尊敬的各位评委老师，各位同学们，大家好。我是来自河南大学附属中学的张耀广老师。我们的队伍还有王顺吉和李成龙两位老师。今天我所讲的题目是骑士巡游问题的奥秘与延伸。基于2025年北京卷第21集，我们先来看题目。已知集合A有1到88个元素，集合M中的元素可以看作是一个点，其中点的横纵坐标都要来自于集合A中的元素。现在从M中选取N个不同的元素组成一个序列，其中XI、YI称为是该序列的第I项。若该序列的相邻项满足下面这个规则，则称该序列为K列。那我们再来仔细看一下，这个规则有两个模式。第一个模式代表的意思是相邻两项，横坐标差的绝对值为三，纵坐标差的绝对值为四。第二个模式是相邻两项差的绝对值为四，纵坐标差的绝对值为三。基于此设置了三个小题。第一问是告诉我们K列的第一项，让我们求第二项。第二小问是设它为K列，判断3244能否同时是套中的像。第三问让我们证明由M的全部元素组成的序列都不是K列。阅读完题目之后，我们再来看一下骑士巡游问题。在国际象棋棋盘中，它是8乘8的1个格子，里边的骑士是按1乘2的走法。比如说起始位置为44的时候，它可以走以下蓝色的几个格子。他和我们中国象棋里边的马走日是类似的是一样的。那基于此有一个问题，就是是否存在一个走法，这个提示它可以从某个格子出发，走遍这个棋盘每个格子之后再回到原位，并且不重复。这个问题就是歧视询问问题。后来人们又把这个问题推广到这个棋盘，推广到M乘N其走法也进行了推广。那这个歧视性的问题和这个高考题有什么联系呢？我们再来看刚刚那个规则，对于横纵坐标差的绝对为三，纵坐标差的绝对值为四的话，我们把绝对值去掉。好，来看把绝对值去掉的话，那就相当于是什么？后一项的横坐标是上一项的横坐标加减3，纵坐标加减4。他其实就是把这个棋盘问题1乘2的骑士走法推广到3乘4或者是4乘3。同学们来看是不是这样，比如初始位置是三三的话，横坐标加4，纵坐标加三下一个位置就是76。那么我们来看第一问，给出来K列中的第一项，写它的第二项。那对于这个问题看第一个模式对应横坐标加减3，纵坐标加减4之后，对应的取值我们仍然要在1到8这八个数里边去取。所以把X2等于0和Y2等于负一舍掉，得到第一个，有效解为67。在第二个模式之下，横坐标加减4，纵坐标加减3，舍掉X2等于负一，Y2等于零之后得到第二个有效解为76。我们用歧视询问问题的角度再来分析一下，同学们来看是什么样子。那就将这个问题对应到棋盘上，就是它初始的位置，在棋盘上对应是三三这个位置。那么通过3乘4和4乘3的走法，在整个棋盘上他只能下一步走67和76这2个位置。那对应也就是这个K列当中。的第二项。能理解好，这是第一小问。第二问他说设它为K列也是一个K列，现在加了一些限定的条件，就是对应XIYI这一项。当I为基数时，对应横坐标要在12七八里边去取，当I为偶数时，横坐标要在34五六里边去。那现在问32和44能否同时为韬中的项呢？看完这个问题之后，我们再从歧视学生问题的角度来分析。它就是什么？它就是对应这个3244能否为套中的项的话，它就是如果骑士初始位置是32的话，它能否按照3乘4或者4乘3的走法，经过若干次之后走到四四这个位置。好，我们来再来分析，进一步来看观察这个棋盘如果对应每个格子的纵坐标是XIY的话，我们只是来看在黑色的格子里面横纵坐标之和有什么规律，是不是始终是一个偶数。那对应。白色格子横纵坐标之和始终是一个奇数。并且我们再来看对应左边这个图，它按照3乘4的走法之下，它原本是黑格，下一步一定是跳到白色的格子。当然它由白色的格子一定是跳到黑色的格子，那这之间又有什么联系呢？也就是说他按照3乘4的走法，其实一定是黑色格子和白色格子交替跳跃，以及对应相邻两项横坐标、横纵坐标之和的奇偶性一定是相反的。好，在此之下从格子的颜色来分析的话，由32到44，也即是由白色的格子到黑色的格子。同学们来想一想他一定要跳多少次，是不是一定是若干奇数次？由白色格子到黑色格子一定是若干奇数次，要么一次三次能理解。好，我们再从格子的所在区域来分析，对应第二题加的一个限制条件是当I为基数时，XI要在1278内取值，我们将此记为是绿色区域。然后I为偶数时，XI在3456取值，我们记为是红色区域。好，对应的话相邻两项爱奇偶也一定是交替进行的。第二第奇数项第偶数项。以及对应这个提示，他一定是要在红色区域和绿色区域内交替跳跃。我们来看一下32和44，他们都在红色区域。同学们来想它由32到44的话一定是跳跃什么规律？是不是一定是若干偶数次？从红色到绿色再回红色，相当于两次，或是一定是若干偶数次，能理解。好，我们从格子的颜色和格子所在的区域两种角度分析，从格子的颜色是若干奇数次，从所在区域是若干偶数次，是不是一定是矛盾的，对不对？所以说32和44它不可能同时是套中的，像同时是KK列中的项能理解。以下是第二问的解答过程。好，有第二问的基础。我们再来看第三问，也是本题的最后一问。让我们证明由M的全部元素组成的序列都不是K列。那全部元素有多少个？从1到8内取值，横纵坐标都算上8乘8 64个元素，并且不重复。那他对应用歧视学员问题来分析的话，那就相当于是对应这个骑士从任何一个位置出发，能不能按照3乘4的走法走遍所有的格子并且不重复。因为原本按1乘2的走法的话，它是可以走遍任何一个格子去吃掉对方的棋子。现在第三问，其实问题就是按3乘4的走法，能不能走遍任何一个格子，这是我们要分析的问题。好，我们将这64个格子分成以下几种情况，分为绿色区域的黑白格，红色区域的黑白格。其实就相当于是保留第二问给我们介绍的那个区域，但是奇偶的这个规则我们就不考虑了。对于我们可以把这个格子给它任意去归类。就比如说看这个走法，它初始位置为67的话，走到24，再走到61再走到35，一直这样走下去，看能不能走遍所有的格子。分成这四种情况之后，每种情况都有16个。我们现在已经知道以下两个规则。第一个规则就是黑格和白格一定是依次交替的这没有问题。第二个规则就是比如说我们现在从绿色区域出发的话，他下一步是不是一定要跳到红色区域？因为这边只有两类，那边只有两类，按照3乘4的走法，一定是要跳到红色区域的那从红色区域出发的话，下一个可能有可能是跳到绿色区域，当然也有可能是跳到红色区域。你比如说初始位置为67的话，横坐标减3，纵坐标减4，就回到了红色区域里的4。三就只有以上几种可能。那我们来分类讨论分析一下以上几种可能是否成立。第一种可能就是绿色区域和红色区域交替跳跃。交替跳跃的话就会出现下列情况，就是如果从绿色区域的黑格出发，下一步是不是只能跳到红色区域的白骨，那再下一步又跳回绿色区域的黑格尔，这样一直是绿黑红白绿黑红白交替跳跃。那我们就会发现按照这种走法的话，它是跳不到绿色区域的。白格和红色区规格对不对？所以只能跳相当于是64个格子当中的一半，所以这种可能是不成立的。明白。好，我们再来看第二个，可能就是由刚刚说的红色区域跳到红色区域这种可能。那我们就想这种情况会不会出现，或者可能出现几次？如果出现的话，它会在第几次是由红色区域到红色区域的？我们来进一步分析，我们知道红色区域的格子和绿色区域的格子分别有32个，那想要把这32个格子依次取完的话，一定是下面这种情况，一定是红色区域绿色区域交替。就比如以上这种情况，老师给大家解释一下，原本这个格子是由绿红绿红一次跳跃完成了32个。老师进一步解释一下，比如说按照可能一的话是由绿黑跳到红白绿黑红白绿黑红白跳了32个格子。那想要把剩下的32个格子取到的话，那在蓝色方框里可以是从红白到红黑的一个跳跃。前面32个是绿黑红白绿黑红白到黑色格子发生变化，变成了红黑绿白红黑绿白，对不对？那么由红色区域到红色区域跳跃的话，一定是在最中间的这一次，将绿红绿红从中间之后转变成红绿直到曲遍这64个格子。所以我们既然弄清楚了颜色相同，就是到绿色区域它会出现一次，并且是在最中间的这一次之后，来我们进行这种思路的最关键的一步。现在对应我们是让横轴为X或者说我们将这个表格给它转一下，翻转一下，就是将这个表格行列转过来。当然也是符合于这种情况，也就是说刚刚是红色区域跳到红色区域是在横轴3456跳跃。也就是红色的方框内给它转过来之后，它一定是在这个紫色的方框内进行跳跃。如果两个规则都满足的话，当然两个规则一定是都满足的。那么相同区域跳跃的这一关键一步一定是在这个公共区域内跳跃，对不对？我们再来看这个公共区域的话，它只是4乘4的，他是绝对不可能满足3乘4或4乘3的这种走法。也就是说颜色相同的这一步在这种情况之下是实现不了。所以说这一种情况也是不成立的。将两种情况分析完之后，综上，所以是不存在的。好，按照这种思路的话，再提供第二个思路。因为刚开始我们是让XI是在1278内取，我们直接也让YI也在1278内取，当然他情况是一样的。也就是图中蓝色方框里的这16个格子。我们来想一想，这16个格子经过跳跃之后，它会跳到哪儿去呢？它通过加减3或加减4进行跳跃的话。他其实或者通过运算我们也可以知道这个MI就是第一项里的横纵坐标的取值，可以为1278任意一个。通过加减3加减4之后得到M加I加减三是4545，加减4之后是5634。这里我们会发现一个问题，其中这个六三它是只能由27加减4得到，就没有加减三什么事儿。对应在这个棋盘上的话，它是不可能跳到33366366这四个格子。也即是由16个格子经过跳跃之后，只有12个格子与它对应。我再重复一下，是这16个格子只有12个格子与它对应。我们接下来要思考的问题是这样的对应，因为这个序列中的元素是不重复的那我们现在要研究的是这个对应关系能不能依次对应完，也就是由16个到12个的话能不能一笔画两完的问题。我们先看一下最基本的几种一笔画的问题。如果说左边是四个，右边是四个的话，可以一笔连完，也就是不重复的一次跳跃。由4个到3个的话也是可以的那由4个到2个就是左边个数比右边大于等于2的时候，依次连的时候，最后还剩一个元素。当然左边少右边多的时候也是不可以一笔连完的那对应到这个问题，由16个方格到12个方格，左边比右边的个数要大于等于2的时候，也是不可能一笔连完的。换做这个问题，就是他一次跳跃应该是有重复的，所以这种情况也是不成立的。好，以下是第三问的解答过程。刚刚我们已经说过了，对应这个棋盘，它是由1乘2的走法推广到3乘4的头发。我们也可以将这个高考题进行推广，把原本8乘8的1个棋盘直接推广成一个12乘12的一个超级国际象棋棋盘，对应走法仍然是按3乘4的话，可以提出同样的问题，就是这个超级码能否到遍每个方格刚好一次，且又回到原点。那用同样的这个解题思路，我们也可以将先将这些格子划分一下区域，把对应XI为1267。126 70 12划分为绿色区域，并记为集合S其余的各列即为集合M我们知道对应这里边它是按照3乘4的走法的话，我们来看它一定是由集合S和集合M2个区域一定是交替跳跃，这比较好看出来。换句话说，他是不可能在同一个区域内跳两次的。这是第一第二，由黑色格子和白色格子交替跳跃的话，按照这种跳跃，它其实就相当于我们刚刚分析的第二题的第一种可能。它一定是比如说一种情况一定是绿黑红白绿黑红白这样去跳跃。所以这种12乘12的棋盘，按照3乘4的走法，也是不可以跳到这个棋盘中的任意一个位置且不重复的这是将这个高考题进行了推广。好，我们最后来分析一下北京卷的这一道题。北京卷试内容紧扣数学课程标准和教材，重视基础，突出主干知识的考察，试题淡化记忆，强调通性通法，体现数学的本质。其中第一点是考察与能力的综合。例如在非骑士跳跃规律时，需要去借助集合知识去划分区，利用反证法来推导，以此来判断巡逻的可能性。第二是聚焦核心素养，其中学生要从歧视寻优的情景要抽象出数学的概念和关系，并且逻辑推理的素养贯穿解释全程。第三是体现创新性，这种方法为学生提供展现创新思维的空间，鼓励学生从不同的角度来进行思考。第四是具有拓展性，就像刚刚我们就可以将这个棋盘8乘8直接推广到12乘。进一步去解题。总的来说，这一道题综合考察了学综合运用综合运用知识解创新能力，这充分体现了数学课程标准中不同的人在数学上得到不同的发展的要求。以上是我对这一道题的讲解，请各位评委老师批评指正。