大家好，我是来自广西的韦兰云，我是周岳葵，我是韦国春。今天我们带来的题目是2023年高考全国甲卷理科第21题。今年高考数学甲卷中的导数压轴题，部分考生普遍认为很难，其原因是导数题中不是以往常出现的指数对数函数的形式，而是出现了三角函数，增加了本题的运算难度。首先我们来看题目，已知函数FX等于AX减cos x三方分之3XX属于0到2分之派，一若A等于8，讨论函数FX的单调性。2、若FX小于32X恒成立，求A的取值范围。首先我们来看第一问，根据所学，该问是典型的讨论函数的单调性问题。首先先对函数FX进行求导，也可先代入A等于八再求导。同时利用三角函数的平方关系进行化简，判断出其分子分母的正负情况，从而得解。具体解析如下。就判断函数单调性问题的通性通法，一求导二通分三判断导函数的正负，从而得出原函数的单调性。下面分析第二问，该问是含参不等式恒成立问题。处理方法有参变分离，分类讨论，有解放说通常先适当的等价转化后观察函数结构特点，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题。其中三角函数的引入的处理方法，一切线放缩，当X大于等于零时，X减6分之X3方小于等于sine，x小于等于X当X大于等于零时，一减2分之1X平方小于等于cosine x小于等于一二有界性sine x属于-1到1，cosine x属于-1到13。三角函数所特有的一些性质、单调性、诱导公式等。在解答该问时，考生通常会优先考虑到分离参数由FX小于赛2X变化得AX小于cosine x3方分之sine x加上2X因为X属于0到2分之派，所以A小于X乘以cosine x3方分之sine x加X分之sine 2X然后构造函数HX分离参数，在构造函数直接进行求导，发现求解难度大，若进行二阶导，问题更加复杂，怎么办呢？这时不得不进行思考，由分离参量得到的A小于X乘cos x3方分之sine x加X分之sine 2X进行整理，发现其中有公因式X分之sine x进行提取，公因式得A小于X分之sine x乘以括号2 cosine x加cosine x三方分之一。观察该结构，可利用人教A版普通高中课程实验教科书数学选修2-2中的32页B组一题的第一小问sine x小于X进行放缩得。解法一解析如下，通过分离参数进行放缩后，得A小于2 cos x加cos x三方分之一。为了简化运算，我们也可以先进行换元令cosine x等于TT属于0到1则GT等于2T加T3方分之一，从而求得A的范围A小于等于3。放松后的结果并不是最终的结果，需要再证明A小于3，小于等于三的充分性。下面证明当A小于等于三时，FX减sine 2X小于等于3X减cosine x3方分之sine x减sine 2X结构证明不等事实进行了放大处理，然后构造大HX求大HX的最大值，根据求函数最值的方法得HB导X小于0，即HX在0到2分之派上为单调递减。所以当X属于0到2分之派时而HX的最大值小于H0，小于0。综上所述，A小于等于3。此解法的关键在于利用sine x小于X进行放缩得A的范围，然后再证A小于等于三的充分性证明不等事实进行了放大处理，然后构造函数求函数的一个最大值。当然在分离参数后，除了解法一，也可以通过洛必达法则可得到A的取值范围，但是解法不够严谨，在高考中未丢失分数，所以通过差分参量分离后，经过研究函数的结构特点，发现适当的放缩大大减少了我们的运算。当然，除了放缩，我们还能怎么办呢？我们还可以尝试带入一些端点和特殊值进行大胆的猜测。解析如下，由FX小于32X进行变形，得AX减cosine x3方分之sine x减sine 2X小于0，构造函数GX并代入X等于0，则G0等于0。要使得不等式成立，可以有GX在0到2分之派上单调递减，所以G01撇小于等于0，由端点效应进行必要性探路，得A小于等于0，而A小于等于三的范围。但此结果并不是最终的结果，需要证明A小于03的充分性。在证明充分性时，与解法一的证明是一致的，过程如下。此解法有较多的考生使用，但在证明充分性时存在有一些问题。如果前两种解法都想不到，也可以将不等式进行变形后，直接构造函数求最值。解法如下，由FX小于sine 2X变形，得AX减cosine x3方分之3X减32X小于0。然后构造函数GX进行求导，发现无法确定G1撇X的单调而得正负，再考虑进行二阶导。由于一阶导的结构较为复杂，为了简化运算，先进行换元，再进行求导。求导得斐T1撇等于T3方分之-2乘以括号T减1乘以括号2，T平方加2T加3。因为T属于0到1，所以斐T1撇大于0。斐T在0到1上单调递增，所以斐T小于匪一等于A减3。接下来对二阶导的结果进行讨论，当A减3小于等于零时，即A小于零等于3，匪T小于0XGX1撇小于0，GX在0到2分之派上单调递减，所以GX最大值小于G0小于零符合题意，所以A小于等于32。当A减三大于0，即A大于三时，B存在X0，使得GX01撇等于0，此时引零点显化，所以GX最大值等于GX0，因为G0等于0，所以GX0大于0，与题设矛盾。综上所述，A属于负无穷到3，此解法因为进行二阶导运算难度较大，较少考生使用。综合以上的三个解法，就含参不等式恒成立问题的解决策略有两个思路，思路一，参变分离。思路二，构造函数求最值。对构造函数求最值有三个技巧，一、更换组员，构造新函数。2、特殊值大胆猜测。3、不等式放缩。在不等式放缩处应考虑分类节点的讨论，以及简化函数模型后进行不等式放缩的一个证明，就导数题中出现三角函数形式的含参不等式恒成立问题，我们进行了如下两个辨识题。以下两个辨识题均可利用以上的解题思路进行求解，参考解法如下。最后进行小结反思。本题导数与三角函数巧妙的结合起来，增加了题目的运算量，使用分类讨论思想会比较繁杂，且分界点寻找困难使用必要性探索进行对导函数的分析，考查函数的单调性、恒成立问题，通过导数、函数、不等式等知识深入考察，分类讨论思想化归与转化思想，考查学生灵活运用导数工具分析与解决问题的能力，对逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养要求较高。通过对这一类问题进行归纳反思，为新一轮高考复习寻找这一解题这类问题的突破口，提高复习的效率。最后用一首打油诗进行总结，不等含参本是难，三角联音不简单，导数求解难又烦。餐便分离可出碳，组员互换是消餐。适当放缩凡化简，分类讨论新意乱，端点效应把路开。谢谢大家。