专题05 投影与视图（期末复习优选题集训 19个高频易错题型讲练 共38题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册培优讲练

专题05 投影与视图 （19个高频易错题型讲练 共38题 新教材） 【解析版】 易错题型1 正投影 1 易错题型2 平行投影 2 易错题型3 中心投影 4 易错题型4 视点、视角和盲区 6 易错题型5 判断简单几何体的三视图 7 易错题型6 判断简单组合体的三视图 9 易错题型7 判断非实心几何体的三视图 10 易错题型8 已知一种或两种视图，判断其他视图 11 易错题型9 画简单几何体的三视图 13 易错题型10 画简单组合体的三视图 14 易错题型11 画小立方块堆砌图形的三视图 15 易错题型12 由三视图还原几何体 16 易错题型13 已知三视图求边长 18 易错题型14 已知三视图求侧面积或表面积 21 易错题型15 求小立方块堆砌图形的表面积 22 易错题型16 已知三视图求体积 23 易错题型17 求几何体视图的面积 24 易错题型18 由三视图，判断小立方体的个数 25 易错题型19 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 27 易错题型1 正投影 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是投影的含义，由投影的含义结合图形的形状逐一分析判断即可． 【规范解答】解：①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点，正确； ②当长方形的对角线垂直于投影面时，其正投影是一条线段；错误； ③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；正确； ④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．正确； 故选：C 2．（2024九年级·全国·竞赛）某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 【答案】D 【思路点拨】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于， 当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于， 综上所述，某同学身高，那么这名同学的正投影的长小于或等于， 故选：D． 易错题型2 平行投影 3．（25-26九年级上·四川·期中）九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 【答案】(1)点到水平地面的距离为6米； (2)小明测得的九天楼高度为米． 【思路点拨】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过C作交延长线于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出的长，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：过C作交延长线于H， 在中，， ∴（米）； 答：点到水平地面的距离为6米； （2）解：过H作交于E， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ∴，即 解得， ∴（米）． 答：小明测得的九天楼高度为米． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高米．当地中午时，物高与影长的比是． (1)如图，当地中午时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为______米． (2)当地下午时，物高与影长的比是．如图，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 【答案】(1) (2)米 【思路点拨】（）根据平行投影的性质解答即可求解； （）作于点，则米，，根据平行投影的性质求出，进而即可求解； 本题考查了平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得米， 故答案为：； （2）解：如图，作于点，则米，， 由题意得，， ∴米， ∴米， 答：落在乙楼上的影子的长为米． 易错题型3 中心投影 5．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)见解析 (2)小亮影子的长度为 【思路点拨】本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的性质，中心投影，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交于点，连接，延长交于点，点，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【规范解答】（1）解：如图，点，线段即为所求； （2）， △△， ， ， ， 答：小亮影子的长度为． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 【答案】见解析 【思路点拨】根据中心投影的作图即可． 本题考查了中心投影，正确确定投影中心是解题的关键． 【规范解答】解：光源O如图所示，立柱的影子如图所示． 则即为所求． 易错题型4 视点、视角和盲区 7．（24-25九年级·全国·单元测试）王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨． 【答案】见解析. 【思路点拨】根据题意画出盲区即可判断出答案． 【规范解答】从点P开始进入盲区，即开始看不见杨雨． 根据题意画出盲区即可判断出答案． 8．（24-25九年级·全国·单元测试）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题： (1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？ 【答案】(1)盲区的面积为75 m2；(2)盲区的面积不变． 【思路点拨】（1）根据已知画出形成的盲区为梯形AEFB，再利用梯形面积求法得出答案即可； （2）根据△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变，所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变． 【规范解答】(1)形成的盲区为梯形AEFB， ∵AB∥EF， ∴△PAB∽△PEF， ∴＝， ∴EF＝9， ∴盲区的面积为(6＋9)×10÷2＝75 m2； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发生变化， ∵△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变． 所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变． 易错题型5 判断简单几何体的三视图 9．（25-26九年级上·河北保定·期中）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查三视图的相关知识． 观察哪个几何体的三视图中有正方形，三角形及长方形即可． 【规范解答】解：A、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故本选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故本选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故本选项不符合题意； D、三视图分别为长方形，长方形及梯形，故本选项不符合题意； 故选：A． 10．（24-25九年级上·甘肃·课后作业）将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查几何体的旋转与俯视图，掌握直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，圆锥的俯视图是圆是解题的关键． 先确定直角三角形绕直角边旋转一周所得的几何体，再分析该几何体的俯视图形状，进而判断选项． 【规范解答】解：绕直角边旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的俯视图是一个圆． A、是圆且含圆心，符合圆锥俯视图的形状，符合题意； B、是直角三角形，不符合题意； C、是正方形，不符合题意； D、是三角形，不符合题意． 故选：A． 易错题型6 判断简单组合体的三视图 11．（2024·黑龙江·一模）由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【规范解答】解：从上方观察这个由五个相同正方体搭成的几何体，底层有个正方体,其俯视图呈现的形状是： 第一行有个正方形，第二行最右边有个正方形，与选项A的图形一致． 故选：A． 12．（24-25九年级上·贵州·期末）如图所示的几何体，由4个大小相同的小正方体构成． (1)下面五个平面图形中有三个是从三个方向看到的图形，把看到的图形与正确的观测位置连接起来； (2)已知小正方体的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题主要考查了平面图形，以及求几何体的表面积，掌握主视图、左视图、俯视图是从哪个角度所得到的图形是解题的关键． （1）根据从物体不同方向看图的定义求解； （2）几何体的表面积为三视图图形面积和的2倍求解． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积是：． 易错题型7 判断非实心几何体的三视图 13．（2024·江西南昌·模拟预测）下图是一个螺母，它的左视图是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】D 【思路点拨】找出从左侧看到的图形即可． 【规范解答】解：该螺母为非实体， 那么左视图应该为： 故选：D． 14．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图是一段空心的钢管，则它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据主视图的画法解答即可. 【规范解答】A.不是三视图,故本选项错误; B是主视图,故本选项正确; C.不是三视图,故本选项错误; D.是俯视图，故本选项错误 故选:B. 易错题型8 已知一种或两种视图，判断其他视图 15．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1，这是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字型几何体，其上下、左右、前后分别对称． (1)图2是这个鲁班锁的主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整． (2)①若这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁的体积； ②若这些四棱柱木条的高为，底面正方形的边长为，求这个鲁班锁的表面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①这个鲁班锁的体积为56；②这个鲁班锁的表面积 【思路点拨】本题主要考查的是三视图，主视图的面积和组合体的表面积，熟练掌握三视图的定义是解题的关键； （1）按照主视图、左视图和俯视图的定义补充完整即可． （2）①所求的体积为7个棱长为2的正方体的体积，求解即可； ②先求解从正面看到的图形的面积，再乘以6即可得到表面积． 【规范解答】（1）解：（1）补全图形如图所示： （2）解：①． 答：这个鲁班锁的体积为56． ②这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为， 这个鲁班锁的表面积为． 答：这个鲁班锁的表面积． 16．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请分别画出从正面、左面看到的形状图．    【答案】见解析 【思路点拨】根据三视图的定义画出图形即可． 【规范解答】解：图形如图所示：    易错题型9 画简单几何体的三视图 17．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了画简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形，画出图形即可，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：该几何体的三视图，如下图为所求： ． 18．（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图． 【答案】详见解析 【思路点拨】本题考查了作几何体的三视图，通过从正面、侧面和上方三个不同角度观察几何体，绘制相应的视图即可 【规范解答】解：三视图如图所示： 易错题型10 画简单组合体的三视图 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）画出图中几何体的三视图． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了组合几何体（圆锥与圆柱组合）三视图的画法，解题的关键是掌握圆柱、圆锥的三视图特征，以及组合体中两几何体视图的对齐关系（底面重合时视图对应边相等且对齐）．根据圆锥与圆柱的组合体特征作三视图即可． 【规范解答】解：该几何体由下方圆柱、上方圆锥（底面与圆柱上底面重合）组成，其三视图画法如下：   20．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一个小圆柱上放置了一个大圆柱，画出该组合体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了作三视图，根据三视图的画法分别得出主视图、左视图和俯视图即可． 【规范解答】解：如图，即为所作三视图． 易错题型11 画小立方块堆砌图形的三视图 21．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体．（俯视图已给出） (1)请画出这个几何体的主视图和左视图． (2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加______个这样的小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路点拨】本题考查三视图的画法，以及根据三视图求立方体个数，理解三视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． （1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；据此可画出图形． （2）结合主视图和左视图不变得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：在第一层第一列的第一行添加一个小正方体，在第一层第三列的第三行添加一个小正方体，则即可保持主视图和左视图不变，即最多可以再添加2个这样的小正方体． 故答案为：2 22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据三视图的作法，画图即可． 【规范解答】解：这个组合体的三视图如图所示： 易错题型12 由三视图还原几何体 23．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)它的表面积为，它的体积为． 【思路点拨】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积，体积等相关知识，考查学生的空间想象能力． （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的表面积以及体积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：这个几何体为三棱柱． （2）解：它的表面积为：； 它的体积为：． 所以，它的表面积为：，它的体积为：． 24．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是 ．（结果保留根号） 【答案】 【思路点拨】本题考查三视图、正三角形的性质、勾股定理．根据三视图可知该几何体为三棱柱，底面为高是的正三角形，根据正三角形的几何性质及勾股定理求出正三角形的边长和面积，再根据三棱柱的体积公式即可求解． 【规范解答】解：由三视图可知该机器零件为三棱柱，如图： 三棱柱底面是高为的正三角形： 如图，正三角形，过A作， ∴，， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴， ∴正三角形的面积为， 故这个几何体的体积是． 故答案为：． 易错题型13 已知三视图求边长 25．（23-24九年级上·山西运城·期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． (1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全； (2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； (3)左视图中矩形的面积为________； (4)这个四棱柱的体积为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【思路点拨】（1）根据所在的面在前，所在的面在后，得到主视图中应补充两条虚线，画出图形即可； （2）由俯视图为等腰梯形，可得，再根据四棱柱的侧面积为，计算即可得出答案； （3）作于，于，则四边形是矩形，证明得到，由勾股定理计算出，由此即可得出答案； （4）先由梯形的面积公式计算出底面积，再乘以高即可得到答案． 【规范解答】（1）解：所在的面在前，所在的面在后， 主视图中应补充两条虚线， 补充完整如图所示： （2）解：俯视图为等腰梯形， ， 该四棱柱的侧面积为， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，作于，于， ，俯视图为等腰梯形， ，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 左视图中矩形的面积为：， 故答案为：8； （4）解：由题意得： 这个四棱柱的体积为， 故答案为：32． 26．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α，（∠CBE＝α，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，求当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度． 【答案】1.5dm 【思路点拨】从三视图中了解到的长度，根据正方体的性质，知,再结合勾股定理计算得出，从而求得液体的体积，当正方体平放时，底面积为正方形的面积，从而求得液体的深度． 【规范解答】解：∵CQ＝5dm，AB＝4dm， 是正方体 ∴BQ＝＝＝3（dm）， ∴液体的体积为：V液＝×3×4×4＝24（dm3）， 正方形的面积为 ∴液体的深度是24÷16＝1.5（dm）． 易错题型14 已知三视图求侧面积或表面积 27．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． 先判断这个几何体的形状，再根据表面积的计算方法进行计算即可． 【规范解答】解：由三视图可知，该几何体是截去了圆柱后的剩余部分，且圆柱的底面圆的半径为2，高为3． 故该几何体的表面积为． 故答案为：． 28．（25-26九年级上·全国·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．       【答案】 【思路点拨】由三视图可知，该几何体底面是直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱柱，根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【规范解答】解：这个几何体的表面积为： ； 故答案为． 易错题型15 求小立方块堆砌图形的表面积 29．（25-26九年级上·全国·课后作业）把个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按图中的方式拼成一个立体图形，这个立体图形的表面积是 平方厘米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何体的表面积，简单组合体的三视图，解题关键是明确三视图的意义． 根据三视图可得，从左边看有8个面，右边8个面，前边个面，后边个面，上面看9个面，下面9个面，共个面，表面积就是平方厘米． 【规范解答】解：每个小正方体一个面的面积是（平方厘米）， 三视图如图： ∴表面积是：（平方厘米）． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·山东淄博·月考）用棱长为的几个小正方体木块搭成图中的几何体，则该几何体的表面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何体的三视图，几何体的表面积就是几何体的三视图的面积之和的倍，分别求出几何体的主视图、左视图、俯视图中小正方形的个数，根据小正方形的边长即可求出几何体的表面积． 【规范解答】解：由几何体可知，从几何体的正面可以看到个边长为的正方形， 从几何体的左面可以看到个边长为的正方形， 从几何体的上面可以看到个边长为的正方形， 小正方形的边长为， 每个小正方形的面积为， 几何体的表面积是． 故答案为：． 易错题型16 已知三视图求体积 31．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为 ． 【答案】48 【思路点拨】本题考查四棱柱，三视图，熟练掌握四棱柱的性质是解题的关键； 根据三视图得出棱柱底面菱形的对角线长分别为，，然后根据菱形的面积公式和棱柱的体积公式计算即可． 【规范解答】解：由三视图知，该几何体的形状是直四棱柱，棱柱底面菱形的对角线长分别为，． 所以棱柱的体积． 故答案为：48． 32．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题关键．根据三视图得出这个几何体是一个底面直径为2、高为3的圆柱，再根据圆柱的体积公式计算即可得． 【规范解答】解：由三视图可知，这个几何体是一个底面直径为2、高为3的圆柱， 所以这个几何体的体积是， 故答案为：． 易错题型17 求几何体视图的面积 33．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体 (2)这个模型的质量为 (3)需要的油漆 【思路点拨】（1）根据模型的三视图可以直接判断出模型的形状；（2）根据模型三视图知道模型组成图形的长、宽、高，然后计算出体积，再乘以木料的密度就可以得出模型的质量；（3）计算出模型的表面积，再除以每千克油漆可以涂抹的面积，即可计算出所需要的油漆数量. 【规范解答】（1）解：∵模型的三视图图， ∴模型是由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体. （2）解：模型的体积（立方分米） 这个模型的质量为． （3）解：模型的表面积为， 需要的油漆． 34．（25-26九年级上·全国·周测）图①中的几何体从三个方向观察的图形如图②所示．若用S表示面积，，，则等于（　　） A．20x B．20 C．9x D．9 【答案】B 【思路点拨】三视图的概念：从正面、左面、上面三个不同方向观察几何体所得到的平面图形，分别称为主视图(正视图)、左视图、俯视图；俯视图的长与主视图的长相等，俯视图的宽与左视图的宽相等，主视图的高与左视图的高相等；利用三视图的面积公式(长方形面积长宽)，结合已知视图面积求解未知视图面积． 【规范解答】解：已知，从正面看到的形状图的宽为， ∴根据长方形面积公式，正面看到的形状图的长为：， 已知，从左面看到的形状图的宽为， ∴同样根据长方形面积公式，从左面看到的形状图的长为：， 即得几何体的长为，宽为，高为， 所以． 故选：B． 易错题型18 由三视图，判断小立方体的个数 35．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为4，求该几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了从不同方向看几何体，正方体的体积． （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形． （2）根据题意可得出几何体的小正方体个数，即可求解. 【规范解答】（1）解：如图所示 （2）解：该几何体的小正方体个数为个， 故该几何体的体积为. 36．（2025九年级上·全国·专题练习）用小立方块搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中的小立方块有 个． 【答案】8或9或10 【思路点拨】从主视图和俯视图先判断出能够确定小立方块数量的位置，在俯视图上标出来，然后不能确定数量的位置分情况讨论即可． 【规范解答】解：由主视图和俯视图可以在俯视图上确定第列和第列的小立方块数量都是1，如图所示： 第列的小立方块的数量从上到下可以是和，或和，或和，或和，或和， ∴小立方块的个数为或或. 故答案为：或或. 易错题型19 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 37．（23-24九年级上·四川达州·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    【答案】 【思路点拨】本题考查了由两种视图判定该堆砌图形的小正方体的个数，结合主视图（正面看到的形状图）和俯视图（上面看到的形状图），分析每个位置小正方体的层数是解题的关键． 结合两种视图分别在俯视图上标注某个位置上放置的小正方体的个数，从而可得答案． 【规范解答】解：如图，（最小的情况的放置方式不唯一） 最多有：（个）， 最少有：（个）， ∴． 故答案为：． 38．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是 ． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．在俯视图中标出正方体的个数即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示： 组成该几何体所需小正方体的个数最少是：． 故答案为：7． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 投影与视图 （19个高频易错题型讲练 共38题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 正投影 1 易错题型2 平行投影 2 易错题型3 中心投影 3 易错题型4 视点、视角和盲区 3 易错题型5 判断简单几何体的三视图 4 易错题型6 判断简单组合体的三视图 5 易错题型7 判断非实心几何体的三视图 6 易错题型8 已知一种或两种视图，判断其他视图 6 易错题型9 画简单几何体的三视图 7 易错题型10 画简单组合体的三视图 8 易错题型11 画小立方块堆砌图形的三视图 8 易错题型12 由三视图还原几何体 9 易错题型13 已知三视图求边长 9 易错题型14 已知三视图求侧面积或表面积 10 易错题型15 求小立方块堆砌图形的表面积 11 易错题型16 已知三视图求体积 11 易错题型17 求几何体视图的面积 12 易错题型18 由三视图，判断小立方体的个数 13 易错题型19 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 13 易错题型1 正投影 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024九年级·全国·竞赛）某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 易错题型2 平行投影 3．（25-26九年级上·四川·期中）九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高米．当地中午时，物高与影长的比是． (1)如图，当地中午时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为______米． (2)当地下午时，物高与影长的比是．如图，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 易错题型3 中心投影 5．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 易错题型4 视点、视角和盲区 7．（24-25九年级·全国·单元测试）王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨． 8．（24-25九年级·全国·单元测试）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题： (1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？ 易错题型5 判断简单几何体的三视图 9．（25-26九年级上·河北保定·期中）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·甘肃·课后作业）将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 易错题型6 判断简单组合体的三视图 11．（2024·黑龙江·一模）由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·贵州·期末）如图所示的几何体，由4个大小相同的小正方体构成． (1)下面五个平面图形中有三个是从三个方向看到的图形，把看到的图形与正确的观测位置连接起来； (2)已知小正方体的边长为，求这个几何体的表面积． 易错题型7 判断非实心几何体的三视图 13．（2024·江西南昌·模拟预测）下图是一个螺母，它的左视图是（    ）    A．    B．   C．   D．   14．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图是一段空心的钢管，则它的主视图是（     ） A． B． C． D． 易错题型8 已知一种或两种视图，判断其他视图 15．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1，这是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字型几何体，其上下、左右、前后分别对称． (1)图2是这个鲁班锁的主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整． (2)①若这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁的体积； ②若这些四棱柱木条的高为，底面正方形的边长为，求这个鲁班锁的表面积．（用含的代数式表示） 16．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请分别画出从正面、左面看到的形状图．    易错题型9 画简单几何体的三视图 17．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 18．（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图． 易错题型10 画简单组合体的三视图 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）画出图中几何体的三视图． 20．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一个小圆柱上放置了一个大圆柱，画出该组合体的主视图、左视图和俯视图． 易错题型11 画小立方块堆砌图形的三视图 21．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体．（俯视图已给出） (1)请画出这个几何体的主视图和左视图． (2)若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加______个这样的小正方体． 22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 易错题型12 由三视图还原几何体 23．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 24．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是 ．（结果保留根号） 易错题型13 已知三视图求边长 25．（23-24九年级上·山西运城·期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． (1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全； (2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； (3)左视图中矩形的面积为________； (4)这个四棱柱的体积为________． 26．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α，（∠CBE＝α，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，求当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度． 易错题型14 已知三视图求侧面积或表面积 27．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 ． 28．（25-26九年级上·全国·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．       易错题型15 求小立方块堆砌图形的表面积 29．（25-26九年级上·全国·课后作业）把个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按图中的方式拼成一个立体图形，这个立体图形的表面积是 平方厘米． 30．（25-26九年级上·山东淄博·月考）用棱长为的几个小正方体木块搭成图中的几何体，则该几何体的表面积是 ． 易错题型16 已知三视图求体积 31．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为 ． 32．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是 ． 易错题型17 求几何体视图的面积 33．（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 34．（25-26九年级上·全国·周测）图①中的几何体从三个方向观察的图形如图②所示．若用S表示面积，，，则等于（　　） A．20x B．20 C．9x D．9 易错题型18 由三视图，判断小立方体的个数 35．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为4，求该几何体的体积． 36．（2025九年级上·全国·专题练习）用小立方块搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中的小立方块有 个． 易错题型19 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 37．（23-24九年级上·四川达州·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    38．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是 ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $