各位专家老师、同学们，大家上午好。我们队来自于四川省温江中学，我是杨乾芳。我是何天宇，我是陈婷婷。大家好，我们今天讲的是全国甲卷理科16题请。再仔细回顾一下这道题目。看到这样的一个题目，你该如何思考，从何下手呢？著名的数学教育家波利亚的怎样解题中，把寻找并发现解法的思维过程分解为弄清题意、制定计划、执行计划和检验回顾四个步骤，使我们对解题的思维过程看得见、摸得着。那么回归本题，我们的第一步需要的是弄清题意。根据题干条件，我们要知道三角形的两边及其中一个对角，那么这个时候三角形ABC其实是确定即可求的。我们要求解的是角A的角平分线长。画图可知这是一个爪形三角形的结构。爪形三角形是指在一个给定的三角形中连接一个顶点和对边上的任意一点所形成的一个图形。本地一条角平分线让三角形的个数一变3，形成了转型。这样题干的信息就变得分散。在理清了提议之后，我们将来执行相关的一个计划。那么要解决转型三角形这样的一个模型，其实我们的关键在于我们是解什么样的三角形，怎么样去求解三角形。本例当中大的三角形ABC我们知道的条件信息是比较确定的，所以我们计划从大的三角形ABC入手，再去求解小的三角形AB大或者说AC大。那么从大的三角形到小的三角形的一个突破的过程当中，我们可以考虑从几何关系和代数关系入手。在几何关系当中常见的几何量、角度、长度、面积就是我们做题的一个思路。也可以在几何图形当中通过添加辅助线来解决。如果我们从代数关系入手的话，我们通常是借助向量这个工具来进行解决的。有了计划，我们将执行这个计划并检验回顾我们爪形三角形的一个通法通解。具体的我们来看一下这道题目。如果我们从角度关系入手的话，我们先求解大的三角形ABC当中的角度，再去考虑求解小的三角形当中的一个角度。那么由已知条件我们可以知道，在大的三角形当中两边及其中一个对角，我们可以借助正弦定理先求解出来我们的角C那么这个时候大的三角形ABC3个角全部求解出来，再放到小的三角形当中。也通过一个角度的计算，我们可以得到我们的AB大这样的一个小的三角形，它其实是一个等腰三角形，从而直接得到我们的A大长度是等于AB长度等于2的4T求解，同样的在大的三角形ABC当中有两边及其一对角，我们也可以采用余弦定理求解出来这个三角形的三条边。那有了三条边之后，其实我们是可以去求解角度的，所以我们采用了求角B但角B的余弦值算出来是四分之根号6减根号2，这就要求同学们你们要会识别，这个也是我们的一个特殊的三角函数值。同样的之后的解法其实就跟前面是一样的。那么在解法三当中，其实我们的方法是雷同的，只是在知三边求角的时候，我们选取的是求角C这个时候大家就可以发现角C的余弦值是二分之根号2。这个角同学们肯定就熟悉多了，所以这儿我们就建议同学们在平时一定要多多积累我们的这些特殊角的三角函数值，请牢记于心。如果你知道张角定理的话，这道题在爪形三角形当中，两爪AB和AC的长度是已知的。我们的爪BA大大AC以及BAC这三个转的角度也是已知的。利用这个定理我们可以直接实现本题的秒杀，得到A大等于2。我们简单回顾一下张角定理，它的证明可以由等面积快速得到。接下来我们将从长度关系入手，在长度关系的求解过程当中，我们需要牢牢的抓住我们的三角形ABC边长都是已知的，有角平分线定理。我们可以知道AB的长度比上AC的长度等于的是B大的长度等比上C大的长度，那么我们的C大和B大的长度也就求出来了。换言之就这个爪形三角形ABC当中除了要求的A大不可以外，其余的所有长度我们都是求解出来了的。所以我们现在只需要去建立一个关于A大的方程求解即可。所以在解法五当中，我们选取了在小的三角形AC大当中，利用余弦定理建立方程求解A大的长度。解法六和解法五选取的三角形不同，我们选取的是三角形AB大，借助余弦定理求解。那么在这两个三角形选取的过程当中，同学们可以试验一下，由于长度的关长度值是不一样的，那么你可能带来的运算量也就有点不一样。所以我们一定要学会筛选，选出我们的数据更简洁的图形，这样子帮助同学们减少运算量，提高准确率。同样的我们也可以在小的三角形和大的三角形当中，对同角使用两次余弦定理，建立方程，求解出来A大等于2。最后一个长度关系，我们是借助了斯库顿定理。也就是说在我们的角平三角形的角平线的长度，它其实是等于上级AB的长度乘以AC的长度，来减去下级我们的B大的长度乘以C大的长度的。我们也可以快速准确的得到我们要求的角平分线A大的长度。这儿给同学们展示一下斯库顿定理，它的证明建议放在我们的外接圆当中去验证下去。建议同学们自己完善一下这个证明，并借助这个证明来进行解题。掌握一些这样的一些固定理的话，可以帮助同学们打开你的解题的一个思路。接下来将由我们将由杨乾芳老师给大家讲解。好，接下来由我给大家讲解后面的一些减法。首先本题当中涉及到三角形的角平分线，而三角形的角平分线模型当中就蕴含了等高的特点，因此我们可以考虑从面积入手建立边角关系。那在本题当中大的三角形ABC已知，所以三角形ABC的面积已知。我们可以利用等面积法将三角形ABC的面积表示成三角形ABD和三角形AC大的面积之和，从而建立高H的方方程解出H等于一，所以A大等于2。同样当我们在求解三角形AB大的面积的时候，我们还可以采用面积公式，三角形AB大的面积等于2分之1，AB乘A大乘以sin 30度，从而建立关于边长A大的方程解出A大等于2。另外有角平分线。的性质，我们可以得到三角形的面积之比等于边长之比。所以通过大三角形的面积已知求解出小三角形ABC的面积等于1，表示出三角形ABC的面积，解出A大等于2。本题当中我们可以考虑添加辅助线，而在平面几何里面添加平行线和垂线就是两种最常用的添加辅助线的方法。首先我们考虑从已知的两边的交点B点往对边做垂线BE这样我们就形成了两个直角三角形，ABE和直角三角形BCE。在两个直角三角形当中分别求解出BE等于CE等于根号3，那么我们就可以建立角度关系，得到角AB大其实等于角A大B的，所以AB等于A大等于2。另外我们从D点做AB边的平行线大E那么就得到角EA大等于角E大A得到等腰三角形。由平行线构造出来，利用相似三角形得到边大于等于3分之2倍根号3。那么接下来在第二步小三角形A大E当中，简单利用一个正弦定理可以求解到A大等于2。本题我们还可以考虑将几何问题代数化，以向量作为工具。那么以向量来解决平面几何问题常用的方法就是坐标法和基底法。而采用坐标法求解的过程当中，最关键的地方就在于如何去建立恰当的坐标系。在本题当中由模型我们可以看到直线AB直线AC它其实关于直线A大对称的。我们可以考虑以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系。根据已知条件表示出BC点的坐标，现在要求A大的长度其实就转化为求点D的横坐标。我们利用BC向量和B大向量共线共线向量的坐标运算，直接计算出点D的横坐标为二。也就是A大等于2。采用基底法来解决的关键就是在于怎样选择合适的基底。而在本题中通过大三角形的求解可以发现AB边长，AC边长已知，并且夹角已知。因此我们可以选择以AB向量和ac向量作为基底，从而表示出我的目标向量A大向量。通过向量的运算求解出A大向量的模长为二，也就是A大的长度等于2。另外当我们用基底表示出A大向量之后，我们还可以将其与我们的其中一个基底，比如AB向量来做数量级。建立一个关于A大的模长的方程，求解出A大的模长为二，也就是A大。等于2。回顾本题，针对爪形三角形中的角平分线问题，其实我们要充分的利用爪形三角形中的三个三角形以及角平分线所具有的特殊性质。从几何关系和代数关系出发，我们寻求了5种思路，形成了16种不同的解法。那对于一般的爪形三角形而言，通过解两个三角形或者通过角度、长度、面积、数量级等算两次建立方程求解都是常用的方法。同学们在平时的学习当中也要多积累一些定理和结论，也帮助我们实现秒杀。其实爪形。三角形问题难度是中等的，并且在今年全国乙卷18题，新高考一卷17题、二卷17题都考察了爪形三角形模型。而在教材当中也出现了以中线和角平分线为背景的爪形三角形。比如在人教A版必修五习题1.2A组13题当中，就出现了以中线为背景的爪形三角形，本例题在新教材必修二习题6.4当中也出现。另外在习题1.2A组第三题当中，也以应用题的背景下考察了爪形三角形。因此我们在平时的学习当中，一定要多多的挖掘教材，提炼模型。最后我们为大家准备了两个变式训练，并附上了参考答案，同学们可以根据今日所学尝试作答。本题的讲解我们就到此，谢谢大家。