尊敬的各位老师，亲爱的同学们，大家好。我是来自上海中医药大学附属浦江高级中学的杨颖。我给大家讲解的题目是2025年上海卷第21题。首先我们看一下题目，用定义结构的方式研究函数方程，表达精准简洁，用集合定义各类型压轴题是近年来上海考卷的特色。本题集合语言丰富，为了方便理解，我们将其翻译。题目中MA的含义是关于X的方程所有解构成的集合，MA不对，空集的含义是方程有解，MA包含于M2的含义是，若FX0加A等于FX0，则FX0加2等于FX0。思考FX加A等于FX的解，从函数图像上如何解释呢？结合周期性的定义，学习点P与其用于A个单位后的P撇都在函数Y等于FX图像上。结合函数图像的变换，学习点P既在函数Y等于FX图像上，也在函数Y等于FX加A图像上。由此形成本题解决问题的两大思路，一点右平移，二图像左平移第一问分析。第一问由特殊值出发，便于加深对题干中几何语言的理解，为后两位做好铺垫。考察三角比运算的知识点，具体过程较为简单，这里不赘述。第二问，分析第二问给出的函数解析式比较简洁，图像也容易画出来。南站如何转化和代数运算？我们由思路一和思路二形成解题方法，由斯如一得法一和法二法一如图PP撇分别在左右两字上代入函数两次解析式利用方程求解A的范围。反而如图观察A的几何E是两点距离，通过两点分别在左右两支上带入化简得出方程，进一步得到A的范围。66我们得法3，如图研究从相切到经过上顶点之前的平移过程，考虑临界状态得到A的范围。第二问具体过程如下，把一需要注意的是当X小于0，小于等于X加X对方程平方运算需要考虑右边X加二大于等于0，进而得到方程一。接下来我们可以分离常数，用二次函数求值域，也可以进一步利用求根公式求得X1和X2 2根至少有一个在-2到0之间，从而得到A的范围。这里对同学们运算要求较高。法二由A的几何E利用方程思想得到A和Y的关系记下来类似于法一，可以利用二次函数求值域，也可以利用求根公式得到A的范围把三在图像平移过程中，需要强调的是相切时可以利用导数求出A的值，也可以利用求根公式第二个求出A的值，最终不能得到A的范围。第二问考察方程有解问题结合。第一问设置动态参数经理由特殊到一般加强对定义理解为第三问难点突破做好铺垫。考察的知识技能、数学思想核心素养如下，同学们思考结合解答过程，哪种思路更加规范的？哪一种方法更具有一般性呢？第三问分析第三问需要解决两个问题，一是求解析式，二是证明零点个数问题需要突破的两点主要有两个，一理解题干，对题干中MA包含于M2他的理解是什么样子的。二代数表达如何建立动态参数A和方程的跟X0之间的关系？有偶函数容易得到X属于-1到0左闭右开的解析式做出图像思路一如图一，通过点平移TP撇分别在左右两字上，或结合动态参数A的几何意义和偶函数的对称性，得到X0等于负二分之A除以MA进而得到函数的解析式示图2，如图2，通过图像左移过程中发现开区间-1到0上每一个X都属于MA进而得到解析式。同学们思考为何要建立X0与A的关系呢？我们以思维导图的方式将求解析式的具体方法及内在联系展示出来。思路一，将点右平移得到法一和法二，进而得到X0和A的关系，最终得到解释。思路二，将图像左平移，图像存在焦点，如果进一步研究焦点是什么，从而代数表达和反而没有区别，如果只是宏观观是否存在焦点，可以观察出X0属于ma最终也能得到解析式同学们思考，如图上存在焦点可以直接得到X0和A的关系吗？具体解答如下，法医需要强调的是，当我们求出FX加二等于FX的时候，我们常见的求解析式的方法有换元法和配凑法，这里是对基本方法的考察。法二和法三如下，同学们思考法三是否合理？对比思路探究理论思路对比从第二问解答及第三问求解一次过程来看，我们总结以下两点。一、思路一通过点评产生的解法比较规范精准。2、思路二通过数形结合观察出X属于MA缺少建立A与X0关系的过程。在接下来证明不定点的探究这一难点难以突破原因。分析思路二，对于图像平移，同学们习惯于宏观观察平移过程中是否存在焦点，而教练是什么往往忽略。所以想要严谨精准代数表达，需要回归点这一基本元素，从而回归思路一的解题过程。结合上述讨论，结合沪教版课本函数图像的概念以及奇偶性定义形成过程，对方程FX加A等于FX的解，形成以思路一为核心的数学关系理论，思路二为辅助。具体理论如下，也就是说，试题中方程有解与点平移数形关系等价。思考，为啥通过点建立理论呢？点是几何中最基本的元素，通过坐标化为代数，是连接空间形式与数量关系的桥梁。涉及几何与代数关系的问题应从点出发，从而揭示本质。思路一，直接利用的点建立起几何与代数的关系，直接本质。思路二则是宏观的，想要精准表达还得从焦点出发，从而代数表达与思路一没有区别。接下来我们证明零点的个数。结合上述讨论，类比球开区线1到2上的解析式方法以及奇偶性，可以得到B区间-3到3之间，除了零正-2、正负三的解析式和图像，我们以思路一为核心数据结合考虑X0是否属于MA如果X0属于MA则FS0加2等于FS0，相当于FS0与FS0加2取值被捆绑。当X0不属于MA的时候，FX的取值具有一定的随机性，从而不难得到结论。由于偶函数只需对0-2-3这一点是否属于MA的情况，分以下两种方法。讨论法。一探究负三是否属于MA若属于F负三等于F负一等于0。其实接下来探究-2，若属于MA则F负二等于F0，最终得到至多9个0点。方法二探究F负三是不等于F-2，若相等，负三属于MA则F负三等于F负一等于0。以下同法一。具体过程如下。由于过程较长，我们只分析关键步骤。法一设F负三等于MF2等于N有图像，当N属于0到1，左臂右开始负二属于MA所以F负二等于F0等于F2，接下来说明M不属于0到1，开区间0到1。假设N属于开区间0到1结构图像-3就属于MA，F负三就等于F负一等于0，产生了矛盾。最终不难说明，在B区间-3到3上，FX减C至多有9个0点，具体过程同学们自己探究。方法二区别于方法一的是证明F负三和F负二不相等。假设M不等于0的时候F负三和F2相等，那么负三就属于ma f负三就等于F负一等于0，产生了矛盾，其他过程和法律相同。第三问，考察的基本知识和基本方法比较密集，想要精准解答需要对概念深度理解，考察知识技能、核心素养以及数学思想如下。易错点分析一运算等价性问题。第二问中X小于0，小于等于X加一时，对方程平方运算容易限制根号里面不小于0，从而得到变量的范围。X大于等于负A小于零实际上是不准确的，应该限制右边X加二大于等于0，从而确保平方运算的等价性。这里再举一个常见的例子，如Y的根号一减X平方，在平坊之前是限制根号里边还是左边呢？本地也可以通过图像观察出范围，但为了不是一般性，在方程缺乏几何意义时，建议同学们考虑运算前后方程的等价性。2、图像平移方向错误。第二问、第三问中误将点右平移仍在自身图像上，与整体右移混淆，导致焦点的位置与实际位置不一致，尤其是第三问中点的位置错乱，无法抓住问题本质，也就无法将X0和A建立关系，无法突破这一难点。这是因为学生对图像变换的认识只依赖宏观经验，缺少从点的角度对本质探究。3、误认为F-3和F3等于0。这也是因为同学们对图像的变换只依赖宏观经验，没有将X0与动态参数A建立关系。图像上管节是周期变化的，所以认为F正负三等于F正负一等于0，解决问题不够精准，缺少对本质的探究。另外，根据以往经验，同学们也会犯不考虑边界的低级错误。四缺少对不定点的讨论。这依旧是因为同学们对图像变换的认识只依赖宏观经验，没有将点右平移进行数学结构尝试。结合A的任意性是不难判断这些点是否属于MA的。需要注意的是，我们不仅要考虑M不等于零时，负三不属于MA另外还需要考虑负二属于MA时，F负二等于F0等于F2，就是能够取到9个0点的前提。大部分同学忽略了这里的论证。命题意图用集合语言考察集合与逻辑的关系。本次上海卷的压轴题采用几何语言做出定义，使得题干与设问表达精准简洁，同时还更好的描述了所研究对象之间的关系，这也是今天的中考题高考题的特色。考察的学生将结合语言翻译成熟悉的逻辑语言的能力。第三问中理解集合与逻辑的关系对部分同学来说是一个难点，注重基础，考察本质。从分析探究解法过程来看，题目涉及的知识点较为基础，包括集合与逻辑函数相关概念等，连第三、第二问设置的函数图像也比较基础，学习过高一知识的同学基本上都可以上手。学生的问题是，除了不理解集合与逻辑的关系外，还有仅仅是宏观上依据左加右减的口诀，记住了图像平移变换的经验，没有抓住问题的本质，难以精准规范表达，也难以突破最后的难点。命题者希望老师和学生在平时的教学活动中，不必追寻教学速度机械刷题，更多的去探究数学的本质。结合课本奇偶性概念形成的过程，发现有些看似平凡的结论背后，往往是一些不平凡的探究过程。考察素养，避免套路。本庭没有考察套路二级结论，而是考察对基本知识的深度理解，考察核心素养。命题者以此为契机，引导学生学习数学本质，能真正理解数学，引导教学向培养学生核心素养方向发展，提升思维品质，以适应社会需求。试题溯源，本题的本质方法来源，对课本的深度探究。以下从课本中进行溯源。沪教版必修一在118页图像概念中强调图像与解析式关系是等价的关系，本质是通过建立的，如图。沪教版必修1 86页第一次对幂函数Y等于X3次方与Y等于X的-3分之2次方图像对称性通过点进行深度探究。沪教版必修1 125页进一步通过点探究图像与代数式的等价关系，从而抽象出偶函数的定义。沪教版必修2 65页周期性学习过程中，课本还从图像平移对周期性做出探究。同学们思考能否从点出发，将课本定义为R进行修改，使得理论一般化。设计推广一题干不变。第三问继续讨论FX减C零点所有可能值，设F负三等于MF2等于N由试题解答，我们已经知道N属于0到1，左闭右开始F负二等于F0等于F2，F负三等于M是不属于开区间0到1的M不等于零时，M负三不等于F2。结合这几点不能得到下面的结论。实际推广二题干不变。第三问修改A的范围，将A属于开区间0到2改为A属于开区间0到1，探究X属于B区间-2到20FX减C零点之多是多少个？求解一式的过程和原题类似，可以看出有一部分解析式求不出来，这样就增加了不定点数量凸显点平移这一核心方法的价值。具体过程如下。有的过程较长，我们只分析关键步骤在区间X属于-1.5到-1左闭右开始，FX减C最多一个零点。当C属于0到0.5左开右闭时，假设存在这样的X1和X2，使得FX一等于FX2等于C如图可以看出X1X2都属于MA那么FX1加2就等于FX2加2，由函数Y的FX在0到1上单调产生了矛盾。当C不属于0到0.5，左臂左开右闭时，假设也存在这样的X1和X2，使得FX1和FX2相等等于C那么X一就属于MAFX1加2就等于FX一等于C由于X1加2在0到1之间可以带入到解析式当中，计算得到的结果不等于C产生了矛盾。最后不难说明，在此区间里面是存在这样的点的，只要钙零点不属于MA就可以了。最后也不难说明，在B区间-2到2上存在最多存在9个0点。同学们可以类比原题的解答过程，把具体过程写出来，这里不再赘述。设计推广三题干不变，修改A的范围，将函数进一步抽象，将给定范围的解析式用抽象函数GX表达，且对任意的X一不等于X2都有GX1不等于GX2。进一步讨论，X属于B区间-3到30，FX减C零点至多有多少个？通过对函数进一步抽象，在缺少几何意义的情况下，进一步凸显点评这一核心方法价值。在逐渐抽象的过程中训练思维品质，提升数学抽象逻辑推理的核心素养。在解答过程中学会使用规范的符号语言进行逻辑推理。具体过程如下，由于过程十分冗长，一旦对概念的抽象，我们只分析关键步骤。在B区间-2到2上讨论和推论二类似。我们着重讲一下X属于-3到-2之间，FX减C不存在三个及以上零点。假设存在这样的点，我们有图像解析一下，黑色的点、黄色的点、红色的点都在B区间-2到负-3到负二之间。可以看出当它们相等的时候，黑色的点、黄色的点都属于MA可以传递到-1到0之间，就产生了矛盾。最后不难说明，FX减C最多存在11个0点过程，类似于原题解法，同学们自己课后探究。复习建议一、重视本质探究在平时复习过程中，研究题目不仅要弄懂，而且要抓住题目的本质，从而会一道题，而会一类题，甚至会其他类型的题。以本题探究过程为例，重视点兼具几何特征与代数特征这一基本元素的重要性，涉及几何与代数关系的问题都可以从点出发，从而揭示本质。2、重视教材作用强，加强对教材基本概念、本质的学习。结合本地分析，平时对函数的学习，很多同学只是记住了一些结论和常见的解法，而忽视了概念本质的探究。例如当我们看到F负X等于FX的时候，就会条件反射想到偶函数图像就是关于Y轴对称的，却忽略了教材对F负X等于FX与图像关于Y轴对称是通过点建立的等价关系，缺少深度探究学习。同理，教材当中其他概念的学习也需要重视，从而适应新高考的命题趋势。最后总结一下我的分享，速区行时少直观行，车速时难入微，遇到直观入微难抓住本质运用点。谢谢观看。