各位专家，各位老师，大家好。我们是来自四川省双流中学的吴宣良。吴贤红。今天带给大家的标题是聚焦椭圆与三角，数学算理与算法。2023年甲卷理科第12题。探究、厚德、励志、求真、笃行是双流中学的校训。在此感谢各位专家老师的到来。本次的分享共分为六个部分，我们首先来看试题呈现，已知椭圆九分之X的平方加上六分之Y方等于一，F1F2为椭圆两个焦点，O点为原点，P为椭圆上一点。已知cosine角F1PF2等于5分之3，要我们求OP的长度。波利亚告诉我们，解题的第一步是读懂题意，了解题目的已知条件、未知条件，通过观察、分析、画图等，把文字、图形符号等信息正确的接收下来。原题中P为椭圆上一点，可以得到在三角形F1PF2中有PF1加PF2等于6，而cosine角F1PF2等于5分之3，相当于给出了角F1PF2的大小。又由于F1F2的长度已知，最终要我们求中线长OP因此可以将本题转化为在一个三角形中已知两边之和，一边及其对角求三角形中线的问题。将题目转化为一个解三角形问题之后，我们可以得到三个大的思路。第一，这是一个解三角形问题，由此我们可以很自然联想到正弦定理与余弦定理。第二，几何问题，在高中阶段我们通常是利用代数和几何相结合的方式进行研究的。那么代数与几何相结合的桥梁是什么呢？很自然联想到第一向量，第二间隙。由这三个大的思路，我们得到了如图所示的思维导图，具体的解法后面会大家一一解析。接下来我们来看试题评析思路。一，余弦定理，利用椭圆的定义以及余弦定理可以直接求解出PF1和PF2的长度。再利用一次余弦定理列方程即可求解出PO的值。由椭圆的几何性质得到一式，由余弦定理得到二式，联立一二式马上可以解得PF1和PF2的长度分别为三加二分之根号6和3减2分之根号6。又由于角POF1与角POF2互补，因此两者的余弦值互为相反数，得到方程解方程马上可以得到PO的长度为二分之根号30。实际上在必修二的课后习题中，中线公式已经是明确给出的。因此学生也可以直接利用公线长中线长公式进行求解。OP等于2分之12倍的PF1的平方加PF2的平方减去F1F2的平方。与解法一类似，联立一式与二式容易解得PF1的平方加PF2的平方等于21。代入中心和公式马上可以求解出PO的长度为二分之根号30。要用向量与该题相结合的话，那向量与中线的关系是什么呢？我们自然的联想到向量的加法与中线是有密切关系的。由此PO向量等于2分之1，PF1向量加PF2向量，再去求解PO向量的模长即可。最终和前面的解法类似，还是联立一式二和2式，将根号下的这些数值全部都能计算出来，进而带入进行求解，最后算出来的结果也是二分之根号33。除了向量加法以外，极化恒等式也是我们利用向量解决中线问题的基本思路。所以思路1.4我们可以利用极化恒等式进行求解。那么PF1点乘PF2等于PO的平方减去4分之1F1F2的平方，那么再去求解这个PO的长度就是很容易的了。接下来是大的思路二正弦定理。由于F1F2的长度以及角F1PF2是定值。那由这两个条件，我们第一由于正确定理可以解出这个三角形它的外接圆半径，并且这个外接圆的圆心位置实际上也是可以解求解出来的。进而联立与椭圆的方程，我们可以得到P点的坐标，进而求解出OP。这里如图所示，由于F1与F1F2等于二倍根号叁角，F1PF2为定值。由这两个条件我们知道，实际上P点的轨迹是如图所示的两段圆弧，它们的半径由正弦定理为4分之5倍根号三圆心的位置很容易知道是在Y轴上的，它们与X轴的距离是4分之3倍根号3，由此可以得到两段圆弧它们的方程为X的平方加上Y正-4分之3倍根号3的平方等于16分之75。进而联立椭圆方程，求解出P点的坐标，实际上有4个P点，进而求解出OP的长度。第三个大的思路和刚才思路二是类似的。我们可以通过直接在直角坐标系中求解出P点坐标的方式去求解OP的长度。这里可以直接设出点P的坐标为三倍cosine西塔根号6 sine西塔，直接写出PF1向量与PF2向量的坐标，再由5分之3等于向量的数量积除以两个向量的模长之积化简，马上得到二倍的cosine西塔的4次方，加上13倍cosine西塔的平方减7等于0，由此求出cosine西塔的平方的值和sine西塔平方的值，再代入可以求出OP的长度。在本题中三角形F1PF2是一个焦点三角形。那么焦点三角形的二级结论也有很多，比如焦点三角形的面积公式，这里利用焦点三角形面积公式同样可以帮助我们求解出P点的坐标，进而求解出OP的长度。假设角F1PF2等于二倍西塔，P点的坐标为X0Y0，马上容易解得tangent西塔等于2分之1。由三角焦点三角形面积公式，面积等于B方乘以tangent西塔等于3。那么三角形的面积还可以用一种表示方法，也就是三角形的面积S等于二分之1F1F2点乘以Y0的绝对值等于3，马上可以解出Y0的平方等于三又由于P点在椭圆上，因此X0的平方马上可以解出等于2分之9，进而PO的长度等于根号下，X0的平方加上Y0的平方等于二分之根号30。以上是本题的一些解法的解析，这里做一个解题的反思小结。本题以圆锥曲线为背景，实际本质是一个解三角形问题，解题思路丰富，既可以从常用的解三角形的方法，比如正、余弦定理入手，也可以将该平面几何问题转化为向量问题，或者是放在直角坐标系中进行研究，充分体现了新高考命题灵活考察学生迁移能力和核心素养的特点。接下来的内容由吴学红老师给大家分享。接下来由我给大家介绍一下本题的两个背景。寻找高考数学数学试题的生长点，命题背景探究题源，挖掘命题的题根，有利于我们把握高考命题的风向标。下面介绍一下本题的两个数学背景溯源一爪形三角形与斯特瓦尔特定理。爪形三角形实际上是我们高中阶段常见的命题模型之一。从几何角度上看，我们角APB和角APC这两个角是互补的，因此它们的余弦值之和为零，可以利用余弦定理来求解。那从销量角度上看，那点BPC3个点是共线的，因此由我们的这个向量AP等于拉姆达倍的向量AB加上一减拉姆达倍的向量AC也可以利用共线来求解问题。实际上早在1746年，苏格兰数学家斯特瓦尔特就给出了爪形三角形中无边的关系。AP的平方等于BP比上BC乘以AC的平方，加上CP比上BC乘以AB的平方减去BP乘以CP当P点特殊还可以得到如下的结论，他们是当AP为中线时得出的中线公式和当AP为角平分线时得到的角平分线公式。溯源二引援问题，假设三角形AB的长，还有AB所对的角是定制，它们的长度和大小是定制。那么点C的轨迹大家可以看，显然是两段圆弧，对不对？事实上这两段圆弧的半径就是二倍的三西塔分之AB，这个圆弧它的圆心就在线段AB的中垂线上，并且两个圆心到这个线段AB的距离是相等的，都等于二分之AB乘以cosine西塔的绝对值。这个就是我们的引援问题的背景。实际上在以往的高考中，圆锥曲线结合爪形三角形的题目也有很多。这里我们就以2019年新高考一卷的第十题为例。因为时间关系，这里的详细解答过程就不再赘述。实际上这个题我们只要使用了斯特瓦尔特定理，就可以一步得到我们的答案。今天我们从多个不同的角度分析了本题的求解，这种种思路在高考题中是经常考察的，属于通信通法的范畴。我们要倡导一题多解，这个重点不在于多些本身，而在于从不同的求解思路中寻求启发，进而形成我们分析问题、解决问题解决问题的思想与方法，发展数学核心素养。因此大家在日常解题过程中，如果能够抓住一些看似普通的典型题目，站在数学思想和方法的高度，以发展思维能力、创新能力和数学核心素养为目标，从多角度多方位的分析优化我们的解法，就必能以一一题通问题，提高学习效率。欢迎各位老师批评指正，谢谢。