的标准确定自然合理，学生易于理解和操作。好，接下来是第二个处理思路，必要性探路一端点效应。而我们同样。对原函数。进行一个求导过后，我们观察到即零等于0，也就是即在端点处可以取得等号满足端点效应的一个前提。如果说要使GX大于0，在0到2分之派上恒成立的话，那也就必须满。如当X趋于等于0的时候的一个导数值大于等于0，即解得A小于等于3。接下来即也转化成了一个验证器充分性的一个问题，转化为此的一个恒成立问题。接下来讨论企业一个充分性的一个证明。充分性证明比较简单，直接对GX函数进行一个求导，然后即可轻松求证。综上所述说A小于等于3，对此方法进行一个简单的总结，是观察到G0等于0，要使GX在原点右侧附近要恒恒成立的话，利用端点效应，那么也就是GX在X等于0的时候的一个瞬时变化率，即导数值大于0，得到问题成立的一个必要性条件，再对充分性进行一个检验。好，接下来是第三个处理思路，必要性探路二不等式放缩，同样当A小于等于零时显然成立。当A大于零时，利用当X在0到2分之派时，有X大于sine x的这样一个重要不等式。然后对不等式两边进行一个处理，然后约分除以sine x约分，然后得到A小于这样的一个不等式式子。然后不等号右边只含有cosine x的一个函数，进行再进行一个参变分离，唱片分离过后进行换元，得到一个函数SX然后再判断SX的一个单调性，缩小一个参数A的一个取值范围，A大于0小于等于3，即综上所述，那A是小于等于三的。但是也还是需要在此之前判断其一个充分性的成立问题，同样是利用思路二的一个证明过程，也可以轻松求证。好，对此方法进行一个简单总结。利用不等式方法很难直接求出范围，但是可以利用这样的一个重要不等式，也就当X在零的二分之派时，sine x小于X很成立的一个重要不等式，然后进行一个约分过后实现参面分离，然后也就比较轻松能将参数A的范围进行缩小。好，接下来是第三个处理思路。第四个处理思路，重要极限对原不等式的左右两边，然后考虑其函数的一个连续性，左右两边同时除以sin x然后再取一个重要极限，再取重要极限，然后观察到其他函数在零到正无穷上也是一个连续性的。然后结合这样的一个重要极限，可以得到原函数成立的一个必要性条件A小于等于3，接着再验证其充分性即可。好，此方法是不是仍然从必要性条件入手？不等式恒成立两边可以取极限，但是如果说我们两边同时取，直接取极限的话，两边均为零。所以两边可以除以X或sin x再取极限，得到原问题成立的一个必要性条件，验证其充分性。好，下面补充一个充分性的另外一个一个证明过程。我们将原原不等式的不等号右侧的函数部分进行一个切换权，然后再利用麦克劳林级数轻松可以得到X大于3X大于X减6分之X的3次方，以及tangent x大于X加三分之X的3次方。然后将原问题进行一个适当的放缩再代入求得，然后将再代入求的A也是同样是小于等于。三好，我的部分的解析到此结束，接下来有请李晓波老师继续为大家进行解析。好，老师们，我们继续来看这个题目的其他的一些视角。我们视角三就是从统一函数名称的视角，我们可以有这样几种思路。其次处理化险为夷。我们将这个式子整理，将IX单独保留在左边。我们观察右侧，右侧有正弦有余弦，但是它的次数并不统一，所以说我们可以做一个其次化的处理，将正弦和余弦统一成我们的正切。那么接下来我们又有两种处理方式。第一种处理方式我们观察到0到2分之派上正切函数探监的X恒为正，所以我们在两边同时除一个tangent AK4。我们类比前面思路四的做法，我们可以两边取极限，我们根据函数的连续性求得它的极限值A小于等于3。这个东西仍然是我们原来这个不等式恒成立的一个必要条件。后面充分性的验证跟前面是一样的。第二种处理方法，我们可以这样化为正切过后，我们做构造这样一个差函数，用导数进行处理，两边求导。那么求出导数过后，我们可以进行适当的整理，观察出一家碳减的X方，这个大于一，我们可以把它视为一个整体。换元，然后我们GPX就可以化成我们的ST，然后再用导数去分析ST的取值范围是三减A到正无穷，这就是我们原来的GPX取值范围。那么这个地方我们就找到一个分类的标准，就是以3减A与零进行大小讨论。这个和我们前面的思路一就完全是一样的了。这种解法我们是将右侧的三角部分做齐，四边形，将正弦余弦同一成正切，然后利用我们一个极限得到不等式成立的一个必要条件。在我们本质上和思路是一样的。而我们处理二，我们是直接用导数进行分析。我们观察出一加碳键的X方等于cosine x方分之一。其实处理二和我们的思路一本质上是一样的。我们的思路一是cosine x方另外一个新的变量，而我们这个地方是cosine x方分之一，也就是一加tangent 1次方做一个新的变量。然后我们的视角是参变分离的视角。思路六就是参变分离之不完全分离，这也是我们学生最容易想到的一些视角。我们把这个AX单独保留在左边，它表示一个过原点的一条动直线。右侧我们把它记为是HX下面我们就需要分析右侧函数这个HX它的几何特征。我们可以从图形上进行分析。我们首先第一步实现取值分离，对右侧函数进行求导数。我们可以发现在0到2分之派上这个导数值为正，所以单调递增。那么进一步再求出二阶导数容易地球的在0到2分之派上二阶导数也是为正的，这个非常好判断。从而这个原函数HX在0到2分之派上，它就是一个下图函数。从而我们就能够得到HX这个关键这个比较复杂的函数的图像特征。我们画出它的图像，我们在数形结合结合图像考察HX在X等于零处的切线方程正好是Y等于3X所以我们结合图像可以得到A小于等于三这个取值范围。其实我们这种方法，通过取值分离过后，其实我们得到了这个题的一个几何背景。因为优质的HX在0到2分之派上单调递增，绮为下突。所以说Y等于IX，它这个增长率是一个定值，它是个一次性函数。那么这个时候我们这个增长率，而且这个增长率是越来越大，所以说他们在原点的初始值又都是零。所以说我们要使得圆不等于是恒成立，那我们只需要HX在零处的导数值大于等于0，Y等于AAX在零处的导数值即A就可以了。这个第七种思路，我们是通过参变分离，是完全分离，就是把这个地方的A单独保留在左边，这也是我们学生最容易想到的一种做法。但是这种做法，我们右侧这个函数比较复杂，形式比较复杂，不容易分析。在尝试过后，如果我们常见的思路就是用导数进行分析，我们会发现一是导数比较难求，二我们这个导数的符号更是比较难判断，那我们怎么来处理这个问题呢？还是要从右侧这个函数的结构入手，我们把分值记成一个新的函数HX那么我们就出现X分之HX，就想办法求右侧这个函数的它的取值范围，或者是看它是否有最值。这个用导数我们尝试过后比较复杂，那么观察这个结构应该说是我们是比较熟悉的一个结构，我们非常容易跟我们的斜率公式联系到一起。分母我们不妨减一个0，那配置斜率的结构，我们就尝试计算H0，那么算出H0正好又等于0。所以说我们可以把这个式子进行一个一个改写，一个整理，其实我们就得到了这个式子的一个几何解释，它就是我们在这个OA这条线它的斜率。那么后面我们又有两种处理方法。第一种处理方法，我们前面已经讨论出HX在0到2分之派上，在0到20分之外它是递增的，并且是下图的。那么这个时候我们基于这个图像这个OA的斜率怎么处理呢？我们可以通过平移，平移至跟我们这条线相切到我们虚线这个位置，平移至跟它相切，我们到这个虚线这个位置。那么这个时候我们就可以把OA的斜率，也就是右侧这个函数的函数值X分之HAX转化成这条切线的斜率。那我们表示出来了，就是存在0到2分之派上的一个M使得M处的导数值就等于右侧的X分之HX我们再结合X在0到2分之派的任意性，从而我们就将这个M也具有任意性，其实我们就可以将这个右侧函数转化成导数的取值范围。这个其实涉及到我们一些高等数学当中的一些一个定理，拉格朗日中值定理，这是第一种处理方式。第二种处理方式，第二问就是我们具体求，后面就是具体求这个导函数取值范围的一个过程。这我们简单看一下就行了，跟前面大致类似。第二种处理过程，我们就想，右侧这个X分之XX可不可以直接求它的取值范围呢？怎么来直接求它的取值范围呢？我们用导数去尝试比较复杂。这个时候我们仍然是抓住这个结构，仍然抓住结果。我们去分析右侧函数的单调性，我们回到定义当中去分析右侧函数的单调性。这个时候，我们在0到2分之派上任取两个自变量，不妨设X1小于X2。我们带进去求得这个右侧的X1和X2所对应的函数值。同样也是要利用这个结构，我们就可以把它转化成我们这个地方的斜率OAA和OB的斜率。根据我们前面思路六的分析，这个函数0到2分之派上递增且下突。那么这个时候我们这个时候仍然要基于这个图像可以得到OA的斜率是要小于OB的斜率的。所以说在X1小于X2时，那么X一所对应的函数值就是要小于大FX2所谓的函数值。那么我们基于图像，基于函数单调性的定义，我们就得到了右侧函数，它是一个增函数，它是一个增函数，那么再结合X的范围在0到2分之派上，所以说我们就可以求得右侧X分之HX的取值范围。取值范围我们只需要求出它的下垂键就可以了。它的那么这个时候，它的就是它的极限值，它的右极限我们带进来过后，其实可以用导数的定义，就得到零处的导数正好是3，所以A应该小于等于三就可以了。那么这几种处理方式，如果说我们采用参面分离，求最值处理恒成立思路比较简单，思路比较简单，运算量比较复杂，比较大，导函数的符号相当难判断，学生在有限的时间内是很难处理的。我认为这正是我们出题人在反套路、反机械刷题上下足了功夫。事实上我们在参变分离得到A小于X分之HX时候，怎样求右侧这个取值范围，这是一个关键。这里边它其实我们要基于这个式子的结构，和我们常见的这个斜率的结构联系到一起。不管是我们记住高等数学里边的拉格朗日中值定理，还是记住我们刚才的图像单调性，第一题分析单调性都是基于这个HX递增与下图以及市值本身的结构来决定的这是我们前面的几种解法。我们基于这个题，我们给了两个辨识训练。第一个辨识训练，我们是构造这样一个差函数作为GAKS。我们讨论它在负二分之派到2分之派上的零点个数。这个地方要求我们学生呢要能够认识这个函数的特征，它是奇函数，它是具有对称性的。所以说我们讨论零点个数，我们就可以转化成只讨论一侧。但我们还加上这个地方的零本来就是一个零点，后面就可以大大的简化这个运算。第二个便是我们构造了这样一个题目，就是用而且上面的这个GAX在产一个X我们说X等于零是这个函数的一个极小值点，那我们求A的取值范围，这个仍然是要求学生能够认识出我们这个函数的结构特征。前面为奇函数，后面也是奇函数。整个HAKS它是一个偶函数。那么这个时候我们再结合极小值点的定义，将整个H0正好也等于0。所以说我们就等价的可以转化成和我们原始是一样的。就是说前半部分这个GX前半部分，它应该在零到delta上德耳塔大于零的某一个范围上是恒为正的。就转化成为原题当中的恒成的问题，这么要求对极小值的概念要非常的清楚，这要求我们的学生这种对称意识划归转化的意识要非常的清楚。我们在二三年全国新高考二卷的22题，我们二三年成都三诊的21题，均是我们编12这种结构或者编十一这种结构。最后一点就是我们的一个简单的教学建议。近年来为了有助于创新人才的选拔，高考试题越来越注重对学生核心素养的考察。是你往往注重反套路，反机械刷题。所以说我们想通过题海战术获得高分的时代应该是一去不复返了。就提醒我们教师在平时教学当中需要做好这种考教衔接。一方面我们要关注高考真题，通过真题把握我们的考点，把握我们的教学方向，充分发挥我们高考试题的这个教学价值。而另一方面，我们要关注课堂，打造高效课堂。除了上课传授知识以外，我们更要以学习者为中心，提高学生的核心素养为目的，以培养学生深度思考、自主探究的能力为主，坚决要避免机械的、无效的教育学。在减轻学生学业负担的同时，做好创新人才的培养工作，助力国家双减政策的落地，我们的讲解就到这个地方，不妥之处请大家批评指正，谢谢大家。