精品解析：广东省深圳市龙华区大浪实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

大浪实验学校2025—2026 学年第一学期期中素养发展情况调研 九年级数学 一、单选题 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 袋中有4个红球和若干个白球，它们只有颜色上的区别．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（ ） A. 8个 B. 12个 C. 16个 D. 20个 3. 下列说法正确的是（ ） A. 顺次连接矩形各边中点的四边形一定也是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的菱形一定是正方形 D. 平行四边形的对角线相等且互相平分 4. 如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 5. 如图，，且，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在长为米、宽为米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题 9. 如果，则______． 10. 如图，在网格(网格的正方形边长为)中，格点四边形是菱形，则此四边形的面积等于________． 11. 如图，在矩形中，相交于点O，平分，交于点E．若，，则的长为______． 12. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 13. 如图，在正方形ABCD中，，点M在CD的边上，且，与关于AM所在的直线对称，将按顺时针方向绕点A旋转90°得到，连接EF，则线段EF的长为______． 三、解答题 14. 用适当的方法解方程 （1）； （2）． 15. 今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： （1）甲选择看A电影的概率是_______________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 16. 【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 （1）【引申】已知，则 ． （2）【拓展】已知，求的值． 17. 受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． （1）已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； （2）已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 18. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 19. 图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知． （1）当时，求千斤顶高的长度； （2）当从变为时，千斤顶升高了多少？ 20. 【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大浪实验学校2025—2026 学年第一学期期中素养发展情况调研 九年级数学 一、单选题 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：． 2. 袋中有4个红球和若干个白球，它们只有颜色上的区别．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（ ） A. 8个 B. 12个 C. 16个 D. 20个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】解：设白球个数为：x个， ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 即白球的个数为12个． 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 顺次连接矩形各边中点的四边形一定也是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的菱形一定是正方形 D. 平行四边形的对角线相等且互相平分 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.根据矩形的性质和菱形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B解析判断；根据正方形的判定方法对C解析判断；根据平行四边形的性质对D解析判断．A、顺次连接矩形各边中点的四边形一定是菱形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、有一个角是直角的菱形一定是正方形，所以C选项正确；D、平行四边形的对角线互相平分，所以D选项错误． 考点：命题与定理 4. 如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，以及直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 根据菱形的性质得到，再结合直角三角形性质推出，即可求出菱形的周长． 【详解】解：菱形的对角线相交于点O， ，即， E是的中点，， ， 菱形的周长为， 故选：B． 5. 如图，，且，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵ ，，， ， 故选：C． 6. 如图，在长为米、宽为米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可． 【详解】解：根据题意得：；   故选C 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键． 7. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，再由三角形的中位线定理即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点O，， ∴， ∴， ∵P，Q分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 8. 如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 二、填空题 9. 如果，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，掌握代入消元的方法是解题的关键． 由已知条件 可得 ，代入所求表达式 中，通过代数运算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 10. 如图，在网格(网格的正方形边长为)中，格点四边形是菱形，则此四边形的面积等于________． 【答案】12 【解析】 【分析】由图可得菱形的两对角线长分别为4，6，根据菱形的面积公式：两对角线乘积的一半，即可求得菱形的面积． 【详解】由图可得菱形的两对角线长分别为4，6， 菱形的面积为：4×6÷2=12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式：“对角线乘积的一半”． 11. 如图，在矩形中，相交于点O，平分，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质和角平分线的定义得出，，，证出，得得．证明为等边三角形，得出，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：9． 12. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0的根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 13. 如图，在正方形ABCD中，，点M在CD的边上，且，与关于AM所在的直线对称，将按顺时针方向绕点A旋转90°得到，连接EF，则线段EF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对称可知△AEM △ADM，继而得到，连接，由△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，可证明，再根据全等三角形对应边相等得到，最后根据正方形的性质，解得，在中，由勾股定理，解得，据此解题． 【详解】解：△AEM与△ADM关于AM所在直线对称， △AEM △ADM 连接，如图， △ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， △ABF△ADM 在正方形ABCD中， 在中， ， 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题 14. 用适当的方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）首先按照移项、二次项系数化为1的步骤将原方程整理为，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方，然后求解即可获得答案； （2）将方程等号右边部分移动到左侧，再提公因式可得，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴，． 15. 今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： （1）甲选择看A电影的概率是_______________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：甲选择看A电影的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 A B C D A B C D 由表知共有16等可能出现的结果，其中甲乙两同学选择同一部电影的有4种； ． 16. 【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 （1）【引申】已知，则 ． （2）【拓展】已知，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）先换元，再求出的值，最后求出答案即可； （2）先换元，再求出的值，最后求出答案即可． 【小问1详解】 解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴． 17. 受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． （1）已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； （2）已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 【答案】（1）2，3月份的月下降的百分率为； （2）当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程． （1）设平均下降的百分率为x，根据1月份、3月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价y元，用含y的代数式表示出4月份销量及单件利润，根据获利13520元列一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均下降的百分率为x， 由题意知， 解得，（不合题意，舍去）， 答：2，3月份的月下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价y元时，商场4月份可获利13520元， 由题意知， 整理得，即， 解得， ， 答：当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 18. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法得列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 19. 图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知． （1）当时，求千斤顶高的长度； （2）当从变为时，千斤顶升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得出，平分，再证明是等边三角形，从而可根据等边三角形的性质得出； （2）求出时，的长，结合（1）求得的的长，求出千斤顶升高的长度即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于点O． 由题意可知，四边形是菱形， ， 平分． 当时， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 当时． 平分，， ． 在中，， ， ， ∴千斤顶升高了． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20. 【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【答案】（1）①＝； ②证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ，， ， ∴点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ， ，即． （2）水库到农田边的距离为． 【解析】 【分析】（1）过点C作，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得，从而可证； （2）由平移得，，证出，根据证明，得，在上截取，连接，即是等腰直角三角形，，得，得出是的中位线，由三角形中位线性质可得结论； （2）过点作交于点，得出四边形是平行四边形，，由勾股定理求出，，连接，在上方作，交的延长线于点，证明得，，再证明，得，设，则，由勾股定理列方程可求解． 【详解】解：（1）①过点C作，交于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； ②略 （2）解：如图，过点作交于点， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴， ， 连接，在上方作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 水库到农田边的距离为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $