第一讲 长方体和正方体（思维拓展讲练-知识梳理+11个考点讲练+实战演练 共48题）-2025-2026学年苏教版数学六年级上册初等奥数培优讲义

第一讲 长方体和正方体 【知识梳理+11个考点讲练+实战演练 共48题】 （解析版） 学习定位 知识引入 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：长方体 2 知识点梳理02：正方体 3 知识点梳理03：常用数学方法 3 重点难点 考点讲练 3 重难点考点1 长方体表面积的计算 3 重难点考点2 长方体表面积的应用 6 重难点考点3 正方体表面积的计算 8 重难点考点4 正方体表面积的应用 11 重难点考点5 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 13 重难点考点6 组合体的表面积（长方体、正方体) 15 重难点考点7 长方体的体积 17 重难点考点8 正方体的体积 21 重难点考点9 体积的等积变形（长方体、正方体) 25 重难点考点10 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 27 重难点考点11 组合体的体积（长方体、正方体) 29 能力提升 实战演练 31 本讲内容从我们熟悉的平面扩展到了三维立体空间，教学目标是培养学生的空间想象能力，对于长方体和正方体的表面积和体积的计算我们在学校的课本上都已经学习过，都是相对比较简单的，今天我们一起将这部分内容进行拓展和研究。我们主要研究的对象是复杂的立方体的体积和表面积计算方法。同学生要记住知识是有限的，但想象力是无限的。 重点难点：1．长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用 2．构造法的运用 考点： 3．结合棱长、表面积的特性等求立体图形的体积 4．水深问题的求解 5．长方体正方体知识点与其他知识点的结合 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？  蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。 法国科学家法伯曾做过一个著名的毛毛虫试验。法伯把若干毛毛虫放在一个花盆的边缘上，首尾相连，围成一圈，并在花盆周围不到六英寸的地方撒了一些毛毛虫最爱吃的松针。毛毛虫开始一个跟一个，绕着花盆一圈又一圈地走，一小时过去了，一天过去了，又一天过去了，毛毛虫们还是不停地围绕花盆在转圈，一连走了七天七夜，它们终于因为饥饿和精疲力竭而死去。 毛毛虫的悲剧在于盲从。其实，只要有一只毛毛虫能越雷池一步，打破固有的习惯及跟随的习性，就会逃脱死亡的陷阱。 另一位科学家的实验是在海洋馆里。他用玻璃板把一条具有攻击性的大鲨鱼和另一条小鱼隔开。刚开始，这条大鲨鱼不断撞击玻璃，企图捕食隔壁的小鱼。无奈，玻璃隔板太坚硬，无论怎么发威，玻璃隔板丝毫未损。攻击了一段时间，它便放弃了。于是，科学家便把隔板悄悄地移开。意想不到的是，大鲨鱼再也没有攻击过小鱼。它们都温和地在各自的领域活动，互不侵犯。 其实，很多时候，人和鲨鱼一样。经过一段时间努力而没达到预期效果时，我们便画地为牢，认为这件事自己永远都办不到，却完全忽视自身力量的壮大和外界条件的改变。久而久之，便形成习惯性思维，套在失败的经验中爬不出来，以致失去一次又一次唾手可得的机会，最终一事无成。 知识点梳理01：长方体 若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么可得：: 方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）； 长方体的体积：V长方体＝abc． 如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等。 （叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）． 知识点梳理02：正方体 我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么可得： 正方体的表面积：S正方体=6a2 ； 正方体的体积：V正方体=a3． 知识点梳理03：常用数学方法 立体几何相关数学方法： 接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算. 1. 视图法：主要适用于求正方体积木塔建图形的表面积计算.以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面. 片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个方向切成多片，化立体为平面. 模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图,以最适合该立体图形的基本几何图形为模型.再在该图形上进行切割. 重难点考点1 长方体表面积的计算 【母题精讲】（25-26六年级上·山西太原·期中）红红用1立方厘米的小正方体摆成一个长方体，从正面、上面和左面看到的图形如图所示。这个长方体的棱长和是( )厘米，体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 32 16 40 【思路引导】通过三视图确定长方体的长、宽、高：从上面视图的2×2小正方形得长和宽都是2厘米，从正面/左面视图的4个竖排小正方形得高是4厘米。 算棱长和时，用“4×（长＋宽＋高）”，即4×（2＋2＋4）＝32厘米；体积用“长×宽×高”，得2×2×4＝16立方厘米；表面积用“2×（长×宽＋长×高＋宽×高）”，算得2×（4＋8＋8）＝40平方厘米。 【规范解答】通过三视图确定长方体的长2厘米、宽2厘米、高4厘米。 棱长和：4×（2＋2＋4） ＝4×8 ＝32（厘米） 体积：2×2×4＝16（立方厘米） 表面积：2×（2×2＋2×4＋2×4） ＝2×（4＋8＋8） ＝2×20 ＝40（平方厘米） 因此这个长方体的棱长和是32厘米，体积是16立方厘米，表面积是40平方厘米。 【考点剖析】先通过三视图确定长方体长2厘米、宽2厘米、高4厘米，再用对应公式算出棱长和32厘米、体积16立方厘米、表面积40平方厘米，关键是视图定尺寸、公式记准“乘4（棱长和）”“乘2（表面积）”。 【演练1】（2025·江苏淮安·小升初真题）一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是 平方厘米。 【答案】94 【思路引导】通过观察长方体展开图的可知，这个长方体的宽是4厘米，高是3厘米，涂色部分是长方体上面和后面，上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高，已知上面和后面的面积和是35平方厘米，据此可以求出长方体的长，再根据长方体的表面积表面积＝（长＋宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答。 【规范解答】上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高， 上面的面积＋后面的面积＝长×（宽＋高） 所以长＝35÷（4＋3） ＝35÷7 ＝5（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×4 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是94平方厘米。 【考点剖析】明确长方体展开图中涂色部分的面与长方体长、宽、高的对应关系，通过涂色部分面积和求出长方体的长；熟练运用长方体表面积公式，代入长、宽、高的值即可求出表面积。 【演练2】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）一个长方体蓄水池，长30m、宽20m、深2.2m。 （1）这个蓄水池占地面积是多少平方米？ （2）池里的水离池口0.2m，池里一共蓄水多少立方米？ （3）如果在这个蓄水池的池底和四周铺上面积为0.25m2的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】（1）600平方米 （2）1200立方米 （3）3280块 【思路引导】（1）长方体蓄水池的占地面积即为长方体的底面积，用长×宽即30×20＝600（平方米），据此解答； （2）长方体容积的算法和体积相同，根据长方体的体积＝长×宽×高，池里的水离池口0.2m，即高度为2.2－0.2＝2（米），30×20×2＝1200（立方米），据此解答； （3）蓄水池的池底和四周铺上面积之和即为求无盖长方体的表面积，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，即30×20＋30×2.2×2＋20×2.2×2＝820（平方米），再用总面积除以每块瓷砖的面积即可得到需要瓷砖的块数；据此解答。 【规范解答】（1）30×20＝600（平方米） 答：这个蓄水池占地面积是600平方米。 （2）2.2－0.2＝2（米） 30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方米） 答：池里一共蓄水1200立方米。 （3）30×20＋30×2.2×2＋20×2.2×2 ＝600＋132＋88 ＝820（平方米） 820÷0.25＝3280（块） 答：至少需要3280块这样的瓷砖。 【考点剖析】本题考查长方体体积、无盖长方体的表面积，学生需熟练掌握。 重难点考点2 长方体表面积的应用 【母题精讲】（25-26六年级上·江苏泰州·期中）用9个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】2250平方厘米 【思路引导】假设小长方体最长的棱为长，次长的棱为宽，最短的棱为高，根据图乙可得出：长＝3高，2长＝3宽。设小长方体的高为a，那么小长方体的长就是3a，宽就是3a×2÷3＝2a，那么小长方体的体积就是：3a×2a×a＝6a3，已知小长方体的体积是750立方厘米，即6a3＝750，那么a＝5，所以小长方体的长、宽、高分别是15厘米、10厘米、5厘米。再根据乙图求出大长方体的长、宽、高。最后根据长方体的表面积公式即可求出大长方体的表面积。 【规范解答】假设小长方体的高为a，则长为3a，宽为3a×2÷3＝2a。 3a×2a×a＝6a3 所以6a3＝750 6a3÷6＝750÷6 a3＝125 因为5×5×5＝125 所以a＝5 所以小长方体的长是：3×5＝15（厘米） 小长方体的宽是2×5＝10（厘米） 小长方体的高是1×5＝5（厘米） 大长方体的长：15×2＝30（厘米） 大长方体的宽：15×1＝15（厘米） 大长方体的高：10＋5＝15（厘米） （30×15＋30×15＋15×15）×2 ＝（450＋450＋225）×2 ＝1125×2 ＝2250（平方厘米） 答：大长方体的表面积是2250平方厘米。 【考点剖析】本题解题关键是根据乙图分析出小长方体的长、宽、高三者的关系，根据小长方体的体积求出长、宽、高。 【演练1】（25-26六年级上·江苏淮安·月考）一个长方体，从高上削去3厘米后就变成一个正方体，表面积比原来少了120平方厘米，那么原来长方体的体积为多少立方厘米？ 【答案】1300立方厘米 【思路引导】高削去3厘米，就变成正方体，说明原来长方体的底面是一个正方形，并且底面的边长比高少3厘米。因为上下两个底面为正方形，所以其余4个面（前、后、左、右面）为完全相同的长方形。表面积比原来减少了120平方厘米，减少的是4个相同的长方形的面积，先用120÷4得到每个长方形的面积，计算得30平方厘米。每个长方形的宽为3厘米，根据长方形的长＝面积÷宽，用30÷3得到每个长方形的长，也就是长方体的底面边长，计算得10厘米。原来长方体的高比底面边长多3厘米，用10＋3得到高为13厘米。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算出原来长方体的体积即可。 【规范解答】120÷4＝30（平方厘米） 30÷3＝10（厘米） 10＋3＝13（厘米） 10×10×13 ＝100×13 ＝1300（立方厘米） 答：原来长方体的体积为1300立方厘米。 【考点剖析】解题关键在于根据削去部分表面积（120 平方厘米是 4 个以底面边长和3 厘米为边长的长方形面积和）求出长方体底面边长，进而得出原长方体的高，最后算出体积。 【演练2】（25-26六年级上·江苏淮安·月考）江苏省城市足球联赛简称“苏超”，火爆全网，每一位市民都为自己所在的城市加油助威。多多是一位小足球迷，为了庆祝淮安队获胜，做了一个“足球少年”雕塑。现在要给雕塑配一个正方体底座，于是他把一个长方体木块沿着高截去3分米后，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少了72平方分米。原来长方体木块的体积是多少立方分米？ 【答案】324立方分米 【思路引导】减少的表面积就是截取的小长方体4个侧面的面积，剩下的部分是一个正方体，得出原来长方体木块的长和宽相等，也就是截取的小长方体的4个侧面的面积相等，这样可以先求出一个侧面的面积，再除以截取的长度，得到原来长方体木块的长，也就是宽，长方体的长加上截取的长度即为长方体木块的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高求出体积。 【规范解答】72÷4÷3 ＝18÷3 ＝6（分米） 6×6×（6＋3） ＝36×9 ＝324（立方分米） 答：原来长方体木块的体积是324立方分米。 【考点剖析】理解减少的表面积就是截取的小长方体4个侧面的面积是解答这道题的关键，从而也能知道原来长方体的长和宽相等。 重难点考点3 正方体表面积的计算 【母题精讲】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）下图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是( )平方厘米。 【答案】872 【思路引导】观察图形可知：通过面的平移，正方体上顶点处挖去的两个小正方体并没有减少正方体的表面积；面上挖去一个小正方体，正方体的表面积增加了4个边长为2厘米的小正方形的面积；挖去一个小长方体，正方体的表面积减少了长方体的左、右侧面的面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，长方体的左、右侧面面积之和＝宽×高×2，据此分别代入数据求出原来正方体的表面积以及增加、减少部分的面积，最后用原正方体的表面积加上增加的面积，减去减少的面积，即可求出这个几何体的表面积。 【规范解答】12×12×6＋2×2×4－2×2×2 ＝864＋16－8 ＝872（平方厘米） 则这个几何体的表面积是872平方厘米。 【考点剖析】本题关键是明确不同部位挖去小正方体后对大正方体表面积的影响。 【演练1】（24-25六年级上·江苏常州·期中）下面说法中错误的有（    ）句。      （1）真分数的倒数一定比1大； （2）把甲桶油的倒入乙桶后，两桶油正好相等，原来乙桶油是甲桶油的； （3）对比下边的甲、乙两个盒子，甲盒体积较小，乙盒容积较大； （4）正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】（1）分子小于分母的分数是真分数，找一个真分数求出它的倒数即可解答。 （2）把甲桶油看作单位“1”，根据题意，分析两桶油是否相等。 （3）没有具体数据无法判断甲乙两个盒子体积和容积。 （4）假设正方体的棱长为1，根据正方形的表面积以及体积公式求出扩大前后的表面积及体积即可解答。 【规范解答】（1）的倒数是，大于1。该说法正确。 （2）把甲桶油看作单位“1”，倒出后，还剩。假设原来乙桶油是甲桶油的，乙桶油加上甲桶油的后是：。，两桶油不相等。该说法错误。 （3）虽然看起来乙盒子比甲盒子大一些，可能是乙盒子近，甲盒子远的关系。它们没有具体的数据，不能判断它们体积的大小。该说法错误。 （4）假设正方体的棱长为1，原来的表面积是1×1×6＝6，现在的表面积是2×2×6＝24，24÷6＝4。原来的体积是1×1×1＝1，现在的体积是2×2×2＝8，8÷1＝8。该说法正确。 综上，（2）（3）说法错误。 故答案为：B 【考点剖析】先分析各说法是否正确，再统计。（1）举例说明。（2）把甲桶油看作单位“1”，分析甲乙桶油是否相等。（3）没有数据，不能判断。（4）举例说明。 【演练2】（24-25六年级上·江苏南通·期中）一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 【答案】182平方分米 【思路引导】计算与水接触的面积需要分三步：先算原正方体表面积，再减去被挖去的面积，最后加上新增的内部通道侧面积。特别注意两个通道交叉处的重复部分需要扣除。 计算原正方体表面积。正方体有6个面，每个面都是边长为5分米的正方形。根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，即5×5×6； 计算被挖去的面积。从前面和右面各挖穿一个孔，每个孔在入口和出口处各挖去1个1×1的正方形。共挖去4个面：前面、后面、右面、左面各1个，列式为1×1×4； 计算新增内部通道侧面积。每个通道有4个侧面，每个侧面是长5分米、宽1分米的长方形。两个通道一共的面积列式为：4×5×1×2，即40平方分米。但交叉处有4个1×1的面被重复计算，需要扣除，即新增的内部通道侧面积列式为40－1×1×4； 求总接触面积。将原表面积减去被挖去的面积，再加上新增的内部通道侧面积。据此列式计算。 【规范解答】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：与水接触的区域的面积是182平方分米。 【考点剖析】解题关键是：分析挖孔后正方体表面积的变化，即原来的表面积减去被挖去部分的面积，再加上孔内部新增的与水接触的面积。 重难点考点4 正方体表面积的应用 【母题精讲】（25-26六年级上·江苏盐城·期中）下图是由6个棱长是3分米的正方体堆在墙角处拼成的物体。给这个物体露在外面的面涂上蓝色，涂蓝色的面积是( )平方分米。 【答案】117 【思路引导】首先，根据“正方体棱长为3分米”，可以知道一个面的面积是多少。然后分别数一数前面，右面和上面一共有多少个面被涂色，用一个面的面积×总数量＝涂色的总面积。 【规范解答】（平方分米） （平方分米） 所以涂蓝色的面积是117平方分米。 【演练1】（25-26六年级上·江苏苏州·月考）如图，甲和乙表面积的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较 【答案】C 【思路引导】甲是一个完整的大正方体，由8个小正方体组成，其表面的小正方形数量是固定的，乙是在甲的基础上，去掉了一个小正方体。数出减少的小正方形面的数量与新增加的小正方形面的数量。若数量相等，则甲和乙表面积的大小相等；若减少的小正方形面的数量比新增加的小正方形面的数量多，则甲的表面积大；若减少的小正方形面的数量比新增加的小正方形面的数量少，则乙的表面积大。 【规范解答】根据分析得：甲去掉一个小正方体后，其表面减少了3个小正方形，原来被去掉的小正方体在大正方体内部的面会暴露出来，又新增加了3个小正方形，所以甲和乙的表面积相等。 故答案为：C 【演练2】（25-26六年级上·山西大同·月考）西北地区是我国干旱气候区域之一，因其地处内陆，又受到青藏高原的阻挡，这里的水资源非常匮乏。为了更好地积蓄雨水，张爷爷用铁皮制作了一个无盖的正方体水槽，棱长15分米。制作这个水槽至少需要铁皮( )平方分米，这个水槽最多可以积蓄雨水( )升。 【答案】 1125 3375 【思路引导】已知正方体水槽的棱长是15分米，因为无盖的正方体水槽只有5个面，所以用“棱长×棱长×5”即可计算出制作这个水槽所需要的铁皮面积； 再根据“正方体体积（容积）＝棱长×棱长×棱长”求出正方体水槽的容积，最后根据1立方分米＝1升，将立方分米换算为升。 【规范解答】15×15×5 ＝225×5 ＝1125（平方分米） 15×15×15 ＝225×15 ＝3375（立方分米） 3375立方分米＝3375升 所以制作这个水槽至少需要铁皮1125平方分米，这个水槽最多可以积蓄雨水3375升。 重难点考点5 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【母题精讲】（2025·江苏苏州·小升初真题）李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】315 【思路引导】把一根长方体木料锯成3段，需要锯（3－1）次，每锯1次增加2个截面，据此确定增加的截面个数，增加的表面积÷截面个数＝截面面积，木料长度＝段数×每段长度，根据长方体体积公式V＝Sh，用截面面积乘总长，即可求出它的体积，注意统一单位。 【规范解答】1.5米＝15分米 15×3＝45（分米） 28÷[（3－1）×2] ＝28÷[2×2] ＝28÷4 ＝7（平方分米） 7×45＝315（立方分米） 这根木料的体积是315立方分米。 【考点剖析】抓住表面积增加部分是长方体的4个底面的面积是解答此题的关键;注意单位名数的统一。 【演练1】（24-25六年级上·山西太原·期中）一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】挖掉一个小正方体后，长方体在减少两个边长为2厘米的正方形面的同时增加了四个边长为2厘米的正方形面，因此，长方体共增加2个边长为2厘米的正方形面，所以表面积比原来大；挖掉一个小正方体后，体积减小了1个小正方体的体积，所以体积比原来小。 【规范解答】一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积比原来大，体积比原来小。即原说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】要想知道这个立体图形的表面积发生了什么变化，只要把去掉的面积和增加的面积进行比较，看增加还是减少即可。 【演练2】（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】360立方分米 【思路引导】一个长方体木块，从上部截去高为4分米的长方体，便成为一个正方体，说明原来长方体木块的长和宽相等，长和宽相等的长方体，它的前后左右四个面完全相同。 表面积减少的部分就是截去的小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且每个侧面都是形状相等的小长方形，则每个侧面的面积为：96÷4＝24（平方分米），因为截去的小长方体的高是4分米，所以小长方体的长＝24÷4＝6（分米），则原来大长方体的长为6分米，宽是6分米，高为：6＋4＝10（分米），再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【规范解答】96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（分米） 6×6×（6＋4） ＝6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方分米） 答：原来长方体的体积是360立方分米。 【考点剖析】一个长方体从上面水平截去一个小长方体时，大长方体表面积减少的部分就是小长方体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之后）。 重难点考点6 组合体的表面积（长方体、正方体) 【母题精讲】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用棱长2厘米的小正方体摆成下边的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，至少添加( )个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 【答案】 144 17 【思路引导】本题是关于组合体的表面积计算以及补成大正方体所需小正方体个数的求解。对于表面积，需要通过观察组合体各个面的小正方形数量来计算；对于补成大正方体，要先确定大正方体的棱长，再计算所需小正方体总数与现有数量的差值；据此解答。 【规范解答】①组合体的表面积等于其各个面所包含的小正方形面积之和。由于组合体相对的面小正方形数量相同，所以可以先数出一个面的小正方形数量，再乘2得到相对面的总数，最后乘每个小正方形的面积。观察组合体，从前面、后面、左面、右面、上面、下面看，每个方向都能看到6个小正方形。每个小正方形的边长为2厘米，根据正方形面积公式计算每个小正方形的面积为，组合体一共有6个方向，每个方向有6个小正方形，所以小正方形的总数为。则组合体的表面积为。 ②首先，确定大正方体的棱长：观察组合体，要补成大正方体，其棱长应能容纳3个小正方体的棱长，即大正方体的棱长为3个小正方体的棱长。可得大正方体所需小正方体的总数为。接着数出现有小正方体的个数：第一层有6个，第二层有3个，第三层有1个，总共。所以至少需要添加的小正方体个数为。 所以，这个物体的表面积是144平方厘米，至少添加17个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 【考点剖析】计算组合体表面积时，利用相对面小正方形数量相同的特点简化计算；补大正方体时，先确定大正方体的棱长，再通过体积差求解添加个数。 【演练1】（23-24六年级上·安徽滁州·期末）两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是( )dm2。 【答案】256 【思路引导】 大正方体与小正方体接触的面如图，画两条辅助线如图，将大正方方体一个面平均分成8份，小正方体一个面占4份，即大正方体一个面是小正方体一个面的2倍，小正方体一个面的面积×2＝大正方体一个面的面积，大正方体一个面的面积×6＝大正方体表面积，大立体图形的表面积＝大正方体表面积＋小正方体4个面的面积，据此列式计算。 【规范解答】16×2×6＋16×4 ＝192＋64 ＝256（dm2） 这个大立体图形的表面积是256dm2。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式，看懂大正方体一个面的面积和小正方体一个面的面积之间的关系，先确定大正方体一个面的面积。 【演练2】（25-26六年级上·广西钦州·期中）把两块长6cm、宽4cm、厚3cm的长方体肥皂包装在一起，最少用（    ）cm2的包装纸。 A．108 B．168 C．180 D．216 【答案】B 【思路引导】将两个长方体拼在一起，想用最少的包装纸，即表面积最小，要将最大的面叠在一起，就会形成一个长6cm、宽4cm、厚3×2＝6（cm）的长方体，运用长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出这个长方体的表面积即可。 【规范解答】3×2＝6（cm） （6×4＋6×6＋4×6）×2 ＝（24＋36＋24）×2 ＝（60＋24）×2 ＝84×2 ＝168（cm2） 即最少用168cm2的包装纸。 故答案为：B 【考点剖析】解题关键是要找出拼组后的长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。 重难点考点7 长方体的体积 【母题精讲】（2025·江苏苏州·小升初真题）在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 【答案】1020立方厘米；6厘米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高。 根据题意，当铁块横着放置时，水的体积与铁块的体积之和等于容器的底面积乘水的高度（9厘米）；当铁块竖直放置时，水的体积与铁块浸入水中部分的体积之和等于容器的底面积乘新的水位高度（7厘米）； 铁块的总高度等于露出水面的10厘米加上浸入水中的7厘米，即17厘米； 设铁块的底面积为平方厘米，则铁块的体积是（10＋7）立方厘米；根据水的体积不变可列出方程，求出铁块的底面积，进而计算出铁块的体积，再把的值代入方程的一边计算出水的体积； 现在把铁块向上提起5厘米，那么铁块浸入水中的高度变为7－5＝2厘米；用容器的底面积乘2，求出此时铁块浸入水中的体积，加上水的体积，即是此时浸入水中铁块的体积与水的体积之和，再除以容器的底面积，求出此时水的深度。 【规范解答】解：设铁块的底面积为平方厘米。 铁块体积：（立方厘米） 水的体积： （立方厘米） 铁块向上提起5厘米后，铁块浸入水中部分的体积： （立方厘米） 提起后水和浸入水中部分的铁块体积之和： （立方厘米） 提起后水深： （厘米） 答：这个铁块的体积是1020立方厘米。再把铁块向上提起5厘米，此时水深6厘米。 【考点剖析】通过比较铁块横放和竖放时水位变化的关系，根据水的体积不变，列出方程，求出铁块的体积以及水的体积；当提起铁块后，铁块浸入水中部分减少，排开水量减少，分析提起铁块后容器内的水位变化。 【演练1】（2025·江苏苏州·小升初真题）认真审题，操作设计。 王师傅准备用一张长8分米，宽4分米的长方形映皮，做一个深1分米的无盖长方体容器。请你画出不同的焊接方案图，并算出各自的容积，这个长方体容器的容积最大是多少升？（焊接处和缺皮的厚度忽略不计） 【答案】图见详解，12升；14升；16升 最大容积是16升 【思路引导】方案一：在四个角各剪去一个边长为1分米的正方形。长：（8－1×2）分米，宽：（4－1×2）分米，高：1分米，容积：长×宽×高； 方案二：在长方形的一条宽边上剪去两个边长为1分米的正方形，焊接到另一条宽边上，长：（8－1）分米，宽：（4－1×2）分米高：1分米，容积：长×宽×高； 方案三：在长方形的宽边上剪去2个长4分米，宽1分米的长方形，再把这2个长方形分别放于原长方形的长边上，长：（8－4）分米，宽4分米，高1分米，容积：长×宽×高；再把三种方案的结果计算出来比较大小即可。 【规范解答】 （8－2）×（4－2）×1 ＝6×2×1 ＝12（立方分米） 12立方分米＝12升 （8－1）×（4－2）×1 ＝7×2×1 ＝14（立方分米） 14立方分米＝14升 （8－4）×4×1 ＝4×4×1 ＝16（立方分米） 16立方分米＝16升 12升＜14升＜16升 答：这个长方体容器的容积最大是16升。 【考点剖析】解题关键在于巧妙构思铁皮裁剪拼接：通过多样的裁剪拼接方法，构造不同尺寸的长方体。精准计算与比较容积：依据公式算出各方案容积并比大小，得出最大值。 【演练2】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）如图，若将左边长方体不锈钢材料熔化后锻造出右边的有底无盖长方体不锈钢容器，该不锈钢材料是否足够？请通过计算进行说明。 【答案】足够 【思路引导】根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高 ，左边长方体的长是10cm，宽是5.5cm ，高是7cm ，则其体积 V1＝10×5.5×7＝385cm³。右边容器的体积V2＝外部体积V外－内部空心体积V内，右边容器外部长15cm、宽10cm、高6cm；壁厚1cm，那么内部的长为15−2×1＝13cm，内部的宽为10−2×1＝8cm，内部的高为6−1＝5cm。 【规范解答】V1＝10×5.5×7＝385（立方厘米） V外＝15×10×6＝900（立方厘米） V内＝13×8×5＝520（立方厘米） V2＝V外－V内 ＝900－520 ＝380（立方厘米） 385＞380 答：不锈钢材料足够。 【考点剖析】计算长方体体积时要准确确定长、宽、高的数值，对于有壁厚的容器，要清晰区分外部尺寸和内部尺寸，避免混淆。 解决这类材料是否足够的问题，核心是分别计算原材料体积和成品所需体积，通过比较大小来判断，关键在于正确运用长方体体积公式，梳理清楚各部分尺寸关系。 重难点考点8 正方体的体积 【母题精讲】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）图①、图②都是已经学过的立体图形。图③是一个底面是直角三角形，侧面是三个长方形围成的几何体，我们称为三棱柱。 （1）回顾已有知识： S长方体底面＝       V长方体＝ S正方体底面＝       V正方体＝ （2）发现共同的规律： （3）推测新发现： （4）尝试解决问题：根据你的发现，图③的体积是（    ）立方厘米。 （5）生活实际运用：豆豆家有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面量，长10分米，宽6分米，深8分米。一天，豆豆不小心把鱼缸前面的玻璃打碎了。为了保护小鱼，豆豆将这个坏了的鱼缸倾斜一定角度盛水（如下图）。请你算一算：用这个坏了的鱼缸，最多能盛水多少升？ 【答案】（1）长×宽；底面积×高；棱长×棱长；底面积×棱长（或底面积×高）； （2）底面积×高； （3）底面积×高； （4）180； （5）240升 【思路引导】（1）长方体和正方体的底面是长方形和正方形，利用长方形的面积＝长×宽和正方形的面积＝棱长×棱长求解即可，长方体的体积＝底面积×高和正方体的体积＝底面积×棱长（或底面积×高）。 （2）由（1）发现共同规律底面积×高。 （3）由（2）可知柱体的体积为底面积×高，因为三棱柱也是柱体，所以底面积×高。 （4）先用底×高÷2，计算出底面积，也就是三角形的面积，再利用（3）的公式，计算出三棱柱的体积。 （5）将题目所求转化成求三棱柱的体积，利用（4）的方法代入计算，再进行单位换算即可。 【规范解答】（1）S长方体底面＝长×宽        V长方体＝底面积×高 S正方体底面＝棱长×棱长 V正方体＝底面积×棱长（或底面积×高） （2）底面积×高 （3）底面积×高 （4）图③的体积： 6×6÷2×10 ＝36÷2×10 ＝18×10 ＝180（立方厘米） 图③的体积是180立方厘米。 （5）倾斜后，最多盛水底面为两个直角边分别为6分米和8分米的直角三角形，高为10分米的三棱柱。此时三棱柱的体积为 6×8÷2×10 ＝48÷2×10 ＝24×10 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：最多能盛水240升。 【考点剖析】由长方体和正方体的体积公式，统一柱体体积公式，推导出三棱柱的体积公式，进而应用三棱柱的体积公式到实际问题。 【演练1】（22-23六年级上·江苏泰州·期中）如图，将若干个棱长1厘米的小正方体排成一排，拼成一个大长方体。 (1)3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是( )平方厘米。 (2)n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 (3)如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】(1)14 (2)4n＋2 (3)25 【思路引导】每个小正方体有6个完全相同的正方形，根据“正方形的面积＝边长×边长”，求出一个正方形的面积，再乘正方形的个数，就是拼成长方体的表面积。 （1）1个正方体有6个面，6＝4×1＋2； 2个正方体拼成的长方体有10个面，10＝4×2＋2； 3个正方体拼成的长方体有14个面，14＝4×3＋2； 据此得出3个这样的小正方体拼成的长方体表面积。 （2）由上一题可得出，n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积为（4n＋2）平方厘米。 （3）已知拼成的长方体的表面积是102平方厘米，即4n＋2＝102，求出n的值，即是拼成长方体所用的小正方体的个数；根据正方体的体积公式V＝a3，求出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，就是拼成的这个长方体的体积。 【规范解答】（1）1×1＝1（平方厘米） 4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（个） 1×14＝14（平方厘米） 3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是14平方厘米。 （2）n个这样的小正方体拼成的长方体的正方形的个数：（4n＋2）个； 1个正方形的面积：1×1＝1（平方厘米） 拼成的长方体的表面积：（4n＋2）×1＝（4n＋2）（平方厘米） 所以，n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是（4n＋2）平方厘米。 （3）4n＋2＝102 解：4n＋2－2＝102－2 4n＝100 4n÷4＝100÷4 n＝25 1×1×1＝1（立方厘米） 1×25＝25（立方厘米） 如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是25立方厘米。 【考点剖析】找出若干个小正方体并排拼成一个大长方体时，表面积变化的规律，按规律解题。 【演练2】（21-22六年级上·江苏南京·期中）下图是用体积1立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是( )平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加( )个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。 【答案】 36 4 17 【思路引导】（1）观察图形可知，这个立体图形一共有6个面，每一个面有6个小正方形，这个立体图形一共有6×6个小正方形组成，一个小正方体的体积是1立方厘米，一个小正方形的面积是1平方厘米，这个立体图形的面积就是36×1＝36平方厘米。 （2）最底下一层，从前往后数第一行第二列的位置添加一个，第二行第三列的位置可添加2个，第二行的位置可以添加1个。最多添加：1＋2＋1＝4个，据此解答； （3）观察图形可知，大正方体的棱长是3个小正方体棱长的和，大正方体的棱长＝1×3＝3厘米，大正方形的体积＝3×3×3＝27立方厘米，现有图形的体积是6＋3＋1＝10立方厘米，用大正方体的体积减去现有图形的体积，即27－10＝17立方厘米，再用17立方厘米÷1立方厘米，就是需要的小正方体个数，据此解答。 【规范解答】（1）这个物体的表面积是36平方厘米； （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加4个小正方体； （3）1×3＝3（厘米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 27－（1×10） ＝27－10 ＝17（立方厘米） 17÷1＝17（个） 如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要17个这样的小正方体 【考点剖析】本题考查不规则物体的表面积的求法，以及正方体体积公式的应用。 重难点考点9 体积的等积变形（长方体、正方体) 【母题精讲】（24-25六年级上·江苏南通·期中）一个长方体容器的底面从里面量是边长为40厘米的正方形。容器中竖直放着一根底面是边长10厘米的正方形、高是90厘米的长方体铁棒，铁棒的底面完全接触到容器的底面，这时容器中水深80厘米。将长方体铁棒轻轻向上提起20厘米时，露出水面的铁棒上被水浸湿的部分高多少厘米？ 【答案】厘米 【思路引导】由题意可知，提起铁棒之后水面会下降，下降部分水的体积等于20厘米高长方体铁棒的体积，下降部分水的底面积＝长方体容器的底面积－长方体铁棒的底面积，由“”可知，下降部分水的高度＝下降部分水的体积÷下降部分水的底面积，露出水面的铁棒上被水浸湿部分的高度＝下降部分水的高度＋提起长方体铁棒的高度，据此解答。 【规范解答】提起铁棒后下降部分水的体积：10×10×20 ＝100×20 ＝2000（立方厘米） 下降部分水的底面积：40×40－10×10 ＝1600－100 ＝1500（平方厘米） 露出水面的铁棒上被水浸湿部分的高度：2000÷1500＋20 ＝＋20 ＝（厘米） 答：露出水面的铁棒上被水浸湿的部分高厘米。 【考点剖析】分析题意明确下降部分水的体积等于提起铁棒的体积，同时理解下降部分水的底面积等于容器与铁棒的底面积之差是解答题目的关键。 【演练1】一个密封的长方体玻璃器中装有水，从里面量，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，水深8厘米，如果把容器的右侧面作为底面放在桌上，这时水深多少厘米？水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】16厘米；1420平方厘米 【思路引导】根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体玻璃器内水的体积，由于玻璃器内水的体积不变，把玻璃器的右侧面作为底面，所以用水的体积除以右面那个面的底面积就是水面的高度； 水与容器的接触面的面积就是长20厘米，宽15厘米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。 【规范解答】30×20×8÷（20×15） ＝4800÷300 ＝16（厘米） 答：这时水深16厘米。 20×15＋20×16×2＋15×16×2 ＝300＋640＋480 ＝1420（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是1420平方厘米。 【考点剖析】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃器的底面积（右面那个面的面积），就是水面的高度。 【演练2】图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。 【答案】19 【思路引导】设长方体水箱长a厘米，宽b厘米。当它如图（2）这样倾斜时，剩下的水的体积是一个横截面为梯形，长是b厘米的立体图形，它的体积＝横截面的面积×长，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2可得这时水的体积为（8＋30）×a÷2×b＝19ab立方厘米；再把水箱放平如图（3），剩下的水体积不变，还是19ab立方厘米，形状变为长方体，长方体的体积＝长×宽×高，则这时水的深度是19ab÷a÷b＝19（厘米）。 【规范解答】图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是19厘米。 【考点剖析】本题考查长方体体积和横截面为梯形的立体图形体积的应用。要掌握横截面为梯形的立体图形的体积公式。 重难点考点10 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【母题精讲】（21-22六年级上·江苏·单元测试）一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【答案】94平方厘米；60立方厘米 【思路引导】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。 【规范解答】40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 【考点剖析】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 【演练1】（21-22六年级上·江苏·课后作业）一块长方体木块，沿着高锯掉2厘米后，成为一个正方体，表面积减少40平方厘米，求原来长方体木块的体积。 【答案】175立方厘米 【思路引导】首先关注长方体沿高锯掉2厘米前后的变化——表面积减少40平方厘米，实际上，减少的是与原长方体同长同宽，但高为2里面的那部分长方体的侧面积。这个侧面积有前、后、左、右4个面，4个面面积为40平方厘米，则一个面的面积可求，而一个面的宽（即锯掉长方体的高）为2厘米，则每个面的长也可求，列式为40÷4÷2，由于锯掉一部分后变成了正方体，则宽与长相等，都是5厘米。因为是沿高锯掉的，原长方体的长与宽并没有改变，只是高减少了2厘米，则原长方体的体积＝5×5×（5＋2），计算即可。 【规范解答】40÷4÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 5×5×（5＋2） ＝25×7 ＝175（立方厘米） 答：原来长方体木块的体积是175立方厘米。 【考点剖析】长方体中有6个面，其中只有一组相对的面可以为正方形。本题涉及到的长方体就是这种类型。沿高锯掉2厘米成为正方体，则要从锯掉那部分长方体减少的面积入手，层层突破，解决问题。 【演练2】一块长方体钢材，长20分米，宽15分米，高12分米。截去尽可能大的两个正方体（不焊接不割补）后，还剩多少立方分米钢材？ 【答案】1845立方分米 【思路引导】根据题意可知，两个尽可能的大的正方体应该是棱长是12分米和8分米的。第一次截去的正方体的棱长是12分米，第二次截去的正方体的棱长是（20－12）分米，长方体的体积－两个正方体的体积＝还剩的体积，据此解答。 【规范解答】20×15×12－123－（20－12）3 ＝3600－1728－512 ＝848（立方分米） 答：还剩848立方分米的钢材。 【考点剖析】此题考查了长方体和正方体体积的综合应用，找出截去的两个正方体的棱长是解题关键。 重难点考点11 组合体的体积（长方体、正方体) 【母题精讲】（22-23五年级下·山东济南·期中）一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】312平方厘米；168立方厘米 【思路引导】观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【规范解答】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【考点剖析】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 【演练1】下图是两个小正方体和一个长方体，请计算出它的体积和表面积分别是多少？ 【答案】39立方厘米： 84平方厘米 【思路引导】由图可知，体积＝长方体体积＋两个小正方体的体积之和；表面积＝长方体表面积＋两个小正方体的侧面积之和，据此解答。 【规范解答】体积： 6×2×2.5＋2×2×2＋1×1×1 ＝30＋8＋1 ＝39（立方厘米） 表面积： （6×2＋6×2.5＋2×2.5）×2＋2×4×2＋1×4×1 ＝（12＋15＋5）×2＋16＋4 ＝64＋16＋4 ＝84（平方厘米） 答：它的体积是39立方厘米，表面积是84平方厘米。 【考点剖析】此题主要考查组合体体积和表面积的计算，体积＝各个几何体体积之和，求表面积时要认真分析图形，找出表面积包括哪些面再解答。 【演练2】如图，从边长是10的立方体中挖去1个小长方体，则剩余部分的体积是( )，表面积是( )。 【答案】 910 660 【思路引导】剩余部分的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式求出它们的体积差即可，剩余部分的表面积等于正方体的表面积加上长方体的左右两个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，长方形的面积：S＝ab，把数据代入公式求出它们的面积和即可。 【规范解答】10×10×10－（10－4－3）×5×（10－4） ＝1000－3×5×6 ＝1000－90 ＝910 10×10×6＋5×（10－4）×2 ＝100×6＋5×6×2 ＝600＋60 ＝660 答：剩余部分的体积是910，表面积是660。 【考点剖析】此题主要考查正方体、长方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 1．（25-26六年级上·江苏淮安·月考）下面说法中，正确的有（    ）个。 ①钢笔的墨囊的容积约为1.5毫升。②体积单位比面积单位和长度单位都大。 ③体积大的容器，容积一定大。④棱长总和相等的长方体的体积也相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】①常用的容积单位有升和毫升，生活中，一瓶眼药水大概有5毫升；一瓶大瓶饮料大约1升；根据生活常识和容量单位的认识，墨囊容积约1.5毫升，合理；②单位类型不同无法比较；③体积是物体所占空间的大小，容积是容器（必须是空心、能容纳其他物体的器具）内部所能容纳物体的体积。体积大不一定容积大；④长方体的体积＝长×宽×高，棱长总和相同体积未必相等。 【规范解答】根据分析： ①钢笔墨囊容积约1.5毫升，符合实际，正确。 ②体积、面积、长度单位量纲不同，无法直接比较大小，错误。 ③容器体积大可能因材料厚，容积不一定大，错误。 ④棱长总和相等的长方体，长宽高组合不同，体积可能不同，错误。 正确个数为1，故答案为：A。 【考点剖析】难点在于准确区分体积与面积、长度单位的量纲差异，以及体积和容积的概念、长方体棱长总和与体积的关系，这些易混淆点需精准把握。 2．（24-25六年级上·江苏南京·期中）如图是由六个正方形组成的一个图形，将它们折叠可以组成一个正方体，在正方体的表面分别标上1、2、3、4、5、6，其中有三个面上的数字漏标了，已知每一组对面上数的和都是7，那么k的值是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】先确定数字6的面是前面，分析各面拼成正方体后是那个面，再根据每一组对面上数的和都是7来解决。 【规范解答】把数字6的面定为正方体的前面，那么k面是上面，数字5的面是左面，和数字6的面相邻的空白面是右面，数字3的面是下面，和数字3的面相邻的空白面是后面。所以k的面和数字3的面相对，它们的和是7，k＝7－3＝4。 故答案为：C 【考点剖析】本题关键是熟练掌握正方体的展开图，找出三组相对的面。 3．（2022·河南郑州·小升初真题）如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】D 【思路引导】根据正方体的特征可知，相对的面不相邻；因为骰子只能向前，不能后退，所以有四种翻转路径，分四种情况讨论。 【规范解答】如图： 路径一：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到位置②处，2点在下，则5点在上；滚动到③处，3点在下，则4点在上。 路径二：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到④处，3点在下，则4点在上；滚动到③处，2点在下，则5点在上。 路径三：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到③处，4点在下，则3点在上。 路径四：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到①处，5点在下，则2点在上；滚动到②处，4点在下，则3点在上；滚动到③处，1点在下，则6点在上。 所以最后朝上的可能性有3、4、5、6点，而不会出现1、2点。 故答案为：D 【考点剖析】本题考查正方体的特征，学生可以动手进行实物操作，培养学生的空间观念。 4．（24-25六年级上·江苏连云港·期中）下面这个领奖台是由3个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。 涂黄色油漆的面积是( )cm2，涂红色油漆的面积是( )cm2。 【答案】 10800 13000 【思路引导】对于涂黄色油漆的面，是颁奖台的前后两个面，是由三个长方体的前后两个面组成，共6个面；对于涂红色油漆的面，可以看作三个长方体的3个上面和中间长方体的左右两个面组成。根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积。 【规范解答】60×30×2＋60×40×2＋60×20×2 ＝1800×2＋2400×2＋1200×2 ＝3600＋4800＋2400 ＝10800（cm2） 60×50×3＋50×40×2 ＝3000×3＋2000×2 ＝9000＋4000 ＝13000（cm2） 下面这个领奖台是由3个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。 涂黄色油漆的面积是10800cm2，涂红色油漆的面积是13000cm2。 【考点剖析】准确分析出涂黄色油漆的面积和涂红色油漆的面积相当于哪些面的面积和是解题的关键。 5．（22-23六年级上·江苏徐州·期中）至少用( )个棱长2厘米的小正方体可以拼成一个大正方体，拼成正方体的棱长和是( )厘米；如果用若干个棱长2厘米的小正方体拼成一个大正方体，用表示每条棱上小正方体的个数，那么拼成大正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 8 48 【思路引导】根据正方体棱长相等的性质，则至少8个小正方体才能拼成较大的正方体；拼成的正方体棱长是2×2＝4厘米，根据棱长和公式即可求解；每条棱是2厘米，根据正方体体积公式即可求解。 【规范解答】2×2×2＝8（个） 2×2×12 ＝4×12 ＝48（厘米） ＝ 【考点剖析】本题主要考查正方体的棱长和公式和体积公式的灵活运用。 6．（21-22六年级上·山西大同·期中）用棱长1厘米的正方体摆长方体，像下面这样摆下去。 （1）把下表填完整。 摆小正方体的个数 1 2 3 … 摆成长方体的表面积 ( ) ( ) ( ) … （2）当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是( )平方厘米。 （3）当摆成的长方体的表面积是50平方厘米时，一共摆了( )个小正方体。 （4）当摆个小正方体时，摆成长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 6 10 14 26 12 4n＋2 【思路引导】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×6，求出小正方体的表面积，即：1×1×6＝6平方厘米；根据题意，一个小正方体摆成长方体表面积是6平方厘米，可以写成：4×1＋2平方厘米；摆成2个小正方体，摆成长方体表面积是10平方厘米，可以写成：4×2＋2平方厘米；摆成3个小正方体，摆成长方体表面积可以写成：4×3＋2＝14平方厘米……；由此可以推出一般规律。 【规范解答】（1）根据分析可知，摆1个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×1＋2＝6（平方厘米）； 摆2个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×2＋2＝10（平方厘米）； 摆2个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×3＋2＝14（平方厘米）； （2）摆6个小正方体，摆成的长方体的表面积是：6×4＋2＝26（平方厘米）； （3）（50－2）÷4 ＝48÷4 ＝12（个） 当摆成的长方体的表面积是50平方厘米时，一共摆了12个小正方体； （4）4×n＋2＝4n＋2（平方厘米） 当摆n个小正方体时，摆成长方体的表面积是：4n＋2平方厘米。 【考点剖析】根据题干中已知图形的排列特点，以及数量关系，推理得出一般规律进行解答，是此类问题的关键。 7．（21-22六年级上·江苏·课后作业）如图是一个正方体的展开图，相对两个面上数字之和为0，则a＋c＝( )。 【答案】﹣2 【思路引导】根据正方体展开图的特点，折叠成正方体后a和﹣1面相对，b和2.5面相对，c和3面相对，由于两个面上数字之和是0，由此即可求出a和c的值，之后把这两个值相加即可。 【规范解答】由分析可知a＋（﹣1）＝0，则a＝1； c＋3＝0，则c＝﹣3 由此即可知道a＋c＝1－3＝﹣2 【考点剖析】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题 8．在高度是24厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，现在把它像下图这样斜放，水流出，这时线段AB的长度是( )厘米． 【答案】9 9（21-22六年级上·江苏·期末）求下图的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】表面积：216平方分米； 体积：208立方分米 【思路引导】根据题意，去掉小正方体，表面积不变；体积就是原来大正方体的体积减去去掉的小正方体的体积，据此列式解答。 【规范解答】表面积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方分米） 体积： 6×6×6－2×2×2 ＝216－8 ＝208（立方分米） 10．（23-24六年级上·江苏南京·期中）下图是一个无盖的玻璃鱼缸的其中两个面。 （1）做这个鱼缸最多要用多少平方分米的玻璃？ （2）沿鱼缸口覆盖一圈塑胶条，塑胶条长多少分米？ （3）这个鱼缸最多能盛水多少升？ 【答案】（1）128平方分米 （2）18分米 （3）120升 【思路引导】从图中可知，这个无盖的玻璃鱼缸是一个长方体，三条棱长分别是6分米、5分米和4分米。 （1）求做一个无盖玻璃鱼缸需要玻璃的面积，即是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和； 这个长方体中面积最大的面是（6×5），最小的面是（5×4），要使做这个鱼缸用的玻璃面积最多，那么让面积最小的面做鱼缸的底面，少上面也就是缺少最小的面，这样鱼缸用的玻璃面积最多； 由此可知，这个长方体鱼缸的长是5分米、宽是4分米、高是6分米；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和即可。 （2）沿鱼缸口覆盖一圈塑胶条，求塑胶条的长度，就是求长5分米、宽4分米的长方形的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算求解。 （3）求这个鱼缸最多能盛水多少升，就是求这个鱼缸的容积，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方分米＝1升”，即可求解。 【规范解答】（1）5×4＋5×6×2＋4×6×2 ＝20＋60＋48 ＝128（平方分米） 答：做这个鱼缸最多要用128平方分米的玻璃。 （2）（5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（分米） 答：塑胶条长18分米。 （3）5×4×6＝120（立方分米） 120立方分米＝120升 答：这个鱼缸最多能盛水120升。 【考点剖析】（1）明确无盖玻璃鱼缸缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，要使长方体的表面积最大，那么用面积最小的面做底面，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 （2）本题考查长方形周长公式的运用。 （3）本题考查长方体体积（容积）公式的运用以及体积、容积单位的换算。 11．（22-23六年级上·江苏淮安·期中）有一个如下图那样的长方体容器。现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图像。回答下面问题： （1）求图①中D表示的数。 （2）从B的洞中每秒流出来多少升水？ （3）求图①中P、Q表示的数。 【答案】（1）15 （2）0.3升/秒 （3）P：54；Q：24.225 【思路引导】（1）根据图①可知15秒可注满A部分，时间乘流速，求出A的容积，再除以它的长和宽，可求出它的高度； （2）根据图①可知隔板的高度是15厘米，用图B部分高15厘米的容积，除以注满B部分高15厘米时用的时间，就是每秒中注入B部分时的流速，用0.75升减去注入B部分的流速．就是每秒中从洞中流出的速度； （3）容器15厘米高度以上的水的注入速度都是0.75减去洞的流速，据此可求出P和Q表示的数。 【规范解答】（1）0.75升＝750立方厘米 750×15÷（25×30） ＝11250÷750 ＝15（厘米） 答：图①中D表示的数是15。 （2）30×15×15 ＝450×15 ＝6750（立方厘米） 6750立方厘米＝6.75升 6.75÷15＝0.45（升/秒） 0.75－0.45＝0.3（升/秒） 答：每秒中从洞中流出的速度0.3升/秒。 （3）25厘米＝2.5分米，15厘米＝1.5分米，24厘米＝2.4分米，30厘米＝3分米。 P点表示的数是： （2.5＋1.5）×3×（2.4－1.5）÷0.45＋30 ＝4×3×0.9÷0.45＋30 ＝12×0.9÷0.45＋30 ＝24＋30 ＝54（秒） Q点表示的数是： （70－64）×0.45÷[（2.5＋1.5）×3]＋24 ＝6×0.45÷[4×3]＋24 ＝6×0.45÷12＋24 ＝2.7÷12＋24 ＝0.225＋24 ＝24.225（厘米） 答：P点是54，Q点是24.225。 【考点剖析】本题考查长方体体积公式的应用以及折线统计图的实际应用。 12．（22-23五年级下·北京海淀·期末）笑笑家有甲、乙两个不同规格的带盖收纳盒，她想把家里散落的小包纸巾分别放入这两个收纳盒中（纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）。一小包纸巾的长、宽、高和收纳盒内部的长、宽、高如下图所示。（单位：厘米） （1）甲收纳盒中最多可以放置多少包纸巾？ （2）尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？ 结合生活实际想一想，我（    ）笑笑的想法。（填“同意”或“不同意”）如果同意，请你写出理由；如果不同意，尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？写出你的思考过程，可以写一写，画一画。 【答案】（1）12包； （2）不同意；7包；过程见详解 【思路引导】（1）甲收纳盒的长为15厘米，宽为14厘米，高为6厘米，收纳盒的长和纸巾的宽重合可以放（15÷5）包纸巾，收纳盒的宽和纸巾的长重合可以放（14÷7）包纸巾，收纳盒的高和纸巾的高重合可以放（6÷3）包纸巾，最后相乘求出甲收纳盒放置纸巾的总数量； （2）联系生活实际可知，纸巾的形状是固定的，有可能收纳盒的容积够，但是纸巾装不下，所以不能直接用收纳盒的容积除以每包纸巾的体积。可以考虑根据收纳盒的长宽数据，横竖交替放置。 【规范解答】（1）（15÷5）×（14÷7）×（6÷3） ＝3×2×2 ＝6×2 ＝12（包） 答：甲收纳盒中最多可以放置12包纸巾。 （2）分析可知，我不同意笑笑的想法。 可以放三列，第一列2包竖着放，第二列3包横着放，第三列2包竖着放，刚好7包。 答：最多可以放置7包。 【考点剖析】计算容器里面最多可以装多少物体时，如果所装物体的形状固定，那么需要考虑实际情况，不能简单地用除法解决问题。 13．（23-24五年级下·全国·课后作业）用棱长1厘米的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？ …… 完成下表。看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？ 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 ④ ⑤ （1）你能继续写出第⑥、⑦、⑧个正方体中四类小正方体的个数吗？ （2）如果摆成下面的几何体，你会数吗？ 【答案】表格及规律详解； （1）见详解 （2）4个；10个；20个 【思路引导】观察图形可知，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，两面涂色的小正方形位于大正方体的每条棱上（顶点除外），一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间位置，没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，据此完成表格并得出规律； （1）根据上述得到的规律，继续写出第⑥、⑦、⑧个正方体中四类小正方体的个数； （2）分别数出各个立体图形每层正方体的个数，然后再相加即可求出各有多少个正方体。 【规范解答】（1）表格如下： 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 24 8 ④ 8 36 54 27 ⑤ 8 48 96 64 发现规律：三面涂色的小正方体，都在大正方体的顶点处。正方体有8个顶点，所以不管棱长是多少的正方体，三面涂色的块数都是8块。 两面涂色的小正方体，都在大正方体的棱上。每条棱上两面涂色的小正方体的块数等于这条棱上小正方体的所有块数减去顶点处两块三面涂色的小正方体。因为正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体的总块数＝12×（每条棱上小正方体的块数－2）。 一面涂色的小正方体，都在大正方体的面上。每个面上一面涂色的小正方体的块数＝（每条棱上小正方体的块数－2）×（每条棱上小正方体的块数－2），正方体有6个面，所以一面涂色的小正方体的总块数＝（每条棱上小正方体的块数－2）×（每条棱上小正方体的块数－2）×6。 没有涂色的小正方体的块数＝所有小正方体的块数－三面涂色的块数－两面涂色的块数－一面涂色的块数。 （1）根据上面的规律，继续写出第⑥、⑦、⑧个大正方体中4类小正方体的块数如下： （2）第一层有1个，第二层有3个，则共有1＋3＝4（个） 第一层有1个，第二层有3个，第三层有6个，则共有1＋3＋6＝10（个） 第一层有1个，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个 则共有：1＋3＋6＋10 ＝4＋6＋10 ＝10＋10 ＝20（个） 14．（2021·浙江·小升初真题）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 【答案】（1）7.5分钟 （2）60升 【思路引导】本题可以先解答第（2）小题，求出水槽的容积，根据“水槽正中间有一块高6厘米的隔板”可知，长方体水槽被隔板分成容积相同的两部分，可设右面的注水速度是每分钟x升，根据左右两部分容积相同列出方程，求出右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积，最后用长方体水槽容积除以左右两面注水的速度和，即可求出注满水槽共需的时间。 【规范解答】解：设右面每分钟注水x升，根据分析列方程如下： 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 1.5x＝9 x＝6 3x＝3×6＝18（升）＝18000（立方厘米） 18000÷6÷40＝75（厘米） 长方体水槽长：75×2＝150（厘米） （2）长方体水槽容积：150×40×10＝60000（立方厘米）＝60（升） （1）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟，水槽的容积是60升。 【考点剖析】本题考查长方体体积（容积）的应用，关键是根据右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积。 15．（20-21六年级上·安徽蚌埠·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.6分米。竖着插入一块长方体铁块，铁块高5分米，底面是边长3分米的正方形水面会上升多少分米？（未溢出水） 【答案】0.6分米 【思路引导】铁块高5分米，而玻璃缸高4分米，所以肯定不会完全淹没，放进去以后水面肯定会上升，可以考虑先放铁块，再倒水，这样容器的底面积被占了一部分。 【规范解答】容器底面积：（平方分米） 铁块底面积：（平方分米） 水的体积：（立方分米） （分米） （分米） 答：水面会上升0.6分米。 【考点剖析】本题考查的是排水问题，总共有完全淹没水未溢出，完全淹没水溢出，不完全淹没这三种情况，注意区分。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 长方体和正方体 【知识梳理+11个考点讲练+实战演练 共48题】 （原卷版） 学习定位 知识引入 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：长方体 2 知识点梳理02：正方体 3 知识点梳理03：常用数学方法 3 重点难点 考点讲练 3 重难点考点1 长方体表面积的计算 3 重难点考点2 长方体表面积的应用 4 重难点考点3 正方体表面积的计算 5 重难点考点4 正方体表面积的应用 6 重难点考点5 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 7 重难点考点6 组合体的表面积（长方体、正方体) 8 重难点考点7 长方体的体积 8 重难点考点8 正方体的体积 9 重难点考点9 体积的等积变形（长方体、正方体) 11 重难点考点10 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 12 重难点考点11 组合体的体积（长方体、正方体) 13 能力提升 实战演练 14 本讲内容从我们熟悉的平面扩展到了三维立体空间，教学目标是培养学生的空间想象能力，对于长方体和正方体的表面积和体积的计算我们在学校的课本上都已经学习过，都是相对比较简单的，今天我们一起将这部分内容进行拓展和研究。我们主要研究的对象是复杂的立方体的体积和表面积计算方法。同学生要记住知识是有限的，但想象力是无限的。 重点难点：1．长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用 2．构造法的运用 考点： 3．结合棱长、表面积的特性等求立体图形的体积 4．水深问题的求解 5．长方体正方体知识点与其他知识点的结合 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？  蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。 法国科学家法伯曾做过一个著名的毛毛虫试验。法伯把若干毛毛虫放在一个花盆的边缘上，首尾相连，围成一圈，并在花盆周围不到六英寸的地方撒了一些毛毛虫最爱吃的松针。毛毛虫开始一个跟一个，绕着花盆一圈又一圈地走，一小时过去了，一天过去了，又一天过去了，毛毛虫们还是不停地围绕花盆在转圈，一连走了七天七夜，它们终于因为饥饿和精疲力竭而死去。 毛毛虫的悲剧在于盲从。其实，只要有一只毛毛虫能越雷池一步，打破固有的习惯及跟随的习性，就会逃脱死亡的陷阱。 另一位科学家的实验是在海洋馆里。他用玻璃板把一条具有攻击性的大鲨鱼和另一条小鱼隔开。刚开始，这条大鲨鱼不断撞击玻璃，企图捕食隔壁的小鱼。无奈，玻璃隔板太坚硬，无论怎么发威，玻璃隔板丝毫未损。攻击了一段时间，它便放弃了。于是，科学家便把隔板悄悄地移开。意想不到的是，大鲨鱼再也没有攻击过小鱼。它们都温和地在各自的领域活动，互不侵犯。 其实，很多时候，人和鲨鱼一样。经过一段时间努力而没达到预期效果时，我们便画地为牢，认为这件事自己永远都办不到，却完全忽视自身力量的壮大和外界条件的改变。久而久之，便形成习惯性思维，套在失败的经验中爬不出来，以致失去一次又一次唾手可得的机会，最终一事无成。 知识点梳理01：长方体 若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么可得：: 方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）； 长方体的体积：V长方体＝abc． 如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等。 （叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）． 知识点梳理02：正方体 我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么可得： 正方体的表面积：S正方体=6a2 ； 正方体的体积：V正方体=a3． 知识点梳理03：常用数学方法 立体几何相关数学方法： 接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算. 1. 视图法：主要适用于求正方体积木塔建图形的表面积计算.以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面. 片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个方向切成多片，化立体为平面. 模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图,以最适合该立体图形的基本几何图形为模型.再在该图形上进行切割. 重难点考点1 长方体表面积的计算 【母题精讲】（25-26六年级上·山西太原·期中）红红用1立方厘米的小正方体摆成一个长方体，从正面、上面和左面看到的图形如图所示。这个长方体的棱长和是( )厘米，体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【演练1】（2025·江苏淮安·小升初真题）一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是 平方厘米。 【演练2】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）一个长方体蓄水池，长30m、宽20m、深2.2m。 （1）这个蓄水池占地面积是多少平方米？ （2）池里的水离池口0.2m，池里一共蓄水多少立方米？ （3）如果在这个蓄水池的池底和四周铺上面积为0.25m2的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 重难点考点2 长方体表面积的应用 【母题精讲】（25-26六年级上·江苏泰州·期中）用9个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是多少平方厘米？ 【演练1】（25-26六年级上·江苏淮安·月考）一个长方体，从高上削去3厘米后就变成一个正方体，表面积比原来少了120平方厘米，那么原来长方体的体积为多少立方厘米？ 【演练2】（25-26六年级上·江苏淮安·月考）江苏省城市足球联赛简称“苏超”，火爆全网，每一位市民都为自己所在的城市加油助威。多多是一位小足球迷，为了庆祝淮安队获胜，做了一个“足球少年”雕塑。现在要给雕塑配一个正方体底座，于是他把一个长方体木块沿着高截去3分米后，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少了72平方分米。原来长方体木块的体积是多少立方分米？ 重难点考点3 正方体表面积的计算 【母题精讲】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）下图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是( )平方厘米。 【演练1】（24-25六年级上·江苏常州·期中）下面说法中错误的有（    ）句。      （1）真分数的倒数一定比1大； （2）把甲桶油的倒入乙桶后，两桶油正好相等，原来乙桶油是甲桶油的； （3）对比下边的甲、乙两个盒子，甲盒体积较小，乙盒容积较大； （4）正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍。 A．1 B．2 C．3 D．4 【演练2】（24-25六年级上·江苏南通·期中）一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 重难点考点4 正方体表面积的应用 【母题精讲】（25-26六年级上·江苏盐城·期中）下图是由6个棱长是3分米的正方体堆在墙角处拼成的物体。给这个物体露在外面的面涂上蓝色，涂蓝色的面积是( )平方分米。 【演练1】（25-26六年级上·江苏苏州·月考）如图，甲和乙表面积的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较 【演练2】（25-26六年级上·山西大同·月考）西北地区是我国干旱气候区域之一，因其地处内陆，又受到青藏高原的阻挡，这里的水资源非常匮乏。为了更好地积蓄雨水，张爷爷用铁皮制作了一个无盖的正方体水槽，棱长15分米。制作这个水槽至少需要铁皮( )平方分米，这个水槽最多可以积蓄雨水( )升。 重难点考点5 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【母题精讲】（2025·江苏苏州·小升初真题）李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 【演练1】（24-25六年级上·山西太原·期中）一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。( )（判断对错） 【演练2】（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 重难点考点6 组合体的表面积（长方体、正方体) 【母题精讲】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用棱长2厘米的小正方体摆成下边的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，至少添加( )个这样的小正方体，才能补成一个大正方体。 【演练1】（23-24六年级上·安徽滁州·期末）两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是( )dm2。 【演练2】（25-26六年级上·广西钦州·期中）把两块长6cm、宽4cm、厚3cm的长方体肥皂包装在一起，最少用（    ）cm2的包装纸。 A．108 B．168 C．180 D．216 重难点考点7 长方体的体积 【母题精讲】（2025·江苏苏州·小升初真题）在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 【演练1】（2025·江苏苏州·小升初真题）认真审题，操作设计。 王师傅准备用一张长8分米，宽4分米的长方形映皮，做一个深1分米的无盖长方体容器。请你画出不同的焊接方案图，并算出各自的容积，这个长方体容器的容积最大是多少升？（焊接处和缺皮的厚度忽略不计） 【演练2】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）如图，若将左边长方体不锈钢材料熔化后锻造出右边的有底无盖长方体不锈钢容器，该不锈钢材料是否足够？请通过计算进行说明。 重难点考点8 正方体的体积 【母题精讲】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）图①、图②都是已经学过的立体图形。图③是一个底面是直角三角形，侧面是三个长方形围成的几何体，我们称为三棱柱。 （1）回顾已有知识： S长方体底面＝       V长方体＝ S正方体底面＝       V正方体＝ （2）发现共同的规律： （3）推测新发现： （4）尝试解决问题：根据你的发现，图③的体积是（    ）立方厘米。 （5）生活实际运用：豆豆家有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面量，长10分米，宽6分米，深8分米。一天，豆豆不小心把鱼缸前面的玻璃打碎了。为了保护小鱼，豆豆将这个坏了的鱼缸倾斜一定角度盛水（如下图）。请你算一算：用这个坏了的鱼缸，最多能盛水多少升？ 【演练1】（22-23六年级上·江苏泰州·期中）如图，将若干个棱长1厘米的小正方体排成一排，拼成一个大长方体。 (1)3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是( )平方厘米。 (2)n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 (3)如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【演练2】（21-22六年级上·江苏南京·期中）下图是用体积1立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是( )平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加( )个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。 重难点考点9 体积的等积变形（长方体、正方体) 【母题精讲】（24-25六年级上·江苏南通·期中）一个长方体容器的底面从里面量是边长为40厘米的正方形。容器中竖直放着一根底面是边长10厘米的正方形、高是90厘米的长方体铁棒，铁棒的底面完全接触到容器的底面，这时容器中水深80厘米。将长方体铁棒轻轻向上提起20厘米时，露出水面的铁棒上被水浸湿的部分高多少厘米？ 【演练1】一个密封的长方体玻璃器中装有水，从里面量，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，水深8厘米，如果把容器的右侧面作为底面放在桌上，这时水深多少厘米？水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【演练2】图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。 重难点考点10 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【母题精讲】（21-22六年级上·江苏·单元测试）一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【演练1】（21-22六年级上·江苏·课后作业）一块长方体木块，沿着高锯掉2厘米后，成为一个正方体，表面积减少40平方厘米，求原来长方体木块的体积。 【演练2】一块长方体钢材，长20分米，宽15分米，高12分米。截去尽可能大的两个正方体（不焊接不割补）后，还剩多少立方分米钢材？ 重难点考点11 组合体的体积（长方体、正方体) 【母题精讲】（22-23五年级下·山东济南·期中）一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【演练1】下图是两个小正方体和一个长方体，请计算出它的体积和表面积分别是多少？ 【演练2】如图，从边长是10的立方体中挖去1个小长方体，则剩余部分的体积是( )，表面积是( )。 1．（25-26六年级上·江苏淮安·月考）下面说法中，正确的有（    ）个。 ①钢笔的墨囊的容积约为1.5毫升。②体积单位比面积单位和长度单位都大。 ③体积大的容器，容积一定大。④棱长总和相等的长方体的体积也相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25六年级上·江苏南京·期中）如图是由六个正方形组成的一个图形，将它们折叠可以组成一个正方体，在正方体的表面分别标上1、2、3、4、5、6，其中有三个面上的数字漏标了，已知每一组对面上数的和都是7，那么k的值是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．无法确定 3．（2022·河南郑州·小升初真题）如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．1 4．（24-25六年级上·江苏连云港·期中）下面这个领奖台是由3个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。 涂黄色油漆的面积是( )cm2，涂红色油漆的面积是( )cm2。 5．（22-23六年级上·江苏徐州·期中）至少用( )个棱长2厘米的小正方体可以拼成一个大正方体，拼成正方体的棱长和是( )厘米；如果用若干个棱长2厘米的小正方体拼成一个大正方体，用表示每条棱上小正方体的个数，那么拼成大正方体的体积是( )立方厘米。 6．（21-22六年级上·山西大同·期中）用棱长1厘米的正方体摆长方体，像下面这样摆下去。 （1）把下表填完整。 摆小正方体的个数 1 2 3 … 摆成长方体的表面积 ( ) ( ) ( ) … （2）当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是( )平方厘米。 （3）当摆成的长方体的表面积是50平方厘米时，一共摆了( )个小正方体。 （4）当摆个小正方体时，摆成长方体的表面积是( )平方厘米。 7．（21-22六年级上·江苏·课后作业）如图是一个正方体的展开图，相对两个面上数字之和为0，则a＋c＝( )。 8．在高度是24厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，现在把它像下图这样斜放，水流出，这时线段AB的长度是( )厘米． 9（21-22六年级上·江苏·期末）求下图的表面积和体积。（单位：分米） 10．（23-24六年级上·江苏南京·期中）下图是一个无盖的玻璃鱼缸的其中两个面。 （1）做这个鱼缸最多要用多少平方分米的玻璃？ （2）沿鱼缸口覆盖一圈塑胶条，塑胶条长多少分米？ （3）这个鱼缸最多能盛水多少升？ 11．（22-23六年级上·江苏淮安·期中）有一个如下图那样的长方体容器。现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图像。回答下面问题： （1）求图①中D表示的数。 （2）从B的洞中每秒流出来多少升水？ （3）求图①中P、Q表示的数。 12．（22-23五年级下·北京海淀·期末）笑笑家有甲、乙两个不同规格的带盖收纳盒，她想把家里散落的小包纸巾分别放入这两个收纳盒中（纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）。一小包纸巾的长、宽、高和收纳盒内部的长、宽、高如下图所示。（单位：厘米） （1）甲收纳盒中最多可以放置多少包纸巾？ （2）尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？ 结合生活实际想一想，我（    ）笑笑的想法。（填“同意”或“不同意”）如果同意，请你写出理由；如果不同意，尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？写出你的思考过程，可以写一写，画一画。 13．（23-24五年级下·全国·课后作业）用棱长1厘米的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？ …… 完成下表。看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？ 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 ④ ⑤ （1）你能继续写出第⑥、⑦、⑧个正方体中四类小正方体的个数吗？ （2）如果摆成下面的几何体，你会数吗？ 14．（2021·浙江·小升初真题）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 15．（20-21六年级上·安徽蚌埠·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.6分米。竖着插入一块长方体铁块，铁块高5分米，底面是边长3分米的正方形水面会上升多少分米？（未溢出水） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $