各位老师好，我是清华附中的严志存。下面由我来展示2023年北京高考第十九题的解题思路。先来看原题，已知图中椭圆E的方程直接给出，而点ABCD分别是椭圆的四个顶点，点P为椭圆上在第一象限内的动点，其中直线PD和直线BC交于点M直线PA与直线Y等于-2交于点NM和N都是直线的交点，最终需要求证MN和CD平行。首先介绍一个普通的解法，也是学生更加容易想到的解法。它的基本逻辑就是我们先设点P的坐标，然后借助于P点的坐标来表示直线方程。通过联立求得MN的坐标，然后再想办法去验证平行。首先我们设点P的坐标为X0Y0，那X0Y0它所满足的就是椭圆方程D点的坐标是30，我们就可以得到直线PD的方程，我们又有直线BC的方程。因为M是两条直线的交点，所以连理两个直线的方程就可以得到XM和YM的算式。类似的我们先写出直线ap的方程，然后把它跟直线Y等于负二进行联立，同样可以得到N点的横纵坐标的表达形式。当然这些结果都是用X0和Y0来表示的那下一步为了证明MN和CD平行，只需要验证MN和CD这两条直线的斜率相等，都是3分之2就可以了。为了表示MN的斜率，我们的处理方式就是用M和N两点的横坐标纵坐标之差跟横坐标之差去做比那后面的就是对这样一个庞大的算式进行整理和化简的过程。这个算是比较复杂，所以我们一步一步来。首先注意到分子和分母，他们会有一个共同的分母，就是Y0加上3分之2倍的X0减3。所以我们先进行约分，上下同乘这样一个算式，得到这个算式。那在这个算式当中分母上还有一个分式结构，是这一部分。我们先来研究这一小部分分式结构，其中它的分子在展开计算之后会出现3分之8倍的X0的平方，是关于X0的1个平方项。那这里我们就可以借助于点P它满足椭圆方程，也就是九分之X0的平方等于一减去四分之Y0的平方去完成一个替换。在替换完成之后，可以把3分之8倍的X0的平方换成24减6倍的Y平方。进一步可以分解因式，分解出Y0减2这个因式。换言之这个分式它是可以整除的那在处理完这一部分之后，我们重新去回顾关于MN的斜率的一个算式。分子和分母进行合并和化简，最终上下都有三项，而且它们每一项的系数是对应成比例的，这个比值就是3分之2。好，这就是一个完整的解法。上述过程思路比较清晰，但是计算量偏大，所以我们就考虑有没有办法可以简化计算。换言之能不能在上述解法的基础之上需要加以改善。事实上我们其实有两种方法，可以把刚刚需要验证的算式，KM等于YXM减YN比上XM减XN等于3分之2，转化成XN等于二倍的XM，就是N点和M点，它们的横坐标是一个两倍关系，显然后者更加容易验证，而且计算起来也更为简便，可以免除掉很大一部分无用的计算。这两种方法，方法一是进行几何转化。我们来看图注意到MN和CD是平行的，而且这两条线他们都跟直线BM相交。而且其实图中BD和cn这两条线也是平行的，所以注意到这两组平行关系。我们其实发现三角形BCD和3角形CMN它们应该是相似的。而三角形bcd它作为椭圆的顶点，三角形它是一个等腰三角形。所以我们其实只需要证明三角形CMN也是一个等腰三角形，也就是XN等于二倍的XM1旦这个结果成立，那么就可以用它来验证三角形BCD和3角形CMN是相似的那进一步的我们就可以得到MN平行于CD也就是这道题需要证明的结论，这是方法一。利用几何转化来实现那等价的，其实用代数变形也可以实现同样的效果。我们来回顾刚才的求解过程，在我们计算得到XM之后，我们是借助于点M在直线BC上，把XM带入了直线BC的方程来求解YM的那在这个过程当中，如果我们保留这个算式，就是YM等于负的3分之2倍的XM减二这个关系不带入XM去进行计算。那我们重新看一下我们斜率的这个算式，其中分子部分的这个减2和后面的减负二就可以前后约掉，把它整理成一个上下只含有XM和XN的一个算式。那为了确保这个算式它的取值是3分之2，那我们去稍微整理一下就可以得到。只需要验证XN等于二倍的XM就可以。所以这两个方法它其实就是把斜率的一个算式转化成横坐标的关系来简化计算两个方向，但最终实现的效果是一致的。当然后续的处理其实也有一定的技巧。最后一步我们为了验证XN等于二倍的XM，也就是后面的这一个长串的算式。首先把它交叉相乘，然后观察整个算式，其中等号右边有一个因式是Y0减2，而等号左边其实也有这部分因式Y0减2。Y0减2这个因式它出现的频率很高。事实上整个算式当中唯一不包含Y0减2这个因式的只有一项，就是负的2X0乘上3分之2倍的X0，也就是负的3分之4倍的X0的平方。同样的这里我们去借助椭圆方程，实现一个用Y0来表示X0的这样的转化，同样可以把这一项给它分解出Y0减2这个因式，显然Y0减2是不等于零的。如果我们给等号两边同时约掉这个因式，那想要验证上述等式成立就变得非常容易。好，以上就是我们设点这一方法的基本思路以及可以改进的地方。事实上除了设点，我们还可以考虑射线去设出直线PD的方程来进行计算。我们设PD的斜率为K，又因为D点的坐标30是已知的，就可以写出PD的方程。这一做法的好处就是PD的方程形式上会更加简单一些。如果我们把它跟BC联立，就可以直接得到点M的横坐标，但是我们想要去表示点N的横坐标就会复杂一些。因为我们N它是由直线AB和直线CN的交点来确定的。我们要写出ap的方程，首先还是要先搞清楚P点的坐标。所以我们要把PD这条直线跟椭圆方程需要联立，其中一个焦点是点D那联立之后，我们就可以得到另外一个交点，点P的坐标都可以用斜率K来表示。有了P点坐标可以写出直线ap的方程，那我们令它的这个纵坐标Y等于-2，就可以得到N点的横坐标XN这个XN同样是一个包含K的算式，我们在进行化简的时候注意到分子是平方差，分母是完全平方，所以上下同时约掉3K加2就可以进行简化。可以看出来，这样XN它就等于二倍的XM在沿用前面我们的那种化简的思路，只要XN等于二倍的XM那我们就一定有MN和CD平行。事实上只要我们完成了约分，把XN写成了这个形式，那哪怕直接按照斜率的那个算式进行计算，过程也不会特别复杂。好，最后我们来回顾一下本题给我们带来的启发。第一点是几何转化。我们有什么优雅的方式可以表示题中所出现的平行关系？MN平行于CD事实上我们是借助于三角形相似把它转化成了XN等于二倍的XM这样一个等式。第二点，代数变形。一方面在整个计算过程当中，其实有些时候不能算透。如果我们注意保持其中的代数结构，随时进行化简，很有可能可以很大程度上简化整体的计算，特别的还要有时刻提取因式的思想。比如说这道题它出现频率很高的一个因式就是Y0减2。如果我们意识到这个点，然后尽量把它的分子利用X0和Y0的关系，转化成能够分解出Y0减2G因式的形式，它就为我们整个的化简提供了一个方向。最后这道题前面大致介绍了两种方法，一个是设点P的坐标，一个是射线，也就是设PD的斜率。这两个方法其实是有利有弊的，要视不同的题目进行选择。一般而言，如果是设点，那么要随时考虑转化和整体代换需要。我们很有眼力，它的技巧性会偏强。如果射线位置量会比较少，因为射点的位置量是X0和Y0两个，而射线这道题只有一个斜率K，它的位置量可能会少一点。但是联立之后，它整个的计算量是稍微大一些的，但它比较无脑，更适合进行运算。好，以上就是我对北京高考19题的一些想法和分析，谢谢大家的观看，欢迎各位老师来批评指正。