各位老师，各位同学，大家好，我们是四川省双流中学代表队，我是赵一凡，我是王欣逸。今天我们给大家带来的是直观先行，推理维稳，选材导学素养是根。2023年全国高考数学甲卷是趋于平息，首先由我为大家来评析试卷。2023年全国甲卷数学试题紧跟党的二十大精神，贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进五育并举，反映新时代基础教育课程的理念，突出体现了高考一核四层4翼的评价要求，试题延续了注重基础性考察必备知识的传统，突出关键能力和学科素养的考察，尤其是数形结合能力和数学直观素养。首先试题情境经典，传达武育精神。与往年试题情境相比，今年显得经典。常见的情境包括生活情境、科学情境以及数学情境。试卷中第69题为升学情景，十九题为科学情境，其余考题均是纯粹的数学情境。总体感觉题目短小精悍。第六题以足球俱乐部、乒乓球俱乐部为情境，传达了体育教育。第九题以志愿者参加社区服务为情境，传达了德育和劳动教育。第十九题以探究药物的作用为情景，也传达了德育和劳动教育。总之，既传达了5育并举的要求，又回归数学学科本身的考察。另一方面，突出素养导向，落实学科价值。根据高考评价的要求，必备知识、关键能力、学科素养、核心价值是高考考察的四个层次的内容。同时，发展学生学科素养也是教学的重要目标，是其对学科素养的考察充分突出。比如说第一题作为全卷的第一道题目，虽然仍旧考察集合运算，但实际上渗透同余的概念终边相同的角的集合中蕴含着同余的思想。所以说该考题来源于教材。此题要求学生从集合的符号语言中抽象概括出集合的含义。集合A是被三除余一的整数集，集合B是被三除余二的整数集，因此剩下的整数构成的集合自然是被三整除的整数集。因此选择A选项，本题是考察数学抽象的一道典型试题。又比如第二题，本题考查复数代数形式的运算，考点单一，经过运算不难求出A等于一是考察数学运算的典型试题。再如第七题，考察充分条件与必要条件，以三角函数同角关系为背景，是考察逻辑推理的典型试题。又比如第17题是一道数列题，本题看似其貌不扬，其实第一个小问中，当N大于等于二时，降阶相减得到N减2乘以AN等于N减1乘以AN减1。接下来无论是用累乘法还是转化为常数列都需要把N减2作为分母。但当N等于二时，N减2等于零不能作为分母，所以N减2需要单独处理，只有当N大于等于三时，才能够将N减2作为分母。那么这一细节能否鉴别，是考察学生逻辑推理能力的一个高效。那么从刚才的充分条件与必要条件以及这道数列题都考察逻辑推理能力。所以我们感叹逻辑推理重细节，小大题目广涉猎。又比如第九题，这是一道技术原理的问题，技术原理解法灵活多样，但各种方法本质上还是分析技术对象与已知的技术原理是否匹配，想方设法构建数学模型。本题便是如此，方法多样，但其中最简单的方法就是A53等于60，因此选择B选项。因为本题可以抽象为从五个元素中选出三个，分别放在去周六去，周日和两天都去的位置上，符合排列的概念。因此可以利用排列数公式计算，从而秒杀此题。这种方法相较于其他的方法就显得更为简洁一些。因此我们可以说模型构建的是否正确，是否简洁，直接决定了能否正确解决问题，能否简单解决问题。由此可见，本题是考察数学建模的一个典型考题。第十九题，这是一道应用题。本题以探究药物对小鼠生长作用为情境，给出了对照组和实验组各20个1共40只小鼠的体重数据。在第二个小组中，要求学生求出这40个数据的中位数，并填写列联表。不少考生表示，这40个数据导致他们眼睛花了，头都大。而事实上，考题中两组数据都已经按照从小到大的数据顺序排好。考生如此抱怨，可见其数据处理能力不足。数据处理作为数学学科核心素养之一，要求考生既掌握原又能够做好实践。在没有计算机等信息技术的辅助情况下，视频往往呈现为计算、估计或者比较平均数、中位数、标准差等简单的形式。考生的表现说明数据处理的培养还任重道远。小结一下，刚才的这些特征，说明我们的考题突出素养导向，落实核心价值观。上面的六个例子都呈现了对数学抽象、数学运算、数学逻辑推理、数学建模、数据处理的考察。但是他们的考察内容相对单一，注重了基础性，也体现了应用性。然而数学直观也是核心素养之一。对于数学直观的考察是本卷的一大亮点和重点。本卷中能够体现数学直观的考题非常多，综合性强，具有创新性。下面我们来专门谈一谈数学直观。体现数学直观的题目有15道个数超过了一半以上，体量庞大，涉及众多章节。可以说这些题目构成了试卷的主体。如果我们按照满分是160分计算，那么他们一共涉及106分，占比高达66.25%，决定了试卷的考察效果。可用下表来罗列，我们可以看到题号有15道，那么他们的内容也涉及到我们高中数学的大部分内容。可见试卷高度重视数学直观的考察，其中不少试题通过数学直观可以秒杀，也有虽然不能秒杀，但是可以猜想的。然后通过逻辑推理来证明猜想，其模式可以概括为直观先行，推理为本。在此我们选几个各章节典型的考题来简要的评析一下。比如说第七题第四题，这是一道向量题目，由A加B加C等于0向量。我们可以构造闭合回路，由A模B模均等于1，而C模等于2。我们可以得到这是一个直角三角形，从而建立平面直角坐标系，写出关键点的坐标，进而写出向量坐标，用坐标法来求出夹角余弦。如果我们不画图而直奔向量夹角的余弦公式，通过计算A减CB减C各自的数量积和模则，其运算量会很大。而且在计算时没有图形显得抽象而空洞。所以本题体现了数学直观的重要性。又比如第十题，这是一道求函数图像与直线交点的个数。我们只需要将图画的稍微准确一点，就可以直接看出焦点的个数为三个，从而秒杀此题。当然也可以通过计算关键点处的函数值，通过比较大小来验证刚才的猜想是正确的。又比如立体几何中的第十八题。本题在第一个小问中没有像以往一样让我们证明平行和垂直，而是让我们证明两条线段相等，AC等于AEC。本期的CACB和CAE2两垂直，如果以他们为坐标轴建立坐标系，看似方便入手，实则间隙之后，由于CACB、CA长度均未知，关键点的坐标不能直接写出，从而会陷入运算困境。如果我们设关键点的坐标，引入待定系数，通过解待定系数虽然也能解决此题，但是其运算量比较大，纯粹的字母运算让人望而却步，具体如下，我们看到这里的书写量还是比较大的，尤其是在第二个项目中，由于题目的条件给出的是两条直线之间的距离，而利用坐标法处理两条直线的距离对于学生来说是困难而陌生的，能否利用坐标法顺利解决此题显然要打一个问号，但是如果我们利用综合几何的方法便可以化解这些难点。本题两个小问均以距离为已知条件，在历年的例题几何试题中是比较少见的。考生需要把所给的空间距离通过几何图形结构降维转化为平面距离，实现立体图形的平面化。从平面几何中来计算关键数据，借助空间中平行和垂直的相关定理，通过转化知道三角形AECA其实是一个等腰直角三角形，而三角形AEBA其实是一个等腰三角形。能够实现上述转化，就能够看透几何体的结构特征，简化求解过程。本题对数学直观的要求较高，区分度较好。具体的过程如下，我们做出图中的辅助线，然后在第一个小问中，借助空间中平行垂直的相关定理，利用八次推理得到8个索引，从而得到命题成立。在第二个小问中，我们构造AEA的中点E连接BE那么BE其实就是两条平行线之间的距离，从而能够找到这个距离直观化来解决问题。再比如在解析几何中，F是抛物线的交点，MN是抛物线的两个点，而且MF与NF数量级为零，求三角形MFN面积的最小值。本期我们过点F做两条相互垂直的直线得到四边形，那么这个四边形被它的对角线分成四个直角三角形。我们直观观察看到这四个三角形均符合题目的要求。而且当M点N点都在焦点F的左侧时，三角形的面积是在这四个三角形中最小的。所以我们不难猜想，当此最小的三角形为一个等腰直角三角形的时候，总体的面积达到最小。接下来就是证明了，在证明时固然可以利用坐标法，但是其运算量大，如果我们能够利用交半径夹角行驶，那么其运算就会极大的降低，体现了几何直观的优越性，具体过程我们不妨设MF与X轴的夹角为西塔。根据对称性，我们可以让西塔属于0到4分之派的左开右闭区间。由于NF与MF垂直，所以NF与X轴的夹角为二分之派减西塔，那么利用公式就可以表示出这两个交半径，这个三角形是一个直角三角形，所以它的面积就等于直角边之积的一半。在处理这个式子时，关键是对于分母一加cosine西塔乘以1加sine西塔的处理，我们发现它可以写成利用前面的系数2，就可以写成一加sine西塔，再加上cosine西塔完全平方，从而化为辅助角公式。放缩利用三角函数的最值得到最小值为十2减去八倍根。这个过程我们需要对三角恒等变换比较熟练。如果我们利用坐标法，由于本题的答案是一个不是很特殊的结果，所以学生会陷入运算困境。因此我们不禁感叹，本期充分体现了直观先行，推理为本。再比如说导数题也是如此，导数题的方法比较多，在这里我们来分享两种利用直观感知来解决问题的方法。第一种直观感受是利用我们这里的图形，非学生非常熟悉的sine x小于X在锐角范围内成立。所以本题的一个必要条件就是把题干中的不等式中的X换成sine x然后再把sine x约分，然后再利用换元法令T等于cosine x从而转化为一个有理函数。我们发现这个有理函数在定义域0到1上是单调递减的，而A要恒小于这个变量。所以A只需要小于等于G1，也就是三就可以了。这样便可以求出原命题的一个必要条件，然后再去证明其充分性即可。当然在这幅图中我们也可以看到有两个重要极限。随着点P向点A靠拢的时候，sine x和X几乎相等，所以其比值的极限等于一。利用正切线也可以知道他的X与X的比值也接近于一，所以我们也可以利用这两个重要极限来进行转化。另外一种直观感知是利用端点效应。我们知道函数图像在切点处的趋势与该点处的切线是大致相等相同的，它们两个可以近似代替。在本题中我们注意到G0恒等于0，无论A为何值，函数GX都会经过坐标原点。又因为我们的GX要小于0，所以根据切线和这个曲线应该大致可以相互代替。我们知道切线就必须是向下的，或者与X轴重合，但不能向上，所以就要求G1撇0必须小于或者等于0，而G1撇0等于A减3，从而得到A要小于等于三这一必要条件。上面的两种方法都能够顺利的通过直观感知得到必要条件。当然这都需要验证他们的充分性。那么它们的充分性也不难验证。由于我们已经知道A必须小于等于3，所以我们把A放缩乘3，得到一个不含参数的函数，从而就可以证明刚才的充分性是正确的。除此之外，如果学生掌握了正弦函数和正切函数的麦克劳林技术，也可以秒杀此题。根据正弦和正切的麦克劳林技术可以得到sine x是大于X减去六分之X立方的，而它是X是大于X加上三分之X立方。因此我们就可以得到上面命题成立的一个充分条件。这个充分条件经过放松而得到ABX小于后面这个代数式，所以它必须在小于等于三从而解决问题。当然麦克劳林技术对考生的要求比较高，考生可以通过前面的两种直观感知来得到必要条件，从而利用常规方法证明充分性。接下来由王先奕老师为大家带来反思建议。根据前面的试卷评析，我们提出以下三点建议，一、深挖问题，就题论道2023年全国甲卷试题背景，熟悉问题常规自然，着重考察基础知识，考察通信通法的掌握，整卷占比超90%。例如理科17题、18题的数列和立体几何，让许多考生既爱又恨。被题型、被套路的刷题，本质上是没有理解套路背后的数学原理，缺乏灵性，考生一旦遇到题目化妆时，如18题已知距离证明线段相等，就不容易甚至找不到正确的解题策略。当真正考察到概念的本质的问题时，如第六题，考生就会束手无措。如果说套路体现的是基本方法和基本技能，那么理性体现的是数学思想方法。因此，在平时的数学教学备考中，不仅仅要学生掌握基础知识和训练基本积累，也要能够挖掘知识的广度、深度以及表达。不仅要掌握其中的套路，更要逐渐内化成数学思想和方法，获得很多经验，实现从解题到解决问题，从知其然到知其所以然，达到就题论题、就题论法再到就题论道的效果，让试题的价值最大化，实现多于企业得益，法会一类通一片。第二，注重课堂落实素养。反套路、反刷题是当前高考命题的特色，要求考生能基于情境，运用所学知识解决问题，重点考察思维过程、实践能力和创新意识，从而考察数学核心素养。2023年全国甲卷中诸多试题可以利用数学直观巧妙破解，但这需要考生通过日常的学习，养成直观想象的能力和意识。课堂是学生学习的主阵地，是学生思维活动、实践和创新的什么关键战场。学生是课堂的主体，学生的能力的塑造、意识的激发、思维的培养主要源于课堂。因此，这是需要教师在日常教学中关注全体学生，因材施教，对学生进行整体和个性化的教育，从而促进学生的全面发展。第三点，关注命题，科学备考。2025年，四川省将使用新高考全国卷这对习惯进行文理分科教学和备战的一线教师是一个新的挑战。因此，我们需要深入研究新高考数学试卷的特点和命题动向。2023年新高考全国卷在考试内容改革、提升创新试卷结构以及科学调控难度方面进一步探索。在内容改革上，通过设计真实问题情境，考察理性思维和关键能力，全面贯彻立德素质的什么教育方针。在题型创新方面，坚持开放创新能力利益，在考察内容不变的情况下，改变问题的类型和考察要点。在试卷结构方面，试卷大体布局变化较大，破除导数压轴的定式，如新一卷19题导数再次验证了反刷题。同时坚持以新教材进行命题，坚持教考衔接，如新一卷三题、十题和21题的。在科学调控难度方面，全面贯彻低起点、多层次、高落差的科学调控策略，全面系统设计是其起点。低入口口岸全面学生考察学生的基础知识，个别试题对考生的思维能力有较高的要求，要求学生具备解决复杂问题的综合素养和能力。这些特点和趋势为我们在三星背景下关注新教材教学科学，平稳过渡新高考提供极有价值的信息。以上是我们的分享，谢谢大家。