专题06 反比例函数（期末复习优选题集训 15个高频易错题型讲练 共45题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册培优讲练

专题06 反比例函数 （15个高频易错题型讲练 共45题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 求反比例函数值 1 易错题型2 由反比例函数值求自变量 2 易错题型3 判断(画)反比例函数图象 3 易错题型4 已知反比例函数的图象，判断其解析式 4 易错题型5 已知反比例函数的增减性求参数 5 易错题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 6 易错题型7 已知比例系数求特殊图形的面积 6 易错题型8 根据图形面积求比例系数（解析式) 7 易错题型9 求反比例函数解析式 8 易错题型10 实际问题与反比例函数 9 易错题型11 反比例函数与几何综合 10 易错题型12 一次函数与反比例函数图象综合判断 12 易错题型13 一次函数与反比例函数的交点问题 13 易错题型14 一次函数与反比例函数的实际应用 14 易错题型15 一次函数与反比例函数的其他综合应用 15 易错题型1 求反比例函数值 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古兴安盟·模拟预测）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 易错题型2 由反比例函数值求自变量 4．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 5．（24-25九年级上·北京顺义·期末）通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂.已知，，，则的值为 . 6．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 易错题型3 判断(画)反比例函数图象 7．（2025九年级·四川成都·专题练习）阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“”为：． 求的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1)计算： ______； (2)若，则______． (3)函数的图象大致是______． 8．（2024·江西宜春·模拟预测）二次函数的图象可以由二次函数的图象向右平移2个单位长度得到，类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到．下列关于函数的图象与性质描述错误的是（   ） A．函数图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而增大 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出下面函数的图像： ①． ②． 易错题型4 已知反比例函数的图象，判断其解析式 10．（2025·浙江杭州·一模）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 11．（2024·江苏南京·三模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于 ． 12．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 易错题型5 已知反比例函数的增减性求参数 13．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）已知反比例函数的图象在每个象限内，随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 14．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知反比例函数，其中是常数． (1)若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当取什么值时，在每个象限内随的增大而减小？ 15．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数，y随x增大而增大，则a的取值范围（） A． B． C． D． 易错题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 16．（25-26九年级上·重庆·期中）如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．图象关于原点对称 C．图象经过点 D．若，则 18．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知函数，下列结论中，不正确的是 ． （1）它的图象分布在一、三象限 （2）当时， （3）若点在它的图象上，则也在图象上 （4）点、是图象上的两点，若，则 易错题型7 已知比例系数求特殊图形的面积 19．（25-26九年级上·湖南永州·期中）函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图像于点，给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 20．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点，在反比例函数的图象上，则的面积等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 21．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ． 易错题型8 根据图形面积求比例系数（解析式) 22．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，若的面积为，则 23．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则 ． 24．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为8，则k的值为 ． 易错题型9 求反比例函数解析式 25．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）一辆车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，端点为和． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度为，则汽车通过该路段需多少时间？ 27．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图象上，点D的坐标为，则k的值为 ． 易错题型10 实际问题与反比例函数 28．（25-26九年级上·山东德州·期中）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 30．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）某种新型材料需先将材料加热到，再进行加工操作．材料停止加热后温度是时间的反比例函数，其图象如图所示． (1)材料停止加热后y与x的函数表达式为________． (2)停止加热后当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么可以加工的时间有多长？ 易错题型11 反比例函数与几何综合 31．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是45和5，点都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 32．（25-26九年级上·四川内江·期中）直线与轴、轴交于．，与双曲线（是常数）交于点，四边形为矩形，在的图像上，且轴于，则 ． 33．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 易错题型12 一次函数与反比例函数图象综合判断 34．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·山东济南·期中）一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·四川内江·期末）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 易错题型13 一次函数与反比例函数的交点问题 37．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若函数与的图象交于点，则的值为 ． 38．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点Q在反比例函数图象上，且点Q到y轴的距离为2，求点Q的坐标． 39．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 易错题型14 一次函数与反比例函数的实际应用 40．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 41．（22-23九年级上·广西梧州·期末）已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 易错题型15 一次函数与反比例函数的其他综合应用 43．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，直线交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出的x取值范围． 44．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点． (1)m与n的关系是_________； (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 45．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在矩形ABCD中，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C的方向运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发沿射线CA方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动，设运动时间为x秒（），记的面积为，矩形ABCD与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数 （15个高频易错题型讲练 共45题 新教材） 【解析版】 易错题型1 求反比例函数值 1 易错题型2 由反比例函数值求自变量 3 易错题型3 判断(画)反比例函数图象 6 易错题型4 已知反比例函数的图象，判断其解析式 9 易错题型5 已知反比例函数的增减性求参数 11 易错题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 13 易错题型7 已知比例系数求特殊图形的面积 14 易错题型8 根据图形面积求比例系数（解析式) 18 易错题型9 求反比例函数解析式 21 易错题型10 实际问题与反比例函数 23 易错题型11 反比例函数与几何综合 26 易错题型12 一次函数与反比例函数图象综合判断 30 易错题型13 一次函数与反比例函数的交点问题 33 易错题型14 一次函数与反比例函数的实际应用 36 易错题型15 一次函数与反比例函数的其他综合应用 39 易错题型1 求反比例函数值 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【规范解答】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴． 故选：B ． 2．（2025·内蒙古兴安盟·模拟预测）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【规范解答】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，和都满足解析式，即可求解． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得： 故答案为：． 易错题型2 由反比例函数值求自变量 4．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的几何意义．解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据反比例函数k值意义可得，设，则，得出，求出，得出答案即可；解法二：设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解． 【规范解答】解：解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H， 则轴， ∵轴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 根据反比例函数k值意义可得： ， ∵与之间的距离为1， ∴设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 解法二：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选：C． 5．（24-25九年级上·北京顺义·期末）通常利用公式解决杠杆平衡问题，其中表示动力，表示动力臂，表示阻力，表示阻力臂.已知，，，则的值为 . 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是根据实际问题列出函数关系式． 根据公式，代入数据计算即可． 【规范解答】解： ， ， 解得：， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【规范解答】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 易错题型3 判断(画)反比例函数图象 7．（2025九年级·四川成都·专题练习）阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“”为：． 求的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1)计算： ______； (2)若，则______． (3)函数的图象大致是______． 【答案】(1) (2) (3)D 【思路点拨】此题考查了反比例函数的图象和性质，实数的新定义运算等知识． （1）根据新定义进行解答即可； （2）根据新定义分两种情况进行解答即可； （3分和两种情况进行分析即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，； 故答案为： （2）当时， ， 解得：， 当时，， 解得：， ； 故答案为： （3）当时，， 此时是双曲线的第一象限部分； 当时，， 此时是双曲线的第二象限部分； 故函数的图象大致是D． 8．（2024·江西宜春·模拟预测）二次函数的图象可以由二次函数的图象向右平移2个单位长度得到，类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到．下列关于函数的图象与性质描述错误的是（   ） A．函数图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象，先画出函数图象，根据反比例函数的性质和函数的图象逐项分析即可． 【规范解答】解：如图，画出函数的图象， A、在中，当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，该选项正确，不符合题意； B、根据函数图象得，当时，y随x的增大而增大，该选项错误，符合题意； C、根据函数图象得，函数的图象与x轴没有交点，该选项正确，不符合题意； D、根据函数图象得，当时，y随x的增大而增大，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出下面函数的图像： ①． ②． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图像的画法，熟练掌握画图方法是解题的关键．画反比例函数的图像，首先分别取点，取点时注意，然后用平滑的曲线把这些点连起来即可． 【规范解答】解：列表： x … 1 2 4 … … 2 1 0.5 … … 1.25 2.5 5 … 描点，连线，分别画出函数的图像如图所示： 易错题型4 已知反比例函数的图象，判断其解析式 10．（2025·浙江杭州·一模）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【思路点拨】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【规范解答】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 11．（2024·江苏南京·三模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象，熟练知识点是解题的关键． 可求，根据反比例函数k的几何意义得到，则． 【规范解答】解：∵， ∴ ∵， ∴， 根据反比例函数k的几何意义得到， 而反比例函数的图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键．由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断． 【规范解答】解：A、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意； B、，满足图象特点，符合题意； C、，当时，，与图象不符，不符合题意； D、，当时，，与图象不符，不符合题意； 故选：B． 易错题型5 已知反比例函数的增减性求参数 13．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）已知反比例函数的图象在每个象限内，随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，要知道：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内的值随的值增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内的值随的值增大而增大．由于反比例函数的图象在每个象限内的值随的值增大而减小，可知比例系数为正数，据此列出不等式解答即可． 【规范解答】解：∵反比例函数 的图象在每个象限内函数值随自变量的增大而减小， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知反比例函数，其中是常数． (1)若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当取什么值时，在每个象限内随的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：； （2）解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数，y随x增大而增大，则a的取值范围（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的性质，当时，在的范围内，随的增大而增大．由此建立不等式求解． 【规范解答】解：∵反比例函数（）中，随增大而增大， ∴， ∴． 因此，的取值范围是， 故选：C． 易错题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 16．（25-26九年级上·重庆·期中）如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征，结合非负性确定，是比较大小关系的关键． 通过点的纵坐标，确定反比例函数常数，再根据反比例函数的性质计算并比较，，的大小即可． 【规范解答】解：∵点在反比例函数上， ∴． 对于点：， 对于点：， 对于点：． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为A． 17．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．图象关于原点对称 C．图象经过点 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的性质．根据反比例函数图象与性质对各选项进行判断即可． 【规范解答】解： ， 图象在第二、四象限，关于原点对称，故A，B正确，不符合题意； 将代入解析式得， 图象经过点，故C正确，不符合题意； 根据反比例函数在或上，随着的增大而增大， 当时，、的大小无法确定，故D错误，符合题意； 故选：D． 18．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知函数，下列结论中，不正确的是 ． （1）它的图象分布在一、三象限 （2）当时， （3）若点在它的图象上，则也在图象上 （4）点、是图象上的两点，若，则 【答案】（2）（4） 【思路点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．根据反比例函数的图象及性质，逐一判断各选项是否正确． 【规范解答】函数 是反比例函数，比例系数 ， 选项 (1)：由 时，得反比例函数图象分布在一、三象限，故该说法正确； 选项 (2)：当 时，则或，故该说法错误； 选项 (3)：若点 在图象上，则，可得，所以点 也在图象上，故该说法正确； 选项 (4)：取点 和 ，满足 ，但，不满足 ，故该说法错误； 故答案为：(2) （4）． 易错题型7 已知比例系数求特殊图形的面积 19．（25-26九年级上·湖南永州·期中）函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图像于点，给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【思路点拨】本题是反比例函数综合，主要考查反比例函数中系数k的几何意义，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 由于A、B是反比函数上的点，可得出，故①正确；只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形的面积为定值，故③正确；根据点P、A的坐标求得即可得④正确． 【规范解答】解：∵A、B是反比例函数上的点， ∴，故①正确； 设，则，， ∴， ∴一般情况下，，当P的横纵坐标相等时，才有， 故②错误； ∵点P在的图象上， ∴， ∴ ， 故③正确； ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 综上，正确的是①③④； 故选：C． 20．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点，在反比例函数的图象上，则的面积等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过点B、点C、作x轴的垂线，垂足为D、E，则，得出，设，，根据反比例函数的解析式表示出，，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：过点B、点C、作x轴的垂线，垂足为D、E， 则， ∴ ∴ ∴， ∵是的中线， ∴， 设，， ∴C的横坐标为，B的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 21．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【规范解答】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 易错题型8 根据图形面积求比例系数（解析式) 22．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，若的面积为，则 【答案】8 【思路点拨】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，三角形中线的性质，理解的几何意义是解题的关键．根据三角形中线可得，再根据，且，由此即可求解． 【规范解答】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点在反比例函数图象上，， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 23．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积； 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 24．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为8，则k的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点．过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∵底边轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3． 易错题型9 求反比例函数解析式 25．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了求反比例函数解析式，两点间的距离公式，一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是掌握以上知识点．根据题意，先求出点和点的坐标，进一步得，再根据两点间的距离公式求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求值． 【规范解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则； 令，则， 即，， ． ， ． 设点，（） ． 解得，或（不符合题意，舍去）， ， 即点， 将点代入得， ． 故选：C． 26．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）一辆车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，端点为和． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度为，则汽车通过该路段需多少时间？ 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）将点代入，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值； （2）求出时的t值即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，函数经过点， ，得， ∴函数关系式为： 把代入，得； （2）解：当时，． 答：汽车通过该路段需． 27．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图象上，点D的坐标为，则k的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，利用菱形的性质求线段长，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出，再利用菱形的性质求得，，从而可求得，进而可求得k的值． 【规范解答】解：∵点D的坐标为， ∴， 又四边形是菱形， ∴，， ∴， 又点A在反比例函数 的图象上， ∴， 故答案为：． 易错题型10 实际问题与反比例函数 28．（25-26九年级上·山东德州·期中）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【规范解答】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 29．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 【答案】(1) (2)在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）根据待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【规范解答】（1）解：设与之间的函数表达式为， 函数图象经过点， 解得：， 与之间的函数表达式为：； （2）解：当时 随的增大而减小， 当时，， 即在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于． 30．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）某种新型材料需先将材料加热到，再进行加工操作．材料停止加热后温度是时间的反比例函数，其图象如图所示． (1)材料停止加热后y与x的函数表达式为________． (2)停止加热后当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么可以加工的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． （1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，； 故加工的时长为． 易错题型11 反比例函数与几何综合 31．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是45和5，点都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，反比例函数中的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据反比例函数中的几何意义可得，根据两个正方形的面积可得两个正方形的边长分别是和，则，，即可求， （2）根据正方形的性质和直角坐标系列方程求出，进而求出，即可求的值． 【规范解答】解：（1）∵四边形是正方形，且面积是45， ∴， 两个正方形面积分别是45和5， 两个正方形的边长分别是和， ，， 则， 故答案为：； （2）∵ ∴， 解得：， ∵， ∴ ， 故答案为：． 32．（25-26九年级上·四川内江·期中）直线与轴、轴交于．，与双曲线（是常数）交于点，四边形为矩形，在的图像上，且轴于，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，利用参数表示点、坐标是本题的关键． 由三角形相似，可得，设，则，可得点，，进而求得，，由反比例函数的性质可得，可求的值，即可求解． 【规范解答】解：如图过点作轴 直线与轴交于点，与轴交于点， 点，点 ，， 四边形为矩形， ， ，， ， 轴 ， ， ， 设，则， ， ， 轴 ， ，即， ， 点， 点，点都在反比例函数 上， ， ， ， 故选：C． 33．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， ∴， 整理得， 解得：或． 故选：A． 易错题型12 一次函数与反比例函数图象综合判断 34．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数与反比例函数的图像经过的象限，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当时，，②当时，，逐项分析判断即可． 【规范解答】解：①当时，， ∴一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，选项C符合题意； ②当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第二、四象限，所有选项都不符合题意； 故选C． 35．（25-26九年级上·山东济南·期中）一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合应用，由反比例函数图象先确定的符号，进而确定一次函数图象的分布位置，再结合图象判断即可求解，掌握一次函数与反比例函数图象是解题的关键． 【规范解答】解：、∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故选项图象不合题意； 、∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故选项图象不合题意； 、∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选项图象符合题意； 、∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选项图象不合题意； 故选：． 36．（24-25九年级上·四川内江·期末）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是反比例函数的图像性质与一次函数的图像性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数与反比例函数的图像性质进行分析即可． 【规范解答】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、B选项不合题意． ∵， 或， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故C选项不合题意，D选项符合题意． 故选：D． 易错题型13 一次函数与反比例函数的交点问题 37．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若函数与的图象交于点，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求代数式的值，由交点坐标满足两个函数解析式，可得和，进而代入表达式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 38．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)若点Q在反比例函数图象上，且点Q到y轴的距离为2，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) 或 【思路点拨】本题考查函数图象和性质，求反比例函数解析式，一次函数，掌握相关知识是解决问题的关键． （1） 将交点坐标代入一次函数求出 ，再代入反比例函数求出解析式； （2） 利用到轴的距离为确定的横坐标，再代入反比例函数求纵坐标． 【规范解答】（1）解：∵点 在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ 点坐标为 ； 设反比例函数为 ，将 代入得： ，解得 ， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：∵点 到轴的距离为， ∴ 点的横坐标为 或， ∵点 在反比例函数 的图象上， 当时，， ∴ 点坐标为 ； 当时，， ∴ 点坐标为 ． 综上所述 的坐标为 或 ． 39．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【思路点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）根据，两点坐标判断即可． （3）设,，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：点在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数图象上， ， 点A的坐标为点， 将点A，B坐标代入中，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：不等式的解集为或； （3）解：令，则， 令，则， 解得， 点C的坐标为，点D的坐标为， 设， 点A的坐标为点，， ， ， 解得：， 易错题型14 一次函数与反比例函数的实际应用 40．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：（），利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【规范解答】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：，解得：， ∴（）， 当时，设y与x的函数关系式为：（）， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得：，解得：， 代入得，解得：． （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 41．（22-23九年级上·广西梧州·期末）已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据关于轴对称的点的坐标特征求出点B的坐标，然后分别代入解析式进行整理即可． 【规范解答】解：∵A、B两点关于y轴对称，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 将点A的坐标，代入，得； 将点B的坐标，代入，得， ∴； 故选：B． 42．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】(1)4，12 (2)8 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【规范解答】（1）把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； （2）点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 易错题型15 一次函数与反比例函数的其他综合应用 43．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，直线交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出的x取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，正确求出两交点坐标是解题的关键． （1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点M的坐标，再根据进行求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点A、B在反比例函数图象上，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A、B的坐标代入一次函数中，得： ，解得：， ∴直线所对应的函数表达式为：； （2）解：由（1）知直线所对应的函数表达式为：， 当时，，解得， ∴点M坐标为， ∵， ∴； （3）解：由图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方，那么当或时，． 44．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点． (1)m与n的关系是_________； (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)；反比例函数表达 (3)存在， 【思路点拨】（1）将点，代入，可得，从而得到m与n的关系； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，得到，然后结合点的坐标，可以得到，结合（1）可得，从而推出点，最后求得答案； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称，可得，此时的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求得直线的表达式，然后求得其与轴的交点坐标即可． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点，两点， ， ， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：    点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：存在，，理由如下： 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： ∴， ∴，此时的值最小，最小值为， 由（2）可知，， ∴， 设直线的表达式为代入点，， ，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴． 45．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在矩形ABCD中，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C的方向运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发沿射线CA方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动，设运动时间为x秒（），记的面积为，矩形ABCD与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图象见解析；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； (3) 【思路点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）当点P在线段上，，当点P在线段上，，据此求出关于x的函数关系式即可；由勾股定理可得，则，过点D作于E，解直角三角形可得的长，则根据可得值，再求出矩形的面积即可求出关于x的函数关系式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再求出对应的函数性质即可； （3）求出两函数的交点横坐标，再结合函数图象可得答案． 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当点P在线段上时，此时，， ∴； 当点P在线段上时，此时，则， ∴； 综上所述，； 如图，过点D作于E， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可得，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3）解：联立得：，即， 解得：或（舍去）； 联立得：，即， 解得：或（舍去）； ∴由函数图象可得，当时，x的取值范围为． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $