老师们、同学们，大家好。我们是来自北京市第171中学的梁树成、侯思坤。今天由我们来为大家分享2023年北京高考第十题。本次分享的目录，一原题复现二思维导图三考场初试四直观想象五代数运算6变式迁移七作者感受原题复现，本题为一道递推数列压轴问题，综合考察了数列的单调性与有界性情况，具有一定难度。因此本次分享将从特殊值分析归纳猜想的视角、蛛网图直观想象的视角、代数运算构造辅助设备的视角进行展开。在高考考场上，既要有正确率，还要提高做题的效率。下面我给大家介绍一种我在考场上运用到的办法。示数法，对于A选项，当A等于三时代入递推式，可以求出A2、A3、A4时。观察其变化规律，发现数列单调递减无下界变化方式与BN等于负的4分之9的N次方加六近似，所以A错误。对于B选项，当A一等于五时，可以算出A2、A3的值，并猜测出它的通项公式，此时为递增数列。当N趋近于正无穷时，AN等于6，则数列无限趋近于六且小于6，所以B正确。对于C选项和B选项的做法相似，只是通项公式稍加改动，所以C错误。对于D选项和A选项相似，也可以求出A2、A3、A4的值，所以D错误。这办法不错呀，可以快速得出答案。可不是。可我总觉得这么做好像差点意思，毕竟只是试了几个数，没有并没有什么证明确实。不过你还记得吗？前一阵子王老师曾经在课上讲过一种巧妙的办法，那个像蛛网一样的图。我想起来了，那个图真的可以非常直观的表明数列的单调性和有界性。那我就用这个办法来解决这个题。首先构造两个函数标记点BA1，A一过B做Y轴平行线交FX与A1，其动坐标即为A2。过点A一作X轴平行线交Y等于X于点B1再过点B一作Y轴平行线交FX于点A2，A2A3。这样依次得到点BA1B1A2一直到点BN减1AN之后，我们可以得到一个蛛网图。基于此我们对以下四个选项进行分析。对于A选项，A一等于30，AN是递减数列，趋向于负无穷，因此A选项是错误的。对于B选项，当A一等于五时，AN虽然是递增数列，但其具有上界6，因此存在M等于6，使N大于M时，AN小于M恒成立，B选项正确。对于C选项，A一等于7时，AN虽然为递减数列，但其具有下界6，因此C是错误的。对于D选项，A等于90，AN是没有上界的递增数列，因此D也是错误的。这个方法很巧妙，能在考场上节约大部分时间。你就是个画图小能手啊，以后我就管你叫图图吧。但我总觉得这只是一个从图上直观想象的办法，缺乏代数证明的严谨性。那你有何高见呢？其实我们一定可以通过代数运算的方法算出它的通项公式来解决问题，这样就会从更一般的角度切入解决问题。可代数运算计算量太大了，可能会因为这道题。做不完卷子的，你先看看再说。我们主要由数学归纳法的方式来进行通项公式的证明。因为AN加一等于4分之1，AN减6的3次方加6，所以可以算出A2A3的值。我猜想它的通项公式如下，之后用数学归纳法进行证明，当N等于一时，A一等于A一成立。假设当N等于K时命题成立，我们只需要证明当N等于K加一时它是否也成立。经过计算AN等于K加一时确实成立，所以我们之前猜测的通项公式是正确的。你这归纳法挺漂亮。你这见识还是有点少了。我这还有个构造辅助数列的办法，让你见识。因为AN加1减6等于4分之1，AN减6的3次方，所以设BN等于二分之AN减6，两边取对数可知log BN是等比数列，所以之前的通项公式也是能证明是正确的。同理当AN减6小于零时，设BN等于2分之6减AN依然满足上面的通项公式。所以任意的N属于N星都等于它的通项公式。另外我们可以用通项公式说明单调与有界性。当A一大于6且小于8时，AN是递减数列。通过以下的证明，我们能知道AN是大于六且小于八的。通过通项公式得出来的结论确实让人安心。既然你的通项公式用的这么顺畅，那就叫你通通。可是你能保证在考试时间有限的情况下，把这题的思路一步一步的想这么明白还不算错。明明还是我的画图更简洁。那你的蛛网图能解决所有的问题吗？你还记得这道题吗？我都不考你难的这就是教科书上的原题。我把它改编了一下来考考你，看你能不能。解决他。好啊，童童。我们再次构造两个函数，对于A选项A一等于三时，AN递减，且下界为一A正确。对于B选项，A一等于2分之1时，AN递增，但其具有上界唯一B错误。对于C选项A等于一时，AN为常数数列，C选项成立。对于D选项A在-2分之1到0时，A2小于零的D选项不正确。行，图图这蛛网图的正确率不低。那我来说说代数的方法。可以证明AN分之一减一是等比数列，进而求解的通项公式如下。由通项公式我们再来看四个选项，可知AC是正确的，那么BD是错误的。不错，通通其实如果熟悉了代数运算也没有那么难。那是我这儿还有一道题，那这题你来负责直观。想象好啊，你来看也可以构造两个函数构造函数后，可以得到以下结论。由上述结论可知，CD是错误的，B选项是正确的。干得漂亮。那代数部分就交给你了，没问题。我们来首先对数列两边加一，构造完全平方公式后取对数可以证明log BN加一是公比为二的等比数列，进而求其通项公式。有了通项公式就很容易判断ACD是错误的。B选项正确。你也不赖，成功用通项公式解决了。承让，我这儿还有一道题就出给观众朋友们了。这道题的正确答案选择2B选项，这是直观想象的办法，这是数学运算的办法。今天的交流你感觉怎么样？其实我原以为直观想象是缺乏代数依据的，以图代证，但现在看来并非如此。对我以前也对代数运算存在误解，仅认为它计算量大耗费时间，但却忽略了它严谨性的一面。所以直观想象为代数证明提供方向，代数证明为直观想象提供逻辑保证，二者其实互为补充。说到这儿，突然想即兴赋诗一首。解题随想，递推数列题目难，归纳猜想做在前，辅助数列求严谨，蛛网图下显臻言。你说的真是太好了，谢谢大家。